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Messbarkeit Spur-Sigma-Algebra: Korrektur, Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:12 Do 25.04.2019
Autor: TS85

Aufgabe
Seien (X, A), (Y, B) und (Z,C) messbare Räume, d.h. Mengen mit [mm] \sigma-Algebren. [/mm]

a) Zeigen Sie: Ist f: [mm] X\to [/mm] Y A-B-messbar und g:Y [mm] \to [/mm] Z B-C-messbar, dann ist die Komposition g [mm] \circ [/mm] f: X [mm] \to [/mm] Z A-C-messbar.

b) Für S [mm] \subset [/mm] X definieren wir die [mm] Spur-\sigma-Algebra [/mm] von [mm] \mathcal{A} [/mm] über S durch [mm] \mathcal{A}_S [/mm] := [mm] \{A \cap S | A \in \mathcal{A}\}. [/mm]
Zeigen Sie: Ist f: X [mm] \to [/mm] Y [mm] \mathcal{A}-B-messbar, [/mm] dann ist die Einschränkung [mm] f_S: [/mm] S [mm] \to [/mm] Y [mm] \mathcal{A}_S-B-messbar. [/mm]

zu a)
Für x [mm] \in [/mm] C ist [mm] g^{-1}(x) \in [/mm] B, woraus folgt, dass (g [mm] \circ f)^{-1}(x)=f^{-1}(g^{-1}(x)) \in \mathcal{A}. [/mm]

Meine Frage hierzu: Ist der Beweis so schon vollständig oder ergeben sich formale/theoretische Fallstricke?

b) Mein Gedanke hierzu ist, dass für x [mm] \in [/mm] C ist [mm] f_S^{-1}(x) \in \mathcal{A}_S. [/mm]
Da [mm] \mathcal{A}_S [/mm] eine Reduktion von einer Grundmenge X auf S ist und
f: X [mm] \to [/mm] Y A-B-messbar, ist auch [mm] \mathcal{A}_S [/mm] messbar.

Allerdings nur ein Gedanke, richtig wird es in dieser Weise vermutlich nicht sein (insb. da sehr redundant zu a)). Bekannt ist mir nur der Beweis der [mm] Spur-\sigma-Algebra. [/mm]

Eine genauere Erläuterung wäre hilfreich/nett.

        
Bezug
Messbarkeit Spur-Sigma-Algebra: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:42 Do 25.04.2019
Autor: fred97


> Seien (X, A), (Y, B) und (Z,C) messbare Räume, d.h. Mengen
> mit [mm]\sigma-Algebren.[/mm]
>  
> a) Zeigen Sie: Ist f: [mm]X\to[/mm] Y A-B-messbar und g:Y [mm]\to[/mm] Z
> B-C-messbar, dann ist die Komposition g [mm]\circ[/mm] f: X [mm]\to[/mm] Z
> A-C-messbar.
>  
> b) Für S [mm]\subset[/mm] X definieren wir die [mm]Spur-\sigma-Algebra[/mm]
> von [mm]\mathcal{A}[/mm] über S durch [mm]\mathcal{A}_S[/mm] := [mm]\{A \cap S | A \in \mathcal{A}\}.[/mm]
>  
> Zeigen Sie: Ist f: X [mm]\to[/mm] Y [mm]\mathcal{A}-B-messbar,[/mm] dann ist
> die Einschränkung [mm]f_S:[/mm] S [mm]\to[/mm] Y [mm]\mathcal{A}_S-B-messbar.[/mm]
>  zu a)
>  Für x [mm]\in[/mm] C ist [mm]g^{-1}(x) \in[/mm] B, woraus folgt, dass (g
> [mm]\circ f)^{-1}(x)=f^{-1}(g^{-1}(x)) \in \mathcal{A}.[/mm]
>  
> Meine Frage hierzu: Ist der Beweis so schon vollständig
> oder ergeben sich formale/theoretische Fallstricke?

Der Beweis ist O.K. Es ist nur etwas verwirrend, dass Du für Elemente von C kleine Buchstabren verwendest.


>  
> b) Mein Gedanke hierzu ist, dass für x [mm]\in[/mm] C ist
> [mm]f_S^{-1}(x) \in \mathcal{A}_S.[/mm]

Ja, genau das ist zu zeigen.

Edit: zu zeigen ist:  für x [mm]\in[/mm] B ist

> [mm]f_S^{-1}(x) \in \mathcal{A}_S.[/mm]


>  Da [mm]\mathcal{A}_S[/mm] eine
> Reduktion von einer Grundmenge X auf S ist und
>  f: X [mm]\to[/mm] Y A-B-messbar,



>  ist auch [mm]\mathcal{A}_S[/mm] messbar.

    das ist völlig sinnlos (Messbarkeit einer [mm] \sigma [/mm] - Algebra ????)

