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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:44 Mi 16.06.2010 | | Autor: | BarneyS |
| Aufgabe | Beweise für beliebige Mengen $A, B$:
$A [mm] \cap [/mm] B = [mm] \emptyset \gdw [/mm] A [mm] \backslash [/mm] B = A$. |
Hallo,
kann mir jemand bei dem Beweis behilflich sein?
Man sieht, dass es stimmen muss, aber mir fehlt komplett der Ansatz zu einem mathematischen Beweis.
Um eine Äquivalenz zu beweisen, muss man doch:
1) Zeigen, dass Aussage1 [mm] \Rightarrow [/mm] Aussage2 und
2) dass Aussage2 [mm] \Rightarrow [/mm] Aussage1
richtig?
Prämisse 1 bedeutet:
$(x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] B) = [mm] \emptyset$
[/mm]
Dies bedeutet $A$ und $B$ haben keine gemeinsamen Elemente.
Also $A [mm] \backslash [/mm] B = A$
(und umgekehrt)
Mehr fältt mir dazu nicht ein.
Ist das ausreichend?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Beweise für beliebige Mengen [mm]A, B[/mm]:
> [mm]A \cap B = \emptyset \gdw A \backslash B = A[/mm].
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> Hallo,
> kann mir jemand bei dem Beweis behilflich sein?
> Man sieht, dass es stimmen muss, aber mir fehlt komplett
> der Ansatz zu einem mathematischen Beweis.
>
> Um eine Äquivalenz zu beweisen, muss man doch:
> 1) Zeigen, dass Aussage1 [mm]\Rightarrow[/mm] Aussage2 und
> 2) dass Aussage2 [mm]\Rightarrow[/mm] Aussage1
> richtig?
>
> Prämisse 1 bedeutet:
> [mm](x \in A \wedge x \in B) = \emptyset[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Naja. Links hast du einen logische Aussageform und rechts eine Menge. Da passt etwas nicht zusammen. Was bedeutet denn [mm]A \cap B = \emptyset[/mm] ?
Ich mach den Anfang: "x gehört zur Menge A und nicht zur Menge B oder ..."
[mm] $x\in [/mm] A [mm] \Rightarrow \ldots \notin \ldots$
[/mm]
[mm] $x\in [/mm] B [mm] \Rightarrow \ldots \notin \ldots$
[/mm]
[Edit] Besser:
[mm] $\nexists x:x\in [/mm] A [mm] \wedge x\in [/mm] B$
[mm] $\forall x\in [/mm] A [mm] \Rightarrow x\notin [/mm] B$
[mm] $\forall x\in [/mm] B [mm] \Rightarrow x\notin [/mm] A$
> Dies bedeutet [mm]A[/mm] und
> [mm]B[/mm] haben keine gemeinsamen Elemente.
> Also [mm]A \backslash B = A[/mm]
> (und umgekehrt)
> Mehr fältt mir dazu nicht ein.
> Ist das ausreichend?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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