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Messbarkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:26 Do 14.12.2017
Autor: Filza

Aufgabe
[mm] f_n [/mm] (x)=(sin(n*exp(n*x*cos(x)))+n*x)/n

Wie zeigt man dass die Funktion stetig bzw. unstetig ist?


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

        
Bezug
Messbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:38 Do 14.12.2017
Autor: fred97


> [mm]f_n[/mm] (x)=(sin(n*exp(n*x*cos(x)))+n*x)/n
>  Wie zeigt man dass die Funktion stetig bzw. unstetig ist?

Summen, Produkte und Hintereinanderausführungen  (Vekettungen) stetiger Funktionen sind stetig. )

>  
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt


Bezug
                
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Messbarkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:47 Do 14.12.2017
Autor: Filza

Kann man aus der Stetigkeit die messbarkeit folgern?
Wie könnte man zeigen, dass die Funktion integrierbar ist?
Also ich wollte über die Stetigkeit zeigen, dass es messbar ist -> Funktion ist positiv-> integrierbar.

Bezug
                        
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Messbarkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:59 Do 14.12.2017
Autor: Filza

Ich denke so geht es doch nicht.
Man muss zeigen dass f(x)=lim [mm] f_n [/mm] (x) [mm] \mu [/mm] fast überall ist. Wie kann ich das zeigen?

Bezug
                                
Bezug
Messbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:33 Fr 15.12.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Ich denke so geht es doch nicht.
>  Man muss zeigen dass f(x)=lim [mm]f_n[/mm] (x) [mm]\mu[/mm] fast überall ist. Wie kann ich das zeigen?

Ob man das zeigen kann, hängt doch ganz stark von deiner Wahl von $f$ ab!
Hast du denn schon einen Kandidaten für den Grenzwert?

Tipp: [mm] $|\sin(\cdot)| \le [/mm] 1$
Damit würdest du auf einer beschränkten Menge auch eine integrierbare Majorante finden… aber eben nicht auf ganz [mm] $\IR$, [/mm] wie dir fred schon darlegte.

Gruß,
Gono


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Messbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:12 Fr 15.12.2017
Autor: fred97


> Kann man aus der Stetigkeit die messbarkeit folgern?

Ja, stetige Funktionen sind (Borel-) messbar.


>  Wie könnte man zeigen, dass die Funktion integrierbar
> ist?

Die Integrierbarkeit hängt doch von der Menge ab, über die integriert werde soll ! Wann erzählst Du uns, um welche Menge es sich handelt ?



>  Also ich wollte über die Stetigkeit zeigen, dass es
> messbar ist -> Funktion ist positiv-> integrierbar.

So einfach ist das nicht ! Beispiel: sei $ f(x)=1$ für alle $x [mm] \in \IR$. [/mm] Dann ist f stetig , positiv und messbar, aber

[mm] $\int_{\IR}f [/mm] d [mm] \lambda= \lambda(\IR)= \infty$. [/mm]

( [mm] \lambda [/mm] = Lebesgue-Maß)

f ist also nicht integrierbar über [mm] \IR. [/mm]




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Messbarkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:41 Fr 15.12.2017
Autor: Filza

Also es ist  [mm] f_n [/mm] :[0,1] -> [mm] \IR [/mm]

Bezug
                                        
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Messbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:48 Fr 15.12.2017
Autor: fred97


> Also es ist  [mm]f_n[/mm] :[0,1] -> [mm]\IR[/mm]  

Die Funktion

$ [mm] f_n (x)=(\sin(n*\exp(n*x*\cos(x)))+n*x)/n [/mm] $


ist stetig, also messbar. $[0,1]$ ist kompakt, damit ist [mm] $f_n \in L^1[0,1]$ [/mm] und

$ [mm] \int_{[0,1]} f_n [/mm] d [mm] \lambda= \int_0^1f_n(x) [/mm] dx$,

wobei links das Lebesgue-Integral und rechts das Riemann-Integral gemeint ist.

Bezug
                                                
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Messbarkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:21 Fr 15.12.2017
Autor: Filza

Kann man das Lebesgue Integral  mit dem Riemann Integral berechnen? (Also: [mm] \int_0^1f_n(x) [/mm] dx). Oder muss man erst beweisen, dass die Integrale gleich sind?

Bezug
                                                        
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Messbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:36 Sa 16.12.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Kann man das Lebesgue Integral  mit dem Riemann Integral
> berechnen? (Also: [mm]\int_0^1f_n(x)[/mm] dx). Oder muss man erst
> beweisen, dass die Integrale gleich sind?

das kannst du als Allgemeinwissen voraussetzen, brauchst du für die Aufgabe aber gar nicht…

Gruß,
Gono

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Messbarkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:28 Fr 15.12.2017
Autor: Filza

Also ich würde die Monotonie überprüfen. Dann mit dem Satz von der monotonen Konvergenz lim und integral vertauschen. Dann lim [mm] f_n [/mm] bestimmen. Und dann das Lebesgue Integral. Da brauche ich etwas hilfe.



--> Diese Idee geht nicht, da [mm] f_n [/mm] monoton fallend ist...

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Messbarkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:36 Sa 16.12.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Also ich würde die Monotonie überprüfen. Dann mit dem
> Satz von der monotonen Konvergenz lim und integral
> vertauschen. Dann lim [mm]f_n[/mm] bestimmen. Und dann das Lebesgue
> Integral. Da brauche ich etwas hilfe.
>  
>
> --> Diese Idee geht nicht, da [mm]f_n[/mm] monoton fallend ist...

Ich hab dir doch bereits geschrieben, dass die [mm] f_n [/mm] eine konvergente Majorante haben und sogar hingewiesen, wie das zu zeigen ist!
Nutze das und den Satz der majorisierten Konvergenz.

Gruß,
Gono


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