matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenUni-Komplexe AnalysisMeromorphe Funktionen
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Meromorphe Funktionen
Meromorphe Funktionen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Komplexe Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Meromorphe Funktionen: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:34 Sa 21.10.2017
Autor: mathstu

Aufgabe
a) Zeige, dass [mm] $f(z)=\bruch{1}{z}+\summe_{k\not=0}(\bruch{1}{z-k}+\bruch{1}{k})$ [/mm] eine meromorphe Funktion mit Polstellen erster Ordnung in den ganzen Zahlen darstellt.
b) Zeige, dass $f$ die Periode $1$ hat.

Guten Abend Matheraum-User!

Ich soll die obige Aufgabe lösen und habe dabei ein paar Schwierigkeiten.
Zu a):
Dass $f$ eine Polstelle 1. Ordnung hat, bedeutet ja, dass [mm] $\limes_{z\rightarrow k}f(z)(z-k)$ [/mm] existiert und [mm] $\limes_{z\rightarrow k}f(z)$ [/mm] nicht existiert. Die zweite Aussage ist offensichtlich erfüllt. Wenn ich den Limes der ersten Aussage berechne, kriege ich aber immer das Resultat, dass der Limes nicht existiert:
[mm] $\limes_{z\rightarrow k}f(z)(z-k)=\limes_{z\rightarrow k}(\bruch{z-k}{z}+\summe_{k\not=0}(\bruch{z-k}{z-k}+\bruch{z-k}{k}))$. [/mm]
Der erste Summand in der Reihe kürzt sich raus, aber dann bleibt noch $1$ übrig und somit divergiert die Reihe doch oder nicht?

Zu b):
Bei dieser Aufgabe dachte ich mir, man könnte $f(z+1)$ explizit hinschreiben und dann so umformen, dass das Resultat $f(z)$ ist. Allerdings klappt das nicht und ich wollte fragen ob vielleicht jemand eine Idee hat wie man die Periodizität sonst noch zeigen könnte.

VG, mathstu

        
Bezug
Meromorphe Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:35 So 22.10.2017
Autor: HJKweseleit


> a) Zeige, dass
> [mm]f(z)=\bruch{1}{z}+\summe_{k\not=0}(\bruch{1}{z-k}+\bruch{1}{k})[/mm]
> eine meromorphe Funktion mit Polstellen erster Ordnung in
> den ganzen Zahlen darstellt.

>  b) Zeige, dass [mm]f[/mm] die Periode [mm]1[/mm] hat.
>  Guten Abend Matheraum-User!
>  
> Ich soll die obige Aufgabe lösen und habe dabei ein paar
> Schwierigkeiten.
> Zu a):
>  Dass [mm]f[/mm] eine Polstelle 1. Ordnung hat, bedeutet ja, dass
> [mm]\limes_{z\rightarrow k}f(z)(z-k)[/mm] existiert und
> [mm]\limes_{z\rightarrow k}f(z)[/mm] nicht existiert. Die zweite
> Aussage ist offensichtlich erfüllt. Wenn ich den Limes der
> ersten Aussage berechne, kriege ich aber immer das
> Resultat, dass der Limes nicht existiert:
>  [mm]\limes_{z\rightarrow k}f(z)(z-k)=\limes_{z\rightarrow k}(\bruch{z-k}{z}+\summe_{k\not=0}(\bruch{z-k}{z-k}+\bruch{z-k}{k}))[/mm].



Hier hast du etwas missverstanden.

Wenn wir die ersten Glieder mal hinschreiben, ergibt sich

[mm] (\bruch{z-1}{z-1}+\bruch{z-1}{1})+(\bruch{z-2}{z-2}+\bruch{z-2}{2})+(\bruch{z-3}{z-3}+\bruch{z-3}{3})+... [/mm]

>  
> Der erste Summand in der Reihe kürzt sich raus, aber dann
> bleibt noch [mm]1[/mm] übrig und somit divergiert die Reihe doch
> oder nicht?

