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Mengenlehre 8: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:56 So 31.03.2013
Autor: ne1

Hallo :),


Aufgabe
Gegeben seien die Mengen [tex]A, B[/tex]. Löse die Gleichung [tex]A \cup X = B[/tex].





8. [tex]B \backslash A  \subseteq X \subseteq B[/tex]
Ich muss, aber noch zeigen, dass es die einzige Lösung für [tex]A  \subseteq B[/tex] ist und dass es keine Lösung für [tex]A \not\subseteq B[/tex] gibt.

Ich beweise, dass mein [tex]X[/tex] tatsächlich die Gleichung löst: [tex]x \in A \cup X \Leftrightarrow (x \in A \vee x \in B) \wedge (x \in A \Rightarrow x \in B) \Leftrightarrow B[/tex].
Ich beweise, dass das obige meine einzige Lösung ist: [tex](x \in A \vee x \notin B) \wedge (x \in A \Rightarrow x \in B) \not \Leftrightarrow B[/tex].
Ich beweise, dass für [tex]A \not \subseteq B[/tex] keine Lösung gibt: Sei [tex]x \in A[/tex] und [tex]x \notin B[/tex]. Aus der Definition der Vereinigung weiß ich, dass [tex]x \in B[/tex] also Wiederspruch.

Danke im Voraus.

Ich habe diese Fragen in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Mengenlehre 8: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:50 Fr 05.04.2013
Autor: tobit09

Hallo ne1,


> 8. [tex]B \backslash A  \subseteq X \subseteq B[/tex]
>  Ich muss,
> aber noch zeigen, dass es die einzige Lösung für
> [tex]A  \subseteq B[/tex] ist und dass es keine Lösung für [tex]A \not\subseteq B[/tex]
> gibt.

Du meinst: Im Falle [mm] $A\subseteq [/mm] B$ lösen genau die Mengen X mit [mm] $B\setminus A\subseteq X\subseteq [/mm] B$ die Gleichung, im Falle [mm] $A\not\subseteq [/mm] B$ gibt es keine Lösung der Gleichung. Das stimmt!


> Ich beweise, dass mein [tex]X[/tex] tatsächlich die Gleichung löst:

Du beweist also, dass im Falle [mm] $A\subseteq [/mm] B$ JEDE Menge X mit [mm] $B\setminus [/mm] A [mm] \subseteq X\subseteq [/mm] B$ die Gleichung löst.

> [tex]x \in A \cup X \Leftrightarrow (x \in A \vee x \in B) \wedge (x \in A \Rightarrow x \in B) \Leftrightarrow B[/tex].

Am Ende meinst du wohl [mm] $x\in [/mm] B$ statt B.

Ich kann deinem ersten Äquivalenzzeichen nicht folgen.

Am besten, du zeigst nacheinander [mm] $A\cup X\subseteq [/mm] B$ und [mm] $A\cup X\supseteq [/mm] B$. Etwa ersteres: Sei [mm] $x\in A\cup [/mm] X$. Dann ist [mm] $x\in [/mm] A$ oder [mm] $x\in [/mm] X$. Im ersteren Fall folgt [mm] $x\in [/mm] B$ wegen ..., im Falle [mm] $x\in [/mm] X$ gilt [mm] $x\in [/mm] B$ wegen ... .


> Ich beweise, dass das obige meine einzige Lösung ist: [tex](x \in A \vee x \notin B) \wedge (x \in A \Rightarrow x \in B) \not \Leftrightarrow B[/tex].

Im Falle $A=B$ stimmt das [mm] $\not\Leftrightarrow$ [/mm] nicht. Ich kann nicht folgen, was das mit dem Zu Zeigenden zu tun hat.

Sei X eine Lösung der Gleichung. Zu zeigen ist [mm] $B\setminus A\subseteq X\subseteq [/mm] B$. Zeige nacheinander die beiden Inklusionen (Teilmengenbeziehungen).


> Ich beweise, dass für [tex]A \not \subseteq B[/tex] keine Lösung
> gibt: Sei [tex]x \in A[/tex] und [tex]x \notin B[/tex]. Aus der Definition der
> Vereinigung weiß ich, dass [tex]x \in B[/tex] also Wiederspruch.

