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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:18 So 16.10.2011 | | Autor: | kalor |
Morgen!
Ich habe zwei Fragen zu Umformungen von Mengen und ihr Zusammenspiel mit Massen. Ich gliedere daher meine Fragen:
Im folgenden sei $\ P $ ein (Wahrscheinlichkteis)Mass. (das spielt aber keine Rolle).
erste Frage: Wenn ich eine Familie von Mengen habe, $\ [mm] (A_n)_{n\in \IN} [/mm] $ so dass $\ [mm] A_{n+1} \subset A_n [/mm] $, dann gilt ja:
$\ [mm] \lim_n P(A_n) [/mm] = [mm] P(\bigcap_n A_n) [/mm] $
Ist dies auch gleich $\ [mm] \inf_n P(A_n) [/mm] $, also:
$\ [mm] \lim_n P(A_n) [/mm] = [mm] P(\bigcap_n A_n)=\inf_n P(A_n) [/mm] $. Ich würde ja sagen, da die Mengen ja absteigend sind, und daher das Mass immer kleiner wird. Grund für meine Unsicherheit: Das Infimum (hier von reellen Zahlen) Ist doch kein Limes, links steht aber ein solcher. Wenn es stimmt, wie lautet der Beweis?
zweite Frage: Wenn ich eine Funktionenfolge habe, die beschänkt ist $\ P-f.s.$, dann heisst doch das folgendes:
es existiert ein $\ M [mm] \in \IR [/mm] $ so dass für alle $\ [mm] n\in \IN [/mm] $
$\ [mm] P(\{x\in X | |f_n(x)| \le M \}) [/mm] = 1 $
Ich will den Satz:"es existiert ein $\ M [mm] \in \IR [/mm] $ so dass für alle $\ [mm] n\in \IN [/mm] $" in Mengensprache ausdrücken. Stimmt dann die folgende Umformung:
$\ [mm] P(\bigcap_n\{x\in X |f_n(x)| \le M \}) [/mm] $
und wenn die Funktionenfolge nun unbeschränkt ist (P-f.s), heisst dies:
für alle $\ M [mm] \in \IR [/mm] $ gibt es ein $\ [mm] n\in \IN [/mm] $ so dass
$\ [mm] P(\{x\in X | |f_n(x) \ge M\}) [/mm] = 1$
Wiederum mit Mengen geschrieben:
$\ [mm] P(\bigcap_k \bigcup_n \{x\in X | |f_n(x) \ge k \}) [/mm] = 1$
stimmt auch diese Umformung?
Das wären meine beiden Fragen. Ich danke euch für die Hilfe
mfg
KaloR
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:13 So 16.10.2011 | | Autor: | Helbig |
> [mm]\ \lim_n P(A_n) = P(\bigcap_n A_n)=\inf_n P(A_n) [/mm]. Ich
> würde ja sagen, da die Mengen ja absteigend sind, und
> daher das Mass immer kleiner wird. Grund für meine
> Unsicherheit: Das Infimum (hier von reellen Zahlen) Ist
> doch kein Limes, links steht aber ein solcher. Wenn es
> stimmt, wie lautet der Beweis?
In Analysis I lernt man, daß eine monoton fallende nach unten beschränkte Folge konvergiert, und daß in diesem Fall der Limes mit dem Infimum übereinstimmt.
>
> zweite Frage: Wenn ich eine Funktionenfolge habe, die
> beschänkt ist [mm]\ P-f.s.[/mm], dann heisst doch das folgendes:
>
> es existiert ein [mm]\ M \in \IR[/mm] so dass für alle [mm]\ n\in \IN[/mm]
>
> [mm]\ P(\{x\in X | |f_n(x)| \le M \}) = 1[/mm]
>
> Ich will den Satz:"es existiert ein [mm]\ M \in \IR[/mm] so dass
> für alle [mm]\ n\in \IN [/mm]" in Mengensprache ausdrücken. Stimmt
> dann die folgende Umformung:
>
> [mm]\ P(\bigcap_n\{x\in X |f_n(x)| \le M \})[/mm]
Du meinst sicher
[mm]\ P(\bigcap_n\{x\in X \bigm| |f_n(x)| \le M \})=1[/mm]
und das stimmt.
