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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:08 So 09.11.2014 | | Autor: | mariem |
Hallo,
in [mm] \mathbb{R} [/mm] mit Lebesgue-Maß, haben wir dass f [mm] \in L^1 [/mm] und [mm] \hat{f}(t)=\int [/mm] f(x) [mm] e^{ixt} [/mm] dx , [mm] \forall [/mm] x [mm] (i^2=-1).
[/mm]
Ich muss folgendes zeigen:
1. [mm] \hat{f} [/mm] ist stetig
2. [mm] \lim_{t \rightarrow \pm \infty} \hat{f}(t)=0
[/mm]
3. [mm] ||\hat{f}||_{\infty} \leq ||\hat{f}||_1
[/mm]
[mm] L^1=\{f: X \rightarrow \overline{\mathbb{R}} \text{ oder } \mathbb{C} : f \text{ messbar und } \int |f|d\mu < +\infty\}
[/mm]
1. Um zu zeigen dass [mm] \hat{f} [/mm] stetig ist, muss man zeigen dass das Integral [mm] \int [/mm] f(x) [mm] e^{ixt} [/mm] dx stetig ist. Also muss man zeigen dass f(x) stetig ist, oder nicht?
Um das zu zeigen benutzt man die Tatsache dass f messbar ist?
[mm] 2.\lim_{t \rightarrow \pm \infty} \hat{f}(t)=\lim_{t \rightarrow \pm \infty} \int [/mm] f(x) [mm] e^{ixt} dx=\int [/mm] f(x) [mm] \lim_{t \rightarrow \pm \infty}e^{ixt} [/mm] dx
Wie kann ich weiter machen?
3. Wir haben dass [mm] ||\hat{f}||_p [/mm] = [mm] \left ( \int | \hat{f}|^p d \mu \right )^{1/p}.
[/mm]
Also [mm] ||\hat{f}||_1 [/mm] = [mm] \int |\hat{f}| d\mu [/mm] < [mm] +\infty [/mm] .
Ist [mm] ||\hat{f}||_{\infty} [/mm] das Supremum?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:37 So 09.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> in [mm]\mathbb{R}[/mm] mit Lebesgue-Maß, haben wir dass f [mm]\in L^1[/mm]
> und [mm]\hat{f}=\int[/mm] f(x) [mm]e^{ixt}[/mm] dx , [mm]\forall[/mm] x [mm](i^2=-1).[/mm]
>
> Ich muss folgendes zeigen:
> 1. [mm]\hat{f}[/mm] ist stetig
> 2. [mm]\lim_{t \rightarrow \pm \infty} \hat{f}(t)=0[/mm]
> 3.
> [mm]||\hat{f}||_{\infty} \leq ||\hat{f}||_1[/mm]
>
>
> [mm]L^1=\{f: X \rightarrow \overline{\mathbb{R}} \text{ oder } \mathbb{C} : f \text{ messbar und } \int |f|d\mu < +\infty\}[/mm]
>
> 1. Um zu zeigen dass [mm]\hat{f}[/mm] stetig ist, muss man zeigen
> dass das Integral [mm]\int[/mm] f(x) [mm]e^{ixt}[/mm] dx stetig ist. Also
> muss man zeigen dass f(x) stetig ist, oder nicht?
Nein. Es ist f [mm] \in L^1. [/mm] f isti.a. nicht stetig.
> Um das zu zeigen benutzt man die Tatsache dass f messbar
> ist?
... und natürlich f [mm] \in L^1.
[/mm]
>
> [mm]2.\lim_{t \rightarrow \pm \infty} \hat{f}(t)=\lim_{t \rightarrow \pm \infty} \int[/mm]
> f(x) [mm]e^{ixt} dx=\int[/mm] f(x) [mm]\lim_{t \rightarrow \pm \infty}e^{ixt}[/mm]
> dx
> Wie kann ich weiter machen?
So nicht ! Schätze [mm] \hat{f}(t)-\hat{f}(s) [/mm] ab.
>
> 3. Wir haben dass [mm]||\hat{f}||_p[/mm] = [mm]\left ( \int | \hat{f}|^p d \mu \right )^{1/p}.[/mm]
>
> Also [mm]||\hat{f}||_1[/mm] = [mm]\int |\hat{f}| d\mu[/mm] < [mm]+\infty[/mm] .
> Ist [mm]||\hat{f}||_{\infty}[/mm] das Supremum?
Ja, da [mm] \hat{f} [/mm] stetig ist, ist [mm] ||\hat{f}||_{\infty}=\sup \{|\hat{f}(t)|: t \in \IR\}
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:20 So 09.11.2014 | | Autor: | mariem |
> Nein. Es ist f [mm]\in L^1.[/mm] f isti.a. nicht stetig.
