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Mengenlehre 6: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:52 So 31.03.2013
Autor: ne1

Hallo :),


Aufgabe
Beweise, dass für zwei beliebige Untermengen [tex]A[/tex] und [tex]B[/tex] der definierten Grundmenge [tex]X[/tex] die Gleichung [tex](A^c)^c = A[/tex] gilt.





6. [tex]x \in X\backslash (X\backslash A) \Leftrightarrow  x \in X \wedge x \in A \Rightarrow x \in A[/tex].
[tex]\Leftarrow[/tex]: ich weiß auch, dass [tex]A \subseteq X[/tex] also [tex]x \in A \Rightarrow x \in X[/tex]

Was passiert wenn ich direkt anwenden will, dass [tex]A \subseteq X[/tex]?
[tex]x \in X\backslash (X \backslash A) \wedge (x \in A \Rightarrow x \in X) \Leftrightarrow x \in X \wedge x \in A \wedge (x \in A \Rightarrow x \in X)[/tex]

[tex]\begin{tabular}{|rc|c} \hline X & A &  \\ \hline 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ \hline \end{tabular}[/tex]
Die zweite Zeile ist anders als [tex]A[/tex]. Kann ich von Anfang an annehmen, dass [tex]x \in X = 1[/tex], da wir nur Elemente einer Grundmenge betrachten also kann ich die ersten beiden Zeilen weglassen?

Danke im Voraus.

Ich habe diese Fragen in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Mengenlehre 6: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:53 Di 02.04.2013
Autor: schachuzipus

Hallo ne1,

 > Hallo :),

Diese tex-tags zerschießen beim Zitieren den ganzen Artikel.

Nimm lieber die Dollarzeichen oder die mm-tags ...


>
>

> Beweise, dass für zwei beliebige Untermengen [tex]A[/tex] und [tex]B[/tex] der
> definierten Grundmenge [tex]X[/tex] die Gleichung [tex](A^c)^c = A[/tex] gilt.

Was hat B mit der Aussage zu tun?

>
>
>
>

> 6. [tex]x \in X\backslash (X\backslash A) \Leftrightarrow  x \in X \wedge x \in A \Rightarrow x \in A[/tex].

[mm] x\in X\wedge x\in [/mm] A[mm] hast du schnell geschlossen ... > > [tex]\Leftarrow[/tex]: ich weiß auch, dass [tex]A \subseteq X[/tex] also [tex]x \in A \Rightarrow x \in X[/tex] Wieso? Wenn du die Zwischenschritte in der Richtung [/mm][mm] \subseteq [/mm] mal aufschreibst, sind das Äquivalenzen und du bist fertig.


>

> Was passiert wenn ich direkt anwenden will, dass [tex]A \subseteq X[/tex]?

>

> [tex]x \in X\backslash (X \backslash A) \wedge (x \in A \Rightarrow x \in X) \Leftrightarrow x \in X \wedge x \in A \wedge (x \in A \Rightarrow x \in X)[/tex]

>

> [tex]\begin{tabular}{|rc|c} > \hline > X & A &  \\ \hline > 0 & 0 & 0 \\ > 0 & 1 & 0 \\ > 1 & 0 & 0 \\ > 1 & 1 & 1 \\ \hline > \end{tabular}[/tex]

Das ist ja eine WWT, da sollten in der Kopfzeile Aussagen stehen, also [mm]x\in X[/mm] bzw. [mm]x\in A[/mm]

Wofür steht deine 3. Spalte?

Da sollte doch [mm]x\in (A^c)^c[/mm] im Kopf stehen ...

>

> Die zweite Zeile ist anders als [tex]A[/tex]. Kann ich von Anfang an
> annehmen, dass [tex]x \in X = 1[/tex], da wir nur Elemente einer
> Grundmenge betrachten also kann ich die ersten beiden
> Zeilen weglassen?

Für [mm]x\notin X[/mm] ist die Aussage sinnlos. Du nimmst schon ein Element [mm]x[/mm] aus der Grundmenge her ...

Die Tabelle ist sehr sehr kraus. Halte dich besser an den ersten Beweis, formuliere den mal schön aus.

Fange an mit [mm]x\in (A^c)^c[/mm] und forme mit Äquivalenzen um zu [mm]x\in A[/mm] ...


>

> Danke im Voraus.

