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Messbarkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:23 Sa 25.11.2017
Autor: Son

Aufgabe
Ist die Menge (0,∞) Borel-Messbar?
Wenn ja warum?

Kann man sagen, dass die Menge albzählbar ist und die Menge deshalb in der Borel Menge liegt?

        
Bezug
Messbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:36 Sa 25.11.2017
Autor: UniversellesObjekt

Kann man sagen, ist aber falsch. Die Menge ist offen und deshalb Borel-messbar. Sie ist nicht abzählbar.

Liebe Grüße
UniversellesObjekt

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Bezug
Messbarkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:42 Sa 25.11.2017
Autor: Son

Auch wenn die Menge durch eine obere Gaußklammer beschränkt ist..
also wenn x [mm] \in [/mm] (0,∞) und f(x)= |~x~|... wie begründet man da, dass f Borel messbar ist? Weil die Menge (0,∞) beschränkt ist?

Bezug
                        
Bezug
Messbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:15 Sa 25.11.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Auch wenn die Menge durch eine obere Gaußklammer
> beschränkt ist..
>  also wenn x [mm]\in[/mm] (0,∞) und f(x)= |~x~|... wie begründet
> man da, dass f Borel messbar ist? Weil die Menge (0,∞)
> beschränkt ist?

Was hat die Meßbarkeit von $f$ jetzt mit deiner Frage zu tun? Nix… richtig.

Du betrachtest also die Funktion $f: [mm] (0,\infty) \to [0,\infy), [/mm] x [mm] \mapsto \lfloor [/mm] x [mm] \rfloor$ [/mm] und möchtest wissen, wieso diese meßbar ist.
Da gibt es nun mehrere Möglichkeiten, das zu begründen, mal zwei Beispiele:

1.) f hat nur abzählbar viele Unstetigkeitsstellen (welche?) und ist daher fast sicher stetig und damit meßbar.

2.) Es ist [mm] $f^{-1}\left((a,b)\right) [/mm] = [mm] \left[\lfloor a \rfloor,\lceil b-1 \rceil\right]$ [/mm] und daher ist f meßbar (warum?)

Gruß,
Gono

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Messbarkeit: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 22:27 Sa 25.11.2017
Autor: Son

f(x)=ceil(x) (obere Gaußklammer) und man sollte zeigen dass die Funktion f Borel messbar ist.
Danke, ich versuche es mal mit der zweiten Möglichkeit zu beweisen.

Bezug
                                        
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Messbarkeit: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:20 Mo 27.11.2017
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
                        
Bezug
Messbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:04 So 26.11.2017
Autor: fred97


> Auch wenn die Menge durch eine obere Gaußklammer
> beschränkt ist..
>  also wenn x [mm]\in[/mm] (0,∞) und f(x)= |~x~|... wie begründet
> man da, dass f Borel messbar ist? Weil die Menge (0,∞)
> beschränkt ist?

1. (0, [mm] \infty) [/mm] ist nicht beschränkt. Ich jedenfalls finde keine obere Schranke.

2. Ich denke , dass folgendes Resultat zum Standardprogramm einer jeden Vorlesung zur Maß -und Integrationstheorie gehört:

   Monotone Funktionen sind messbar.

3. Obiges f ist monoton.




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