>
>
>
> ... und natürlich f [mm]\in L^1.[/mm]
Wie kann ich zeigen dass [mm] \hat{f} [/mm] stetig ist, wenn f [mm] \in L^1 [/mm] ?
> So nicht ! Schätze [mm]\hat{f}(t)-\hat{f}(s)[/mm] ab.
[mm] \hat{f}(t)-\hat{f}(s) [/mm] = [mm] \int f(x)e^{ixt}dx [/mm] - [mm] \int f(x)e^{ixs}dx [/mm] = [mm] \int [/mm] f(x) [mm] \left [ e^{ixt}-e^{ixs} \right [/mm] ] dx
Wie folgt daraus dass [mm] \lim_{t \rightarrow \pm \infty} \hat{f}(t)=0 [/mm] ?
> Ja, da [mm]\hat{f}[/mm] stetig ist, ist [mm]||\hat{f}||_{\infty}=\sup \{|\hat{f}(t)|: t \in \IR\}[/mm]
Also, wir wollen zeigen dass [mm] \sup \{|\hat{f}(t)|: t \in \IR\} \leq \int |\hat{f}|d\mu [/mm] oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:56 So 09.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Nein. Es ist f [mm]\in L^1.[/mm] f isti.a. nicht stetig.
> >
> >
> >
> > ... und natürlich f [mm]\in L^1.[/mm]
>
>
>
> Wie kann ich zeigen dass [mm]\hat{f}[/mm] stetig ist, wenn f [mm]\in L^1[/mm]
> ?
das wird doch unten behandelt?
>
>
>
>
> > So nicht ! Schätze [mm]\hat{f}(t)-\hat{f}(s)[/mm] ab.
>
>
>
> [mm]\hat{f}(t)-\hat{f}(s)[/mm] = [mm]\int f(x)e^{ixt}dx[/mm] - [mm]\int f(x)e^{ixs}dx[/mm]
> = [mm]\int[/mm] f(x) [mm]\left [ e^{ixt}-e^{ixs} \right[/mm] ] dx
>
> Wie folgt daraus dass [mm]\lim_{t \rightarrow \pm \infty} \hat{f}(t)=0[/mm]
> ?
Wende den Lebesgueschen Konvergenzsatz geeignet an. (Natürlich: Erst
nochmal den Satz nachschlagen, schauen, welche Voraussetzungen man
braucht, zeigen, dass diese Voraussetzungen erfüllt sind.)
Gruß,
Marcel
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:53 Mo 10.11.2014 | | Autor: | mariem |
> Hallo,
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> > > Nein. Es ist f [mm]\in L^1.[/mm] f isti.a. nicht stetig.
> > >
> > >
> > >
> > > ... und natürlich f [mm]\in L^1.[/mm]
> >
> >
> >
> > Wie kann ich zeigen dass [mm]\hat{f}[/mm] stetig ist, wenn f [mm]\in L^1[/mm]
> > ?
>
> das wird doch unten behandelt?
>
Was meinst du?
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> Was meinst du?
Ich denke mal, dass FRED meint, dass du mit
> So nicht ! Schätze [mm]\hat{f}(t)-\hat{f}(s)[/mm] ab.
eigentlich zu einer Abschätzung kommen solltest, mit welcher du die Stetigkeit von [mm] $\hat [/mm] f$ zeigen kannst…
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 01:37 Di 11.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Was meinst du?
>
> Ich denke mal, dass FRED meint, dass du mit
> > So nicht ! Schätze [mm]\hat{f}(t)-\hat{f}(s)[/mm] ab.
> eigentlich zu einer Abschätzung kommen solltest, mit
> welcher du die Stetigkeit von [mm]\hat f[/mm] zeigen kannst…
so ist es, und genau das meinte ich auch.
[mm] $\hat{f}$ [/mm] ist (genau dann) stetig in [mm] $t\,,$ [/mm] wenn
[mm] $\lim_{s \to t} |\hat{f}(s)-\hat{f}(t)|=0\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Mi 12.11.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:51 So 09.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
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> in [mm]\mathbb{R}[/mm] mit Lebesgue-Maß, haben wir dass f [mm]\in L^1[/mm]
> und [mm]\hat{f}=\int[/mm] f(x) [mm]e^{ixt}[/mm] dx , [mm]\forall[/mm] x [mm](i^2=-1).[/mm]
schreib' bitte mal [mm] $\widehat{f}$ [/mm] genau hin - ich kann mir nicht vorstellen, dass das,
was Du da schreibst, so da steht! (Linkerhand steht doch sicher [mm] $\widehat{f}(\red{\,t\,})$!)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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