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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:37 Di 04.04.2006 | | Autor: | frau-u |
| Aufgabe | Finden sie einen Beweis bzw. Gegenbeweis für folgende Beziehungen:
a) A [mm] \cup [/mm] (B [mm] \cap [/mm] C) [mm] \subset [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \cap [/mm] C
b) (A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \cap [/mm] C [mm] \subset [/mm] A [mm] \cup [/mm] (B [mm] \cap [/mm] C)
c) (A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \setminus [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B) = (A [mm] \setminus [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (B [mm] \setminus [/mm] A) |
Ich muss leider erst einmal in die Denke der Mengenlehre reinkommen. Ähnliche Fragen hier im Forum haben mir zwar schon weitergeholfen, aber so wirklich bin ich noch nicht auf dem richtigen Pfad, glaube ich.
Also hier mal meine Ansätze:
a) (x [mm] \in A)\vee(x \in B)\wedge(x \in A)\vee(x \in [/mm] C) [mm] \subset [/mm] (x [mm] \in A)\wedge(x \in C)\vee(x \in B)\wedge(x \in [/mm] C)
Das heisst also: x ist in A und B oder in A und C sowie Teilmenge von x in A und x in C oder x in B und x in C.
Und nun?
b) hier gilt ja im Prinzip das gleiche wie in a), nur umgekehrt.
c) dürfte korrekt sein. Das ist die Menge, die in in A oder B ist, aber nicht in beiden. Kann ich das noch beweisen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:05 Mi 05.04.2006 | | Autor: | dormant |
Hi!
> a) A [mm]\cup[/mm] (B [mm]\cap[/mm] C) [mm]\subset[/mm] (A [mm]\cup[/mm] B) [mm]\cap[/mm] C
Betrachte mal den Fall, wenn keine zwei der drei Mengen A, B und C ein gemeinsames Element haben.
> b) (A [mm]\cup[/mm] B) [mm]\cap[/mm] C [mm]\subset[/mm] A [mm]\cup[/mm] (B [mm]\cap[/mm] C)
Hier hilft es, wenn man weiß, dass [mm] (A\cup B)\cap C=(A\cap C)\cup (B\cap [/mm] C).
> c) (A [mm]\cup[/mm] B) [mm]\setminus[/mm] (A [mm]\cap[/mm] B) = (A [mm]\setminus[/mm] B) [mm]\cup[/mm]
> (B [mm]\setminus[/mm] A)
Zeige, dass die Menge auf der rechten Seite eine Teilmenge der Menge auf der linken Seite ist und dass die auf der linken eine Teilmenge der auf der rechten. Nimm an ein beliebiges Element x ist in der einen Menge enthalten und zeige, dass es auch in der anderen enthalten sein muss.
> Also hier mal meine Ansätze:
> a) (x [mm]\in A)\vee(x \in B)\wedge(x \in A)\vee(x \in[/mm] C)
> [mm]\subset[/mm] (x [mm]\in A)\wedge(x \in C)\vee(x \in B)\wedge(x \in[/mm]
> C)
Ich konnte damit nach 2 Minuten nichts anfangen.
> b) hier gilt ja im Prinzip das gleiche wie in a), nur
> umgekehrt.
Nein. Wenn a) und b) gleichzeitig gelten, dann hast du bewiesen, dass die Mengen auf den beiden Seiten des Teilmengezeichens identisch sind. Das selbe erwartet man von dir in c).
> c) dürfte korrekt sein. Das ist die Menge, die in in A oder
> B ist, aber nicht in beiden. Kann ich das noch beweisen?
Die Identität stimmt schon. Das nennt sich das symmetrische Komplement von A und B.
Gruß,
dormant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:13 Mi 05.04.2006 | | Autor: | frau-u |
>> Also hier mal meine Ansätze:
>> a) (x [mm]\in A)\vee(x \in B)\wedge(x \in A)\vee(x \in[/mm] C) [mm]\subset[/mm] (x [mm]\in A)\wedge(x \in C)\vee(x \in B)\wedge(x \in[/mm] C)
>Ich konnte damit nach 2 Minuten nichts anfangen.
Kannst du mir dann verraten, wie die Schreibweise stattdessen sein soll?
Genau so wird es in dem Buch geschrieben, das vor mir liegt...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:41 Mi 05.04.2006 | | Autor: | metzga |
Morgen,
deine Schreibweise ist viel zu umständlich. Verwende doch genau die gleiche,
wie in der Aufgabenstellung.
so nun meine Tipps für a und b:
geh mal von der Beziehung aus: [mm]A \cap B \subset A[/mm]
und von [mm]A \subset B \Rightarrow A \overset{\cap}{\cup} C \subset B \overset{\cup}{\cap} C[/mm]
bei der c) sollte dir eigentlich das hier reichen:
[mm]A \backslash B = A \cap \overline{B}[/mm]
form zuerst die linke Seite um und danach die rechte und wenn beide gleich sind,
setzt du erst das Gleichheitszeichen. Wenn du von Anfang an das Gleicheitszeichen
benutzt, bis links und rechts das Gleiche da steht, wäre es kein gültiger Beweis.
mfg
metzga
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:51 Mi 05.04.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
um es nochmal mit aller Deutlichkeit zu sagen:
a) ist falsch und es reicht ein Gegenbeispiel.
Dazu (wie schon gesagt wurde) wähle die drei Mengen disjunkt und nicht-leer, was steht dann auf der linken und auf der echten Seite?
viele Grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:54 Mi 05.04.2006 | | Autor: | metzga |
Morgen,
> um es nochmal mit aller Deutlichkeit zu sagen:
> a) ist falsch und es reicht ein Gegenbeispiel.
> Dazu (wie schon gesagt wurde) wähle die drei Mengen
> disjunkt und nicht-leer,
Mir ist schon bewusst dass ein Gegenbeispiel reicht, aber für die b)
langt halt ein Beispiel für den Beweis nicht.
> was steht dann auf der linken und
> auf der echten Seite?
>
Eine Gleichung [mm](A \cup B) \setminus (A \cap B) = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)[/mm]
hat eine linke Seite
[mm](A \cup B) \setminus (A \cap B)[/mm]
und eine recht Seite
[mm](A \setminus B) \cup (B \setminus A)[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:19 Mi 05.04.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi metzga,
meine Antwort war doch nur als Antwort auf die spezielle Frage zu der a) gemeint, nicht als Anmerkung zu deiner Antwort.
Ich fand halt, dass es dem Fragesteller nicht klar genug gemacht wurde, dass die a) durch ein simples Gegenbeispiel gemacht wird - und weil er speziell zu der a) gefragt hat, habe ich auch nur darauf geantwortet.
viele Gruesse
DaMenge
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