>  
> Allerdings nur ein Gedanke, richtig wird es in dieser Weise
> vermutlich nicht sein (insb. da sehr redundant zu a)).
> Bekannt ist mir nur der Beweis der [mm]Spur-\sigma-Algebra.[/mm]


Welcher Beweis ?

>  
> Eine genauere Erläuterung wäre hilfreich/nett.


Bezug
                
Bezug
Messbarkeit Spur-Sigma-Algebra: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:02 Do 25.04.2019
Autor: TS85

Der Beweis von Aufgabe b). Ich bräuchte Hinweise, wie dieser geführt wird.

Der allgemeine Beweis einer [mm] Spur-\sigma-Algebra [/mm] ist mir bekannt, aber
unrelevant.


Bezug
                        
Bezug
Messbarkeit Spur-Sigma-Algebra: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:21 Do 25.04.2019
Autor: fred97


> Der Beweis von Aufgabe b). Ich bräuchte Hinweise, wie
> dieser geführt wird.

Mit ordentlichen Bezeichnungen:

$f: X [mm] \to [/mm] Y $ sei  [mm] \mathcal{A}- \mathcal{B}-messbar. [/mm]

Zu zeigen ist:  $ [mm] f_S: [/mm]  S  [mm] \to [/mm]  Y $  ist [mm] \mathcal{A}_S-\mathcal{B}-messbar. [/mm]

Sei also $Z [mm] \in \mathcal{B} [/mm] .$  Dann ist zu zeigen: [mm] $f_S^{-1}(Z) \in \mathcal{A}_S.$ [/mm]

Nun ist [mm] $f_S^{-1}(Z)= [/mm] S [mm] \cap f^{-1}(Z).$ [/mm]

Zeige dies ! Das ist einfache Mengenlehre.

Dann bist Du fertig, denn die messbarkeit von f liefert $S [mm] \cap f^{-1}(Z) \in \matcal{A}_S.$ [/mm]



>  
> Der allgemeine Beweis einer [mm]Spur-\sigma-Algebra[/mm] ist mir
> bekannt,


Ich möchte gerne noch etwas lernen. Also, was ist "der allgemeine Beweis einer [mm]Spur-\sigma-Algebra[/mm] " ??

> aber
>  unrelevant.
>  


Bezug
                                
Bezug
Messbarkeit Spur-Sigma-Algebra: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:12 Do 25.04.2019
Autor: TS85

Wenn man es dann mal gesehen hat oder sehr gebildet ist, ist es das wohl.

Was ist nun zu zeigen: [mm] f_S^{-1}(Z) \in \mathcal{A}_S [/mm] oder [mm] f_S^{-1}(Z)=S \cap f^{-1}(Z). [/mm]
Ist [mm] f_S^{-1}(Z) [/mm] nach [mm] \mathcal{A}_S-\mathcal{B}-messbar [/mm] nicht automatisch in [mm] \mathcal{A}_S [/mm] wie in Aufgabe a)?
[mm] f^{-1}(Z) \in \mathcal{A} [/mm] nach [mm] \mathcal{A}-\mathcal{B}. [/mm]

So ganz klar ist es mir mit meinen beschränkten Fähigkeiten leider noch nicht..

Bezug
                                        
Bezug
Messbarkeit Spur-Sigma-Algebra: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:23 Do 25.04.2019
Autor: fred97


> Wenn man es dann mal gesehen hat oder sehr gebildet ist,
> ist es das wohl.

Von was redest Du ?


>  
> Was ist nun zu zeigen: [mm]f_S^{-1}(Z) \in \mathcal{A}_S[/mm] oder
> [mm]f_S^{-1}(Z)=S \cap f^{-1}(Z).[/mm]

Wenn Du gezeigt hast, dass

    [mm]f_S^{-1}(Z)=S \cap f^{-1}(Z)[/mm]

richtig ist, folgt [mm]f_S^{-1}(Z) \in \mathcal{A}_S[/mm] , weil  $ [mm] f^{-1}(Z) \in \mathcal{A} [/mm] $ ist.


>  Ist [mm]f_S^{-1}(Z)[/mm] nach
> [mm]\mathcal{A}_S-\mathcal{B}-messbar[/mm] nicht automatisch in
> [mm]\mathcal{A}_S[/mm] wie in Aufgabe a)?

Hä ? Das verstehe ich nicht.

>  [mm]f^{-1}(Z) \in \mathcal{A}[/mm] nach [mm]\mathcal{A}-\mathcal{B}.[/mm]

Das auch nicht.


>  
> So ganz klar ist es mir mit meinen beschränkten
> Fähigkeiten leider noch nicht..


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