[ok]


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                
Bezug
Mengenlehre 8: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:11 Sa 06.04.2013
Autor: ne1


> Hallo ne1,
>  
>
> > 8. [tex]B \backslash A  \subseteq X \subseteq B[/tex]
>  >  Ich
> muss,
> > aber noch zeigen, dass es die einzige Lösung für
> > [tex]A  \subseteq B[/tex] ist und dass es keine Lösung für [tex]A \not\subseteq B[/tex]
> > gibt.
>  Du meinst: Im Falle [mm]A\subseteq B[/mm] lösen genau die Mengen X
> mit [mm]B\setminus A\subseteq X\subseteq B[/mm] die Gleichung, im
> Falle [mm]A\not\subseteq B[/mm] gibt es keine Lösung der Gleichung.
> Das stimmt!

Ja, genau. Sorry. :D

Nochmal nur noch $A [mm] \subseteq [/mm] B$.
Ich muss zeigen:
1. $A [mm] \cup [/mm] X [mm] \subseteq [/mm] B$
2. $B [mm] \subseteq [/mm] A [mm] \cup [/mm] X $

1. $ x [mm] \in [/mm] A [mm] \cup [/mm] X [mm] \Leftrightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] X [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] B$
Beim ersten [mm] $\Rightarrow$ [/mm] nutze ich die Tatsache, dass $B [mm] \backslash [/mm] A [mm] \subseteq [/mm] X [mm] \subseteq [/mm] B$.
Beim zweiten [mm] $\Rightarrow$ [/mm] nutze ich die Tatsache, dass $A [mm] \subseteq [/mm] B$.

2. $ x [mm] \in [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] X [mm] \Leftrightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \cup [/mm] X$
Beim zweiten [mm] $\Rightarrow$ [/mm] nutze ich die Tatsache, dass $B [mm] \backslash [/mm] A [mm] \subseteq [/mm] X [mm] \subseteq [/mm] B$.


> Sei X eine Lösung der Gleichung. Zu zeigen ist [mm]B\setminus A\subseteq X\subseteq B[/mm].
> Zeige nacheinander die beiden Inklusionen
> (Teilmengenbeziehungen).

Das habe ich jetzt nicht ganz verstanden. Ich weiß zwar, dass X eine Lösung ist, aber wie zeige ich, dass [mm]B\setminus A\subseteq X\subseteq B[/mm].

Hier noch eine Idee $x [mm] \in [/mm] A [mm] \cup [/mm] X [mm] \Leftrightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] X ... x [mm] \in [/mm] B [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \Leftrightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] B$. Ich kann also ein [mm] $\Leftrightarrow$ [/mm] setzen, wenn $ X = B$. Man sieht aber auch direkt, dass die Aussagen äquivalent sind, wenn $X = [mm] B\backslash [/mm] A $. Daraus folgt $B [mm] \backslash [/mm] A  [mm] \subseteq [/mm] X [mm] \subseteq [/mm] B$.

Bezug
                        
Bezug
Mengenlehre 8: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:42 Di 09.04.2013
Autor: tobit09


> Nochmal nur noch [mm]A \subseteq B[/mm].
>  Ich muss zeigen:
>  1. [mm]A \cup X \subseteq B[/mm]
>  2. [mm]B \subseteq A \cup X[/mm]

Ja, wenn $X$ eine Menge mit [mm] $B\setminus A\subseteq X\subseteq [/mm] B$ ist.

> 1. [mm]x \in A \cup X \Leftrightarrow x \in A \vee x \in X \Rightarrow x \in A \vee x \in B \Rightarrow x \in B[/mm]
>  
> Beim ersten [mm]\Rightarrow[/mm] nutze ich die Tatsache, dass [mm]B \backslash A \subseteq X \subseteq B[/mm].
>  
> Beim zweiten [mm]\Rightarrow[/mm] nutze ich die Tatsache, dass [mm]A \subseteq B[/mm].

[ok]

> 2. [mm]x \in B \Rightarrow x \in A \vee x \in B \Rightarrow x \in A \vee x \in X \Leftrightarrow x \in A \cup X[/mm]
>  
> Beim zweiten [mm]\Rightarrow[/mm] nutze ich die Tatsache, dass [mm]B \backslash A \subseteq X \subseteq B[/mm].

O.K.


> > Sei X eine Lösung der Gleichung. Zu zeigen ist [mm]B\setminus A\subseteq X\subseteq B[/mm].
> > Zeige nacheinander die beiden Inklusionen
> > (Teilmengenbeziehungen).
>  
> Das habe ich jetzt nicht ganz verstanden. Ich weiß zwar,
> dass X eine Lösung ist, aber wie zeige ich, dass
> [mm]B\setminus A\subseteq X\subseteq B[/mm].