Ja, aber gemeint ist etwas anderes. Wenn du zeigen sollst, dass für jede ganze Zahl eine Polstelle 1. Ordnung vorliegt, musst du diese ganze Zahl "auswählen und festhalten". Beispiel: Bei 2 liegt eine solche Polstelle vor. Dann sieht das so aus, wenn ich mal die Summanden für k=1, 2 und 3 hinschreibe:

[mm] (\bruch{z-2}{z-1}+\bruch{z-2}{1})+(\bruch{z-2}{z-2}+\bruch{z-2}{2})+(\bruch{z-2}{z-3}+\bruch{z-2}{3})+... [/mm]

Wenn nun z nach 2 geht, werden alle Summanden 0, bis auf [mm] \bruch{z-2}{z-2}\mapsto [/mm] 1

Tatsächlich muss es also heißen: Sei a eine beliebige ganze Zahl. Dann ist

[mm]\limes_{z\rightarrow a}f(z)(z-a)=\limes_{z\rightarrow a}(\bruch{z-a}{z}+\summe_{k\not=0}(\bruch{z-a}{z-k}+\bruch{z-a}{k}))[/mm] = 1, da für alle [mm] k\ne [/mm] a die Zähler 0 und die Nenner [mm] \ne [/mm] 0 werden und für den Summanden k=a [mm] \limes_{z\rightarrow a}\bruch{z-a}{z-k}=\limes_{z\rightarrow a}\bruch{z-a}{z-a}=1 [/mm] wird.



>  
> Zu b):
>  Bei dieser Aufgabe dachte ich mir, man könnte [mm]f(z+1)[/mm]
> explizit hinschreiben und dann so umformen, dass das
> Resultat [mm]f(z)[/mm] ist. Allerdings klappt das nicht und ich
> wollte fragen ob vielleicht jemand eine Idee hat wie man
> die Periodizität sonst noch zeigen könnte.




Das ist ein bisschen knifflig. Da wir aber schon wissen, dass f(z)=f(z+1) sein soll, bilden wir am einfachsten f(z+1)-f(z) und zeigen, dass das 0 ergibt:

[mm]f(z+1)-f(z)=\bruch{1}{z+1}+\summe_{k\not=0}(\bruch{1}{z+1-k}+\bruch{1}{k})-\bruch{1}{z}-\summe_{k\not=0}(\bruch{1}{z-k}+\bruch{1}{k})[/mm] = [mm]\bruch{1}{z+1}-\bruch{1}{z}+\summe_{k\not=0}(\bruch{1}{z+1-k}-\bruch{1}{z-k})[/mm] = ...

Für k=0 würde sich nun genau [mm]\bruch{1}{z+1}-\bruch{1}{z}[/mm] ergeben, also können wir weiter schreiben:

... = [mm]\summe_{k \in \IZ}(\bruch{1}{z+1-k}-\bruch{1}{z-k})[/mm] = [mm]\summe_{k \in \IZ}(\bruch{1}{z-(k-1)}-\bruch{1}{z-k})[/mm].

Das bedeutet: Wir addieren jeweils einen Ausdruck mit Index k, wobei aber jeder Wert im nächsten Schritt wieder abgezogen wird. Auszug für k = -2 bis 2:

[mm] ...+(\bruch{1}{z+3}-\bruch{1}{z+2} [/mm] + [mm] (\bruch{1}{z+2)}-\bruch{1}{z+1}) [/mm] + [mm] (\bruch{1}{z+1}-\bruch{1}{z}) [/mm] + [mm] (\bruch{1}{z}-\bruch{1}{z-1})+ (\bruch{1}{z-1}-\bruch{1}{z-2})+... [/mm]

Wenn man nun umklammert, geben alle Klammern 0:

[mm] ...+\bruch{1}{z+3})+(-\bruch{1}{z+2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{z+2})+(-\bruch{1}{z+1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{z+1})+(-\bruch{1}{z} [/mm] + [mm] \bruch{1}{z})+(-\bruch{1}{z-1}+ \bruch{1}{z-1})+(-\bruch{1}{z-2}+... [/mm]
Nur der Anfangs- und der Endwert würden übrig bleiben, also [mm] \bruch{1}{z+k} [/mm] für k nach [mm] \infty [/mm] und für k nach [mm] -\infty. [/mm] Diese beiden Summanden haben aber ebenfalls den Wert 0. Also ist die ganze Summe =0, was wir beweisen wollten.

>  
> VG, mathstu


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Komplexe Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]