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Mengenlehre: kurze Frage
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 16:57 Di 08.03.2005
Autor: Bastiane

Hallo mal wieder!
Habe mal ein paar uralte Sachen durchgeguckt und ein paar kleine Unklarheiten dabei gefunden.

Als erstes habe ich hier folgende Aufgabe:
zz: [mm] A\cup(B\times C)=(A\times B)\cup(A\times [/mm] C)

Nun fängt der Beweis folgendermaßen an:
[mm] (x,y)\in A\times (B\cap [/mm] C)

und ich frage mich, wie man hier drauf kommt?
Ist das irgendwie das Gleiche: [mm] A\cup(B\times [/mm] C) und [mm] A\times (B\cap [/mm] C)? Ich dachte eigentlich, dass ich die Verknüpfungen und so alle verstanden habe, aber das hier verstehe ich nicht. Kann mir das jemand erklären? Oder ist das vielleicht sogar falsch so? (das könnte durchaus sein...)

Jedenfalls habe ich alle weiteren Umformungen verstanden, und am Ende kommt zumindest das richtige heraus... [haee]

Viele Grüße
Bastiane
[cap]

        
Bezug
Mengenlehre: Habe so meine Zweifel
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:11 Di 08.03.2005
Autor: moudi


> Hallo mal wieder!
>  Habe mal ein paar uralte Sachen durchgeguckt und ein paar
> kleine Unklarheiten dabei gefunden.
>  
> Als erstes habe ich hier folgende Aufgabe:
>  zz: [mm]A\cup(B\times C)=(A\times B)\cup(A\times[/mm] C)

Ist hier mit [mm] $\times$ [/mm] das kartesische Produkt gemeint? Denn dann ist die Behauptung sicher falsch.

Sollte es nicht heissen: [mm] $A\times(B\cup C)=(A\times B)\cup(A\times [/mm] C)$ ?

mfG Moudi

>  
> Nun fängt der Beweis folgendermaßen an:
>  [mm](x,y)\in A\times (B\cap[/mm] C)
>  
> und ich frage mich, wie man hier drauf kommt?
>  Ist das irgendwie das Gleiche: [mm]A\cup(B\times[/mm] C) und
> [mm]A\times (B\cap[/mm] C)? Ich dachte eigentlich, dass ich die
> Verknüpfungen und so alle verstanden habe, aber das hier
> verstehe ich nicht. Kann mir das jemand erklären? Oder ist
> das vielleicht sogar falsch so? (das könnte durchaus
> sein...)
>  
> Jedenfalls habe ich alle weiteren Umformungen verstanden,
> und am Ende kommt zumindest das richtige heraus... [haee]
>  
> Viele Grüße
>  Bastiane
>  [cap]
>  
>  
Bezug
                
Bezug
Mengenlehre: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:13 Mi 09.03.2005
Autor: Bastiane

Hallo Moudi!
> > Als erstes habe ich hier folgende Aufgabe:
>  >  zz: [mm]A\cup(B\times C)=(A\times B)\cup(A\times[/mm] C)
>  
> Ist hier mit [mm]\times[/mm] das kartesische Produkt gemeint? Denn
> dann ist die Behauptung sicher falsch.
>  
> Sollte es nicht heissen: [mm]A\times(B\cup C)=(A\times B)\cup(A\times C)[/mm]
> ?

Ich schätze mal, dass du Recht hast! Ich würde es jetzt also folgendermaßen beweisen:
[mm] (x,y)\in A\times(B\cup [/mm] C)
[mm] \gdw x\in [/mm] A und [mm] y\in (B\cup [/mm] C)
[mm] \gdw x\in [/mm] A und [mm] (y\in [/mm] B oder [mm] y\in [/mm] C)
[mm] \gdw (x\in [/mm] A und [mm] y\in [/mm] B) oder [mm] (x\in [/mm] A und [mm] y\in [/mm] C)
[mm] \gdw (x\in (A\times [/mm] B)) oder [mm] (x\in (A\times [/mm] C))
[mm] \gdw (x\in (A\times [/mm] B)) [mm] \cup (x\in (A\times [/mm] C))

Stimmt das so?
Könnte man denn mit [mm] A\cup(B\times [/mm] C) irgendeinen Beweisanfang machen (was auch immer man daraus folgern möchte)? Es müsste doch dann irgendwie so anfangen:
[mm] x\in [/mm] A oder [mm] x\in (B\times [/mm] C) - könnte das denn sein?