Zu [mm] $B\setminus A\subseteq [/mm] X$: Sei [mm] $x\in B\setminus [/mm] A$. Dann ist insbesondere [mm] $x\in [/mm] B$. Da [mm] $B=A\cup [/mm] X$ also [mm] $x\in A\cup [/mm] X$. Das heißt wiederum [mm] $x\in [/mm] A$ oder [mm] $x\in [/mm] X$. Wegen [mm] $x\in B\setminus [/mm] A$ gilt aber nicht [mm] $x\in [/mm] A$. Also bleibt nur [mm] $x\in [/mm] X$ übrig.

Versuche du nun nochmal [mm] $X\subseteq [/mm] B$. Vergiss dabei nicht zu benutzen, dass $X$ eine Lösung der Gleichung ist, also [mm] $A\cup [/mm] X=B$ erfüllt.


> Hier noch eine Idee [mm]x \in A \cup X \Leftrightarrow x \in A \vee x \in X ... x \in B \vee x \in A \Leftrightarrow x \in B[/mm].

Naja, wenn $X$ eine Lösung ist, also [mm] $A\cup [/mm] X=B$ gilt dann ist natürlich [mm] $x\in A\cup X\gdw x\in [/mm] B$.

> Ich kann also ein [mm]\Leftrightarrow[/mm] setzen, wenn [mm]X = B[/mm]. Man
> sieht aber auch direkt, dass die Aussagen äquivalent sind,
> wenn [mm]X = B\backslash A [/mm]. Daraus folgt [mm]B \backslash A \subseteq X \subseteq B[/mm].

Die letzte Schlussfolgerung stimmt nicht. Du überlegst vorher nur, dass $X=B$ und [mm] $X=B\setminus [/mm] A$ Lösungen der Gleichungen sind. Zu zeigen ist aber, dass JEDE Lösung $X$ der Gleichung bereits [mm] $B\setminus A\subseteq X\subseteq [/mm] B$ erfüllt.

Bezug
                                
Bezug
Mengenlehre 8: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:21 Fr 12.04.2013
Autor: ne1


>  Zu [mm]B\setminus A\subseteq X[/mm]:
> Sei [mm]x\in B\setminus A[/mm]. Dann ist insbesondere [mm]x\in B[/mm]. Da
> [mm]B=A\cup X[/mm] also [mm]x\in A\cup X[/mm]. Das heißt wiederum [mm]x\in A[/mm]
> oder [mm]x\in X[/mm]. Wegen [mm]x\in B\setminus A[/mm] gilt aber nicht [mm]x\in A[/mm].
> Also bleibt nur [mm]x\in X[/mm] übrig.
>  
> Versuche du nun nochmal [mm]X\subseteq B[/mm]. Vergiss dabei nicht
> zu benutzen, dass [mm]X[/mm] eine Lösung der Gleichung ist, also
> [mm]A\cup X=B[/mm] erfüllt.

Ich zeige $X [mm] \subseteq [/mm] B$.
$x [mm] \in [/mm] X$, ich weiß aber auch, dass $A [mm] \cup [/mm] X = B$ also liegt mein $x$ in $B$. Das heißt $X [mm] \subseteq [/mm] B$.


Musste ich also bei dieser Aufgabe eine Vermutung aufstellen ($B [mm] \backslash [/mm] A [mm] \subseteq [/mm] X [mm] \subseteq [/mm] B$), sie beweisen (d.h. beide Inklusionen beweisen) und ggf. noch zeigen, dass $A [mm] \not \subseteq [/mm] B$ keine Lösung hat?

Das was ich vorher gemacht habe, war sozusagen nur eine Probe, oder?
>1. $ A [mm] \cup [/mm] X [mm] \subseteq [/mm] B $
>2. $ B [mm] \subseteq [/mm] A [mm] \cup [/mm] X $

Bezug
                                        
Bezug
Mengenlehre 8: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:05 Fr 12.04.2013
Autor: tobit09


> > Versuche du nun nochmal [mm]X\subseteq B[/mm]. Vergiss dabei nicht
> > zu benutzen, dass [mm]X[/mm] eine Lösung der Gleichung ist, also
> > [mm]A\cup X=B[/mm] erfüllt.
>  
> Ich zeige [mm]X \subseteq B[/mm].
>  [mm]x \in X[/mm], ich weiß aber auch,
> dass [mm]A \cup X = B[/mm] also liegt mein [mm]x[/mm] in [mm]B[/mm]. Das heißt [mm]X \subseteq B[/mm].

[ok]


> Musste ich also bei dieser Aufgabe eine Vermutung
> aufstellen ([mm]B \backslash A \subseteq X \subseteq B[/mm]), sie
> beweisen (d.h. beide Inklusionen beweisen) und ggf. noch
> zeigen, dass [mm]A \not \subseteq B[/mm] keine Lösung hat?

