Mengenlehre 9 < naiv < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:59 So 31.03.2013 | | Autor: | ne1 |
Hallo :),
| Aufgabe | | Zeige, dass für eine beliebige Menge [tex]A[/tex], [tex]A \neq P(A)[/tex] gilt. |
9. Ich nehme an, dass die gleich sind also [tex]x \in A \Leftrightarrow x \subseteq A[/tex]. In der Lösund wurde die Menge [mm] \{x: x \in x\} [/mm] eingeführt, aber mir ist nicht ganz klar warum mein [tex]x[/tex] auch Element der Teilmenge [tex]x[/tex] sein soll.
Danke im Voraus.
Ich habe diese Fragen in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:42 So 31.03.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo :),
>
> Zeige, dass für eine beliebige Menge [tex]A[/tex], [tex]A \neq P(A)[/tex]
> gilt.
>
>
>
>
> 9. Ich nehme an, dass die gleich sind also [tex]x \in A \Leftrightarrow x \subseteq A[/tex].
> In der Lösund wurde die Menge [mm]\{x: x \in x\}[/mm] eingeführt,
> aber mir ist nicht ganz klar warum mein [tex]x[/tex] auch Element der
> Teilmenge [tex]x[/tex] sein soll.
wie sieht das in der Lösung aus; das ist mir nämlich nicht klar: Definieren
die
[mm] $$M:=\{x \in A:\;x \in x\}\text{ ?}$$
[/mm]
Dann etwa wäre es vollkommen uninteressant, ob Du Dir vorstellen kannst,
dass $x [mm] \in [/mm] x$ gelten kann oder nicht. Per Definitionem ist [mm] $M\,$ [/mm] "die Menge
aller $x [mm] \in A\,,$ [/mm] die $x [mm] \in [/mm] x$ erfüllen." Daraus folgt sofort $M [mm] \subseteq A\,$ [/mm] bzw. $M [mm] \in P(A)\,.$
[/mm]
Ob Du Dir ein Element aus [mm] $M\,$ [/mm] vorstellen kannst, ist doch total egal.
Vielleicht gibt's kein [mm] $x_0 \in [/mm] A$ mit [mm] $x_0 \in x_0\,,$ [/mm] dann ist [mm] $M=\emptyset\,.$
[/mm]
Die Menge [mm] $M\,$ [/mm] ist so jedenfalls wohldefiniert und Du kannst mit ihr
arbeiten, mehr brauchst Du nicht.
Nun aber zurück zur Aufgabe - ich hätte sie so gelöst, wohlwissend, dass
Du irgendwann eh diese Aussage sicher mal beweisen wirst oder deren
Beweis sehen wirst:
Man kann zeigen, dass es keine Surjektion [mm] $f\colon [/mm] A [mm] \to P(A)\,$ [/mm] gibt. Daraus
folgt die Behauptung, denn wäre [mm] $A=P(A)\,,$ [/mm] so wären [mm] $A\,$ [/mm] und [mm] $P(A)\,$
[/mm]
insbesondere gleichmächtig, zudem könnte man die Identität als Bijektion
verwenden.
Nun nehme man an, es gibt doch eine Surjektion [mm] $f\colon [/mm] A [mm] \to P(A)\,.$ [/mm]
Dann definiert man
[mm] $$B:=\{a \in A:\;\;a \notin f(a)\}\,.$$
[/mm]
Per Definitionem ist $B [mm] \subseteq A\,,$ [/mm] also $B [mm] \in P(A)\,.$ [/mm] Wäre [mm] $f\,$ [/mm] surjektiv,
so gäbe es ein $x [mm] \in [/mm] A$ mit [mm] $f(x)=B\,.$
[/mm]
Nun stellt man sich die Frage: Gilt nun $x [mm] \in B\,,$ [/mm] oder $x [mm] \notin [/mm] B$? Eines
von beiden müsste ja gelten.
Wenn $x [mm] \in [/mm] B$ ist, dann folgt nach Definition von [mm] $B\,$ [/mm] aber $x [mm] \notin f(x)\,.$
[/mm]
Wegen [mm] $f(x)=B\,$ [/mm] folgte dann aber der Widerspruch $x [mm] \notin B\,.$
[/mm]
Wenn $x [mm] \notin [/mm] B$ ist, dann gilt also $x [mm] \notin f(x)\,.$ [/mm] Ferner erinnern wir
uns, dass $x [mm] \in [/mm] A$ war. Es gilt also $x [mm] \in [/mm] A$ und $x [mm] \notin f(x)\,.$ [/mm] Dann ist
aber per Definitionem von [mm] $B\,$ [/mm] doch $x [mm] \in B\,.$ [/mm] Widerspruch.