>
> und wenn die Funktionenfolge nun unbeschränkt ist (P-f.s),
> heisst dies:
>
> für alle [mm]\ M \in \IR[/mm] gibt es ein [mm]\ n\in \IN[/mm] so dass
>
> [mm]\ P(\{x\in X | |f_n(x) \ge M\}) = 1[/mm]
Dies stimmt jetzt nicht, sondern zu jedem $M$ gibt es ein $n$ und ein $x$ mit
[mm] $f_n(x) [/mm] > M$. Also nicht alle $x$.
viel Erfolg,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:22 Mo 17.10.2011 | | Autor: | kalor |
Hallo Wolfgang
> >
> > und wenn die Funktionenfolge nun unbeschränkt ist (P-f.s),
> > heisst dies:
> >
> > für alle [mm]\ M \in \IR[/mm] gibt es ein [mm]\ n\in \IN[/mm] so dass
> >
> > [mm]\ P(\{x\in X | |f_n(x) \ge M\}) = 1[/mm]
> Dies stimmt jetzt
> nicht, sondern zu jedem [mm]M[/mm] gibt es ein [mm]n[/mm] und ein [mm]x[/mm] mit
> [mm]f_n(x) > M[/mm]. Also nicht alle [mm]x[/mm].
>
> viel Erfolg,
> Wolfgang
Klar, sorry für den Fehler! Stimmt aber meine Mengenschreibweise dann:
$ \ [mm] P(\bigcap_k \bigcup_n \{x\in X | |f_n(x) \ge k \}) [/mm] = 1 $ ?
mfg
KaloR
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:31 Mo 17.10.2011 | | Autor: | Helbig |
Hallo,
> Klar, sorry für den Fehler! Stimmt aber meine
> Mengenschreibweise dann:
>
> [mm]\ P(\bigcap_k \bigcup_n \{x\in X | |f_n(x) \ge k \}) = 1[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
?
Nein. Die Mengen $\bigcap_{k=0}^m}\bigcup_n \{x\in X \bigm| |f_n(x)| \ge k \}=\bigcup_n \{x\in X \bigm| |f_n(x)| \ge m \}$ werden mit wachsendem $m$ immer kleiner. Die Mengenfolge strebt sogar gegen die leere Menge für $n\to\infty$ und nicht gegen die Menge $X$.
OK?
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:31 Di 18.10.2011 | | Autor: | kalor |
Hm...wie würde man dann diese Menge darstellen? Also die Menge resp. Wahrscheinlickeit, dass $ [mm] f_n [/mm] $ P-f.s beschränkt ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:11 Di 18.10.2011 | | Autor: | Helbig |
> Hm...wie würde man dann diese Menge darstellen? Also die
> Menge resp. Wahrscheinlickeit, dass [mm]f_n[/mm] P-f.s beschränkt
> ist?
Du suchst eine Menge [mm] $M\subset [/mm] X$ mit $P(M)=1$, aber die von Dir angegebene Menge ist eine Nullmenge. Wie wäre es mit dem Komplement?
Gruß
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:30 Mi 19.10.2011 | | Autor: | kalor |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Danke dass du dir so viel Zeit nimmst :)
Also wäre dies die richtige Menge:
$ \bigcup_k\bigcap_n \{x\in X \bigm| |f_n(x)| <k \} $ ?
Allerdings noch eine Frage, du sagst, dass diese Menge hier:
$ \bigcap_{k}}\bigcup_n \{x\in X \bigm| |f_n(x)| \ge k \}=\bigcup_n \{x\in X \bigm| |f_n(x)| \ge m \} $
mit wachsendem m immer kleiner wird, aber das ist doch auch gut so! Ich will doch, dass die Funktionenfolge beschränkt ist, und in dieser Menge steth ja: $\ |f_n(x)| \ge m$ wobei hier das grösser gleich! nicht kleiner gleich doch wichtig ist. Ich sehe nicht ein, wieso diese Menge nicht die richtige sein soll.
mfg
KalOR
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:55 Mi 19.10.2011 | | Autor: | Helbig |
> Also wäre dies die richtige Menge:
>
> [mm]\bigcup_k\bigcap_n \{x\in X \bigm| |f_n(x)|
>
> Allerdings noch eine Frage, du sagst, dass diese Menge
> hier:
>
> [mm]\bigcap_{k}}\bigcup_n \{x\in X \bigm| |f_n(x)| \ge k \}=\bigcup_n \{x\in X \bigm| |f_n(x)| \ge m \}[/mm]
>
> mit wachsendem m immer kleiner wird, aber das ist doch auch
> gut so! Ich will doch, dass die Funktionenfolge beschränkt
> ist, und in dieser Menge steth ja: [mm]\ |f_n(x)| \ge m[/mm] wobei
> hier das grösser gleich! nicht kleiner gleich doch wichtig
> ist. Ich sehe nicht ein, wieso diese Menge nicht die
> richtige sein soll.
Na ja, ich weiß jetzt gar nicht mehr, was "richtige Menge" bedeuten soll. Ich dachte, Du
willst eine Menge [mm]M[/mm] aufschreiben mit $P(M)=1$ und dann wäre es wohl die andere.
Grüße,
Wolfgang
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