Ja, all das war zu tun. Damit hast du in den beiden Fällen [mm] $A\subseteq [/mm] B$ und [mm] $A\not\subseteq [/mm] B$ sozusagen jeweils gezeigt, dass du keine Lösung vergessen hast.

> Das was ich vorher gemacht habe, war sozusagen nur eine
> Probe, oder?
>  >1. [mm]A \cup X \subseteq B[/mm]
>  >2. [mm]B \subseteq A \cup X[/mm]

Auch das gehörte zur Lösung der Aufgabe, um zu zeigen, dass du keine Lösung zu viel angegeben hast.


Nochmal anders erklärt:

Deine Behauptungen waren:
a) Im Falle [mm] $A\not\subseteq [/mm] B$ gibt es keine Lösung der Gleichung.
b) Im Falle [mm] $A\subseteq [/mm] B$ gilt für jede Menge $X$: $X$ ist genau dann Lösung der Gleichung, wenn [mm] $B\setminus A\subseteq X\subseteq [/mm] B$.

Um b) zu zeigen, waren zwei Richtungen zu zeigen, die jeweils wiederum aus zwei zu zeigenden Teilmengenbeziehungen bestanden.

Bezug
                                                
Bezug
Mengenlehre 8: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:24 Sa 13.04.2013
Autor: ne1

Ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich das richtig verstanden habe.

> Nochmal anders erklärt:
>  
> Deine Behauptungen waren:
>  a) Im Falle [mm]A\not\subseteq B[/mm] gibt es keine Lösung der
> Gleichung.
>  b) Im Falle [mm]A\subseteq B[/mm] gilt für jede Menge [mm]X[/mm]: [mm]X[/mm] ist
> genau dann Lösung der Gleichung, wenn [mm]B\setminus A\subseteq X\subseteq B[/mm].
>  
> Um b) zu zeigen, waren zwei Richtungen zu zeigen, die
> jeweils wiederum aus zwei zu zeigenden
> Teilmengenbeziehungen bestanden.

a) ist klar, habe ich auch gezeigt.

b) Ich habe meine Vermutung aufgestellt. Dann habe ich sie mit

>  >  >1. [mm]A \cup X \subseteq B[/mm]
>  >  >2. [mm]B \subseteq A \cup X[/mm]

bewiesen.

Die beiden Inklusionen $ B [mm] \backslash [/mm] A [mm] \subseteq [/mm] X [mm] \subseteq [/mm] B $ waren sozusagen um zu zeigen, dass mein $X$ tatsächlich eine Teilmenge von $B$ bzw. $B [mm] \backslash [/mm] A$ eine Teilmenge von $X$.

Bezug
                                                        
Bezug
Mengenlehre 8: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:29 Sa 13.04.2013
Autor: tobit09


> > Deine Behauptungen waren:
>  >  a) Im Falle [mm]A\not\subseteq B[/mm] gibt es keine Lösung der
> > Gleichung.
>  >  b) Im Falle [mm]A\subseteq B[/mm] gilt für jede Menge [mm]X[/mm]: [mm]X[/mm] ist
> > genau dann Lösung der Gleichung, wenn [mm]B\setminus A\subseteq X\subseteq B[/mm].
>  
> >  

> > Um b) zu zeigen, waren zwei Richtungen zu zeigen, die
> > jeweils wiederum aus zwei zu zeigenden
> > Teilmengenbeziehungen bestanden.
>
> a) ist klar, habe ich auch gezeigt.
>  
> b) Ich habe meine Vermutung aufgestellt. Dann habe ich sie
> mit
> >  >  >1. [mm]A \cup X \subseteq B[/mm]

>  >  >  >2. [mm]B \subseteq A \cup X[/mm]
>  
> bewiesen.

Nein, damit hast du nur die Rückrichtung von b) gezeigt.

> Die beiden Inklusionen [mm]B \backslash A \subseteq X \subseteq B[/mm]
> waren sozusagen um zu zeigen, dass mein [mm]X[/mm]

Mit "mein $X$" meinst du: "jedes $X$, das die Gleichung löst".

> tatsächlich eine
> Teilmenge von [mm]B[/mm] bzw. [mm]B \backslash A[/mm] eine Teilmenge von [mm]X[/mm].

Ja, das war die Hinrichtung von b).

Bezug
                                                                
Bezug
Mengenlehre 8: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:44 So 14.04.2013
Autor: ne1

Jetzt verstehe ich die Aufgabe komplett. Danke ;).

Bezug
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