Dies zeigt, dass die Annahme der Existenz einer Surjektion $f [mm] \colon [/mm] A [mm] \to [/mm] P(A)$
verworfen werden muss. Daraus folgt insbesondere, dass [mm] $A\not=P(A)$ [/mm] gelten muss.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:50 So 31.03.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo ne1,
> Zeige, dass für eine beliebige Menge [tex]A[/tex], [tex]A \neq P(A)[/tex]
> gilt.
>
>
>
>
> 9. Ich nehme an, dass die gleich sind also [tex]x \in A \Leftrightarrow x \subseteq A[/tex].
> In der Lösund wurde die Menge [mm]\{x: x \in x\}[/mm] eingeführt,
> aber mir ist nicht ganz klar warum mein [tex]x[/tex] auch Element der
> Teilmenge [tex]x[/tex] sein soll.
Habt ihr vereinbart (oder aus anderen Vereinbarungen geschlossen), dass [mm] $x\not\in [/mm] x$ für alle Mengen $x$ gilt?
In diesem Fall ist [mm] $A\in [/mm] P(A)$, aber [mm] $A\not\in [/mm] A$. Also kann nicht $A=P(A)$ gelten.
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:34 Mo 01.04.2013 | | Autor: | ne1 |
> wie sieht das in der Lösung aus; das ist mir nämlich nicht klar: Definieren die
> $ [mm] M:=\{x \in A:\;x \in x\}\text{ ?} [/mm] $
Ja.
> Dann etwa wäre es vollkommen uninteressant, ob Du Dir vorstellen kannst,
> dass $ x [mm] \in [/mm] x $ gelten kann oder nicht. Per Definitionem ist $ [mm] M\, [/mm] $ "die Menge
> aller $ x [mm] \in A\,, [/mm] $ die $ x [mm] \in [/mm] x $ erfüllen." Daraus folgt sofort $ M [mm] \subseteq A\, [/mm] $ bzw. $ M [mm] \in P(A)\,. [/mm] $
>
> Ob Du Dir ein Element aus $ [mm] M\, [/mm] $ vorstellen kannst, ist doch total egal.
> Vielleicht gibt's kein $ [mm] x_0 \in [/mm] A $ mit $ [mm] x_0 \in x_0\,, [/mm] $ dann ist $ [mm] M=\emptyset\,. [/mm] $
>
> Die Menge $ [mm] M\, [/mm] $ ist so jedenfalls wohldefiniert und Du kannst mit ihr
> arbeiten, mehr brauchst Du nicht.
Ok, das habe ich verstanden.
$ M [mm] \subseteq [/mm] A$ und $M [mm] \in [/mm] P(A)$. Da ich angenommen, dass die Mengen gleich sind, habe ich auch $M [mm] \subseteq [/mm] P(A)$ und $M [mm] \in [/mm] A$. Hilft mir das jetzt weiter?
Marcel, deine andere Variante spare ich mir erst mal, da ich mich mit dem Thema "Funktionen" noch nicht beschäftigt habe.
> Habt ihr vereinbart (oder aus anderen Vereinbarungen geschlossen), dass $ [mm] x\not\in [/mm] x $ für alle Mengen $ x $ gilt?
>
> In diesem Fall ist $ [mm] A\in [/mm] P(A) $, aber $ [mm] A\not\in [/mm] A $. Also kann nicht $ A=P(A) $ gelten.
Nein, das kenne ich leider noch nicht.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:53 Mo 01.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
Dann machen wir es so:
Angenommen $A=P(A)$.
Wir betrachten die Menge [mm] $B:=\{x\in P(A)\;|\;x\not\in x\}$.
[/mm]
Wegen [mm] $B\subseteq [/mm] P(A)=A$ gilt [mm] $B\in [/mm] P(A)$.
Somit [mm] $B\in B\gdw B\not\in [/mm] B$, Widerspruch.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:29 Mo 01.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> Marcel, deine andere Variante spare ich mir erst mal, da
> ich mich mit dem Thema "Funktionen" noch nicht beschäftigt
> habe.
okay, das ist auch gut zu wissen bzgl. Deiner anderen Frage(n). Ich habe
da nämlich auch schonmal auf obige Antwort verwiesen.
P.S. Wie man eine Funktion/Abbildung über Mengen definieren kann, findest
Du übrigens ![[]](/images/popup.gif) hier in Definition 1.6 (klick!).
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
