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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:54 Mi 21.12.2011 | | Autor: | DietmarP |
| Aufgabe | Auf der Menge der rationalen zahlen sei die binäre Operation * folgend definiert:
a*b:=a+b-ab
i) Berechne: 3*4; 2*(-5); 7*(1/2)
ii) Ist diese Operation assoziativ oder kommutativ?
iii) Bestimme das Neutrale Element bzgl *
iV) Ist jedes q Element Q bezüglich * invertierbar? |
Hallo!
Ich habe ein paar Fragen zu den obrigen Beispiel
Zu i) habe ich mal eine Lösung und hoffe das ich dies richtig verstanden habe , das ich einfach in die obrige Formel einsetzen muß?
i)
1) 3*4:=3+4-3x4= 7-12=-5
2) 2*(-5)= 2+(-5)-2x (-5)= -3-10=-13
3) 7*(1/2)= 7+(0,5)-7x0,5= 7,5-3,5=4
Stimmt die Lösung oder habe ich hierbei einen Denkfehler drinnen?
ii) Ich würde sagen das es kommutativ ist, da ich ja die einzelnen Zahlen vertauschen kann ohne das sich meiner Meinung etwas am Ergebnis ändert.
iii) Wie soll ich das Neutrale Element bestimmen? Hier komme ich nicht weiter - wie soll das gehen?
iv) Ja, weil die Rechnung auch umkehrbar ist.
Könnte bitte mir jemand von Euch sagen ob ich mit meiner Vermutung bzw. Rechnung richtig liege. Danke im Vorhinein.
mfg
Dietmar
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:22 Do 22.12.2011 | | Autor: | Fulla |
Hallo Dietmar,
> Auf der Menge der rationalen zahlen sei die binäre
> Operation * folgend definiert:
> a*b:=a+b-ab
>
> i) Berechne: 3*4; 2*(-5); 7*(1/2)
> ii) Ist diese Operation assoziativ oder kommutativ?
> iii) Bestimme das Neutrale Element bzgl *
> iV) Ist jedes q Element Q bezüglich * invertierbar?
> Hallo!
>
> Ich habe ein paar Fragen zu den obrigen Beispiel
>
> Zu i) habe ich mal eine Lösung und hoffe das ich dies
> richtig verstanden habe , das ich einfach in die obrige
> Formel einsetzen muß?
>
> i)
> 1) 3*4:=3+4-3x4= 7-12=-5
> 2) 2*(-5)= 2+(-5)-2x (-5)= -3-10=-13
> 3) 7*(1/2)= 7+(0,5)-7x0,5= 7,5-3,5=4
>
> Stimmt die Lösung oder habe ich hierbei einen Denkfehler
> drinnen?
Nein, das stimmt!
> ii) Ich würde sagen das es kommutativ ist, da ich ja die
> einzelnen Zahlen vertauschen kann ohne das sich meiner
> Meinung etwas am Ergebnis ändert.
"Deine Meinung" zählt da leider wenig... Aber du hast Recht: die Verkünpfung ist kommutativ. Und zwar weil "+" und "[mm]\blue{*}[/mm]" auf [mm]\mathbb Q[/mm] (und auch auf [mm]\mathbb R[/mm]) kommutativ sind, d.h. [mm]\red{a+b}-\blue{ab}=\red{b+a}-\blue{ba}[/mm].
Was ist mit der Assoziativität? Was ist hier zu zeigen?
> iii) Wie soll ich das Neutrale Element bestimmen? Hier
> komme ich nicht weiter - wie soll das gehen?
Was ist denn ein neutrales Element? Es ist ein Element, das, wenn es verküpft wird, nichts ändert. D.h. du musst ein [mm]n[/mm] finden mit a*n=a für alle [mm]a\in\mathbb Q[/mm]. Wenn du diese Gleichung "ausschreibst" (also die Verknüpfung "*" verwendest), kannst du nach [mm]n[/mm] auflösen...
> iv) Ja, weil die Rechnung auch umkehrbar ist.
Die Antwort "Ja" ist richtig, aber die Begründung reicht nicht. Hier musst du für ein (beliebiges) gegebenes [mm]a[/mm] ein [mm]i_a[/mm] finden mit [mm]a[/mm]*[mm]i_a=n[/mm]. Vgl.: bezüglich der Multiplikation (in [mm]\mathbb Q[/mm] oder [mm]\mathbb R[/mm]) ist das neutrale Element $n$ die 1. Das inverse Element zu einem [mm]b\in\mathbb Q\setminus\{0\}[/mm] ist [mm]\frac{1}{b}[/mm], denn [mm]b\cdot\frac{1}{b}=1=n[/mm]
EDIT: Das $n$ bezeichnet das neutrale Element bzgl. der Verküpfung und das [mm] $i_a$ [/mm] hängt in der Regel von $a$ ab, deshalb habe ich diese Schreibweise gewählt. D.h. für verschiedene Elemente sind die Inversen i.d.R. verschieden. Wie du in diesem Fall schnell feststellen wirst, ist das bei dieser Verknüpfung nicht der Fall...
> Könnte bitte mir jemand von Euch sagen ob ich mit meiner
> Vermutung bzw. Rechnung richtig liege. Danke im Vorhinein.
Deine Vermutungen sind schon richtig, aber du musst dir bewusst machen, was genau zu zeigen ist (anhand der Definitionen von z.B. "kommutativ", "neutrales Element", etc).
Lieben Gruß,
Fulla
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