>

> Ich habe diese Fragen in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

>

Gruß

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
Mengenlehre 6: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:57 Di 02.04.2013
Autor: ne1

Nur noch zur Kontrolle:

$x [mm] \in (A^c)^c \Leftrightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] X [mm] \backslash [/mm] (X [mm] \backslash [/mm] A) [mm] \Leftrightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] X [mm] \wedge \neg [/mm] (x [mm] \in [/mm] X [mm] \backslash [/mm] A) [mm] \Leftrightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] X [mm] \wedge \neg [/mm] (x [mm] \in [/mm] X [mm] \wedge [/mm] x [mm] \notin [/mm] A) [mm] \Leftrightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] X [mm] \wedge [/mm] (x [mm] \notin [/mm] X [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] A) [mm] \Leftrightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] X [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \Leftrightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A$



Mich hat z.b. sowas wie $x [mm] \in [/mm] X [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \Leftrightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A$ verwirrt, da man normalerweise kein [mm] $\Leftrightarrow$ [/mm] setzten darf, ich weiß, aber das es sich um eine Grundmenge handelt und deshalb darf ich es tun und jetzt hat sich eigentlich schon alles erledigt.

Bezug
                        
Bezug
Mengenlehre 6: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:03 Di 02.04.2013
Autor: Marcel

Hallo,

> Nur noch zur Kontrolle:
>  
> [mm]x \in (A^c)^c \Leftrightarrow x \in X \backslash (X \backslash A) \Leftrightarrow x \in X \wedge \neg (x \in X \backslash A) \Leftrightarrow x \in X \wedge \neg (x \in X \wedge x \notin A) \Leftrightarrow x \in X \wedge (x \notin X \vee x \in A)\Leftrightarrow[/mm]

hier kann man jetzt noch einfügen
$$(x [mm] \in [/mm] X [mm] \wedge [/mm] x [mm] \notin [/mm] X) [mm] \vee [/mm] (x [mm] \in [/mm] X [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] A)$$
(muss man aber nicht unbedingt!)

> [mm] \Leftrightarrow x \in X \wedge x \in A \Leftrightarrow x \in A[/mm]

[ok]

Gruß,
  Marcel

Bezug
        
Bezug
Mengenlehre 6: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:49 Di 02.04.2013
Autor: Marcel

Hallo,

> Hallo :),
>  
>
> Beweise, dass für zwei beliebige Untermengen $A$ und $B$ der
> definierten Grundmenge $X$ die Gleichung [mm] $(A^c)^c [/mm] = A$ gilt.

sowas sind Standardbeweise: Zwei Mengen [mm] $R,\;S\,$ [/mm] sind genau dann
gleich, wenn sowohl $R [mm] \subseteq [/mm] S$ als auch $S [mm] \subseteq [/mm] R$ gilt.

Zur Erinnerung: Ist $B [mm] \subseteq X\,,$ [/mm] so gilt [mm] $B^c:=\{x \in X:\;\;x \notin B\}\,.$ [/mm]

Zeige also

    1. [mm] $(A^c)^c \subseteq [/mm] A$

als auch

    2. $A [mm] \subseteq (A^c)^c\,.$ [/mm]

Mit der Erinnerung:

    I.  [mm] $A^c=\{x \in X:\;\;x \notin A\}$ [/mm]

und

    [mm] II.$(A^c)^c=\{x \in X:\;\;x \notin A^c\}\,.$ [/mm]



Zu 1.: Für jedes $x [mm] \in (A^c)^c$ [/mm] ist $x [mm] \in [/mm] X$ und $x [mm] \notin A^c\,.$ [/mm] Also gilt für jedes solche [mm] $x\,$ [/mm] auch
$x [mm] \in [/mm] X$ und [mm] $\neg(x \in A^c)$. [/mm] Also gilt $x [mm] \in [/mm] X$ und [mm] ($\neg(x \in [/mm] X [mm] \text{ und }x \notin A)\,$). [/mm] Das heißt $x [mm] \in [/mm] X$ und
[mm] ($\neg [/mm] (x [mm] \in [/mm] X)$ oder [mm] $\neg [/mm] (x [mm] \notin [/mm] A)$).

Also $x [mm] \in [/mm] X$ und ($x [mm] \notin [/mm] X$ oder $x [mm] \in [/mm] A$).
Mit den de Morganschen Regeln der Logik also
$$(x [mm] \in [/mm] X [mm] \text{ und }x \notin [/mm] X) [mm] \text{ oder }(x \in [/mm] X [mm] \text{ und }x \in A)\,.$$ [/mm]
Letzteres geht nur für $x [mm] \in [/mm] X$ und $x [mm] \in A\,,$ [/mm] also folgt $x [mm] \in A\,.$ [/mm]


Zu 2.: Zu zeigen: Für alle $x [mm] \in [/mm] A$ gilt $x [mm] \in (A^c)^c\,.$ [/mm] Für jedes $x [mm] \in [/mm] A$ gilt $x [mm] \in [/mm] X$ und
[mm] $\neg(x \notin A)\,,$ [/mm] also $x [mm] \in [/mm] X$ und $x [mm] \notin A^c\,.$ [/mm] Daraus folgt $x [mm] \in (A^c)^c\,.$ [/mm]

(P.S.: 2. ist jetzt auch ein wenig "kurz" gehalten. Man kann es wie 1. auch
etwas ausführlicher aufschreiben!)

Gruß,
  Marcel

Bezug
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