Viele Grüße
Bastiane
[cap]

Bezug
                        
Bezug
Mengenlehre: Ja korrekt.
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:29 Mi 09.03.2005
Autor: moudi


> Hallo Moudi!
>  > > Als erstes habe ich hier folgende Aufgabe:

>  >  >  zz: [mm]A\cup(B\times C)=(A\times B)\cup(A\times[/mm] C)
>  >  
> > Ist hier mit [mm]\times[/mm] das kartesische Produkt gemeint? Denn
>
> > dann ist die Behauptung sicher falsch.
>  >  
> > Sollte es nicht heissen: [mm]A\times(B\cup C)=(A\times B)\cup(A\times C)[/mm]
>
> > ?
>  
> Ich schätze mal, dass du Recht hast! Ich würde es jetzt
> also folgendermaßen beweisen:
>  [mm](x,y)\in A\times(B\cup[/mm] C)
>  [mm]\gdw x\in[/mm] A und [mm]y\in (B\cup[/mm] C)
>  [mm]\gdw x\in[/mm] A und [mm](y\in[/mm] B oder [mm]y\in[/mm] C)
>  [mm]\gdw (x\in[/mm] A und [mm]y\in[/mm] B) oder [mm](x\in[/mm] A und [mm]y\in[/mm] C)
>  [mm]\gdw (x\in (A\times[/mm] B)) oder [mm](x\in (A\times[/mm] C))
>  [mm]\gdw (x\in (A\times[/mm] B)) [mm]\cup (x\in (A\times[/mm] C))
>  
> Stimmt das so?

[ok]

>  Könnte man denn mit [mm]A\cup(B\times[/mm] C) irgendeinen
> Beweisanfang machen (was auch immer man daraus folgern
> möchte)? Es müsste doch dann irgendwie so anfangen:
>  [mm]x\in[/mm] A oder [mm]x\in (B\times[/mm] C) - könnte das denn sein?

Das schon, aber [mm] $A\cup(B\times [/mm] C)$ macht nicht so viel Sinn, denn die Menge [mm] $B\times [/mm] C$ besteht aus Paaren (b,c) und wenn die Menge A nicht aus Paaren besteht, kann man die Vereinigung [mm] $A\cup(B\times [/mm] C)$ schon bilden, aber man kann ohne Voraussetzungen an die Menge A nicht umformen.

mfG Moudi
>  
> Viele Grüße
>  Bastiane
>  [cap]
>  
>  
Bezug
                                
Bezug
Mengenlehre: Danke.
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:30 Mi 09.03.2005
Autor: Bastiane

Hallo Moudi!
>  >  [mm](x,y)\in A\times(B\cup[/mm] C)
>  >  [mm]\gdw x\in[/mm] A und [mm]y\in (B\cup[/mm] C)
>  >  [mm]\gdw x\in[/mm] A und [mm](y\in[/mm] B oder [mm]y\in[/mm] C)
>  >  [mm]\gdw (x\in[/mm] A und [mm]y\in[/mm] B) oder [mm](x\in[/mm] A und [mm]y\in[/mm] C)
>  >  [mm]\gdw (x\in (A\times[/mm] B)) oder [mm](x\in (A\times[/mm] C))
>  >  [mm]\gdw (x\in (A\times[/mm] B)) [mm]\cup (x\in (A\times[/mm] C))
>  >  
> > Stimmt das so?
>  
> [ok]
>  
> >  Könnte man denn mit [mm]A\cup(B\times[/mm] C) irgendeinen

> > Beweisanfang machen (was auch immer man daraus folgern
>
> > möchte)? Es müsste doch dann irgendwie so anfangen:
>  >  [mm]x\in[/mm] A oder [mm]x\in (B\times[/mm] C) - könnte das denn sein?
>  
> Das schon, aber [mm]A\cup(B\times C)[/mm] macht nicht so viel Sinn,
> denn die Menge [mm]B\times C[/mm] besteht aus Paaren (b,c) und wenn
> die Menge A nicht aus Paaren besteht, kann man die
> Vereinigung [mm]A\cup(B\times C)[/mm] schon bilden, aber man kann
> ohne Voraussetzungen an die Menge A nicht umformen.

Okay, danke. Das letzte dachte ich mir schon.

Viele Grüße
Bastiane
[cap]

Bezug
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