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| Aufgabe | | [mm] (\mathcal{P}(X), [/mm] °) sei eine kommutative Halbgruppe, wobei ° mit (A [mm] \cap [/mm] B) definiert ist. |
Hallo liebe Helfer
Bis zum Neutralelement bin ich gekommen, aber hier stellt sich mir folgende Frage: Ein E (Teilmenge von X) muss ja so definiert sein, dass A [mm] \cap [/mm] E = A. Auf den ersten Blick wäre da E=A die beste Lösung, aber E kann jede Teilmenge von X sein, die alle Elemente von A UND NOCH WEITERE Elemente enthält. Bedingung ist nur A [mm] \in [/mm] E... aber dann ist E nicht mehr eindeutig. Bzw. nur wenn A=X...
Wo liegt mein Denkfehler?
Danke für eure Hilfe!
Grüsse
Cassiopaya
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:33 Mo 28.09.2009 | | Autor: | fred97 |
> [mm](\mathcal{P}(X),[/mm] °) sei eine kommutative Halbgruppe, wobei
> ° mit (A [mm]\cap[/mm] B) definiert ist.
> Hallo liebe Helfer
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> Bis zum Neutralelement bin ich gekommen, aber hier stellt
> sich mir folgende Frage: Ein E (Teilmenge von X) muss ja so
> definiert sein, dass A [mm]\cap[/mm] E = A. Auf den ersten Blick
> wäre da E=A die beste Lösung, aber E kann jede Teilmenge
> von X sein, die alle Elemente von A UND NOCH WEITERE
> Elemente enthält. Bedingung ist nur A [mm]\in[/mm] E... aber dann
> ist E nicht mehr eindeutig. Bzw. nur wenn A=X...
>
> Wo liegt mein Denkfehler?
Es muß gelten: A [mm]\cap[/mm] E = A für jedes A [mm] \subseteq [/mm] X !!!!
FRED
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> Danke für eure Hilfe!
>
> Grüsse
> Cassiopaya
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Und dann darf man wegen A=X sagen, es kann nur A sein?
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Hallo,
> Und dann darf man wegen A=X sagen, es kann nur A sein?
Was meinst du mit dieser Frage genau?
[mm] $A\subset [/mm] X$ ist eine beliebige Teilmenge von $X$, also ein beliebiges Element [mm] $\in\mathcal{P}(X)$
[/mm]
Und als neutrales Element $E$ tut es dann $E=X$
$X$ ist ja trivialerweise Teilmenge von sich selbst, also [mm] $X\in\mathcal{P}(X)$
[/mm]
Damit gilt für jedes [mm] $A\subset [/mm] X$ (also [mm] $A\in\mathcal{P}(X)$): $A\cap X=X\cap [/mm] A=A$
Also ist $X$ neutrales Element in [mm] $\mathcal{P}(X)$ [/mm] bzgl. Schnittbildung
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:47 Mo 28.09.2009 | | Autor: | Cassipaya |
Logisch, hahaha... Danke, euch zwei!!!
Ich stand recht doof auf der Leitung... 
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:26 Di 20.10.2009 | | Autor: | LoBi83 |
Ich habe so ähnliche Aufgabe, ich muss beweisen ob:
[mm] \mathcal{P}(X) \times \mathcal{P}(X) \to \mathcal{P}(X)
[/mm]
A [mm] \circ [/mm] B := A [mm] \cap [/mm] B eine Gruppe bildet.
Ich finde allerdings das inverse nicht. Wenn X das neutrale Element muss ja gelten A [mm] \cap [/mm] B = X. Das kann aber nur gelten wenn A=B=X ist.
Hab ich hier also einen Widerspruch gefunden ?
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> Ich habe so ähnliche Aufgabe, ich muss beweisen ob:
> [mm]\mathcal{P}(X) \times \mathcal{P}(X) \to \mathcal{P}(X)[/mm]
> A
> [mm]\circ[/mm] B := A [mm]\cap[/mm] B eine Gruppe bildet.
>
> Ich finde allerdings das inverse nicht.
Hallo,
Du solltest in Erwägung ziehen, daß es gar keins gibt, was Du ja wohl auch tust.
> Wenn X das neutrale
> Element muss ja gelten A [mm]\cap[/mm] B = X. Das kann aber nur
> gelten wenn A=B=X ist.
>
> Hab ich hier also einen Widerspruch gefunden ?
Eigentlich ja, hast ihn allerdings noch nicht deutlich herausgearbeitet.
Nehmen wir an, X wäre von der leeren Menge verschieden. (War das vorausgesetzt?).
Dann enthält [mm] \mathcal{P}(X) [/mm] mindestens zwei Elemente, nämlich X und [mm] \emptyset.
[/mm]
Es ist nun [mm] \emptyset \cap A=\emptyset [/mm] für jedes [mm] A\in \mathcal{P}(X).
[/mm]
Damit haben wir ein Element gefunden in [mm] \mathcal{P}(X), [/mm] für welches es kein Inverses gibt, womit die Gruppeneigenschaft gestorben ist.
Gruß v. Angela
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