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Messbarkeit von Limesfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:33 Di 17.11.2020
Autor: Jellal

Guten Tag!

Sei [mm] (X,\Sigma,\mu) [/mm] ein Maßraum, [mm] f_{k}(x) [/mm] eine Folge messbarer Funktionen von X nach [mm] \IR, [/mm] die für fast alle x gegen f(x) konvergiert.

Wie kann ich einsehen, dass f(x) auch eine messbare Funktion ist?
Ich weiß, dass der punktweise Limes Inferior oder -Superior messbar ist, sodass der Fall für solche x, für die [mm] f_k [/mm] gegen f konvergiert, klar ist.
Aber die anderen x bereiten mir irgendwie Kopfschmerzen.

Meine Argumentation: Ich muss zeigen, dass für alle [mm] a\in\IR [/mm] gilt:
[mm] \{x\in X: f(x)>a \}\in \Sigma. [/mm]
Man kann schreiben [mm] \{x\in X: f(x)>a \}=\{x\in X: f_{k}(x)\to f(x), f(x)>a \} \cup \{x\in X: f_{k}(x) \text{konvergiert nicht gegen }f(x), f(x)>a \} [/mm]
Die erste Menge liegt in [mm] \Sigma [/mm] da der punktweise Limes messbar ist. Die zweite Menge hat Maß 0. Aber ist jede Menge mit Maß 0 auch messbar?

        
Bezug
Messbarkeit von Limesfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:28 Di 17.11.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

fangen wir mal hinten an:

> Aber ist jede Menge mit Maß 0 auch messbar?

Das kommt auf deine Sigma-Algebra an.
Im Allgemeinen gilt das nicht, ist sie jedoch vollständig, dann schon.

Heißt: In der Borel-Sigma-Algebra gibt es nicht-meßbare Nullmengen, in der Lebesgue-Sigma-Algebra nicht.

>  Ich weiß, dass der punktweise Limes Inferior oder
> -Superior messbar ist, sodass der Fall für solche x, für
> die [mm]f_k[/mm] gegen f konvergiert, klar ist.
>  Aber die anderen x bereiten mir irgendwie Kopfschmerzen.

Also formal musst du erst mal definieren, welchen Wert deine Funktion annimmt, wenn der Grenzwert nicht existiert. Ansonsten ist dein $f$ ja gar nicht wohldefiniert.
Für die Meßbarkeit spielt der Wert aber gar keine Rolle, oBdA sei der Null.

$f(x) = [mm] \begin{cases} \lim\limits_{k\to\infty} f_k(x) & \text{falls } \lim\limits_{k\to\infty} f_k(x) \text{ existiert} \\ 0 & \text{sonst} \end{cases}$ [/mm]

Dann weißt du ja bereits, dass [mm] $\limsup_{k\to\infty} f_k$ [/mm] und [mm] $\liminf_{k\to\infty} f_k$ [/mm] meßbar sind.
Hinzu kommt, dass der Grenzwert [mm] $\lim_{k\to\infty} f_k(x)$ [/mm] gerade dann existiert, falls  [mm] $\limsup_{k\to\infty} f_k(x) [/mm] = [mm] \liminf_{k\to\infty} f_k(x)$ [/mm] gilt UND dann gilt natürlich
[mm] $\lim_{k\to\infty} [/mm] f(x) = [mm] \limsup_{k\to\infty} f_k(x) [/mm] = [mm] \liminf_{k\to\infty} f_k(x)$ [/mm]

D.h. wir können $f$ schreiben als:

$f(x) = [mm] \begin{cases} \limsup\limits_{k\to\infty} f_k(x) & \text{falls } \limsup\limits_{k\to\infty} f_k(x) = \liminf\limits_{k\to\infty} f_k(x) \\ 0 & \text{sonst} \end{cases}$ [/mm]

Damit gilt also: [mm] $\{ f > a\} [/mm] = [mm] \{ \liminf_{k\to\infty} f_k = \limsup_{k\to\infty} f_k, \limsup_{k\to\infty} f_k > a\} \cup \{ \liminf_{k\to\infty} f_k \not= \limsup_{k\to\infty} f_k, 0 > a\}$ [/mm]

Nun hast du nur noch meßbare Funktionen in den Mengen stehen und damit ist alles meßbar.

Gruß,
Gono

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Messbarkeit von Limesfunktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:57 Di 17.11.2020
Autor: tobit09

Hallo Gono!

> Hinzu kommt, dass der Grenzwert $ [mm] \lim_{k\to\infty} f_k(x) [/mm] $ gerade dann existiert, falls  $ [mm] \limsup_{k\to\infty} f_k(x) [/mm] = [mm] \liminf_{k\to\infty} f_k(x) [/mm] $ gilt

Das ist falsch im Falle [mm] $\lim_{k\to\infty}f_k(x)=\infty$ [/mm] bzw. [mm] $\lim_{k\to\infty}f_k(x)=-\infty$, [/mm] wenn man unter einem Grenzwert eine reelle Zahl versteht, wie du es offenbar in deiner Argumentation tust. Das lässt sich aber leicht fixen.

Viele Grüße
Tobias

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Messbarkeit von Limesfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:03 Fr 20.11.2020
Autor: Jellal

Danke Gono,

das verstehe ich soweit. In der Tat ist f auf den x, auf denen keine Konvergenz der [mm] f_{k} [/mm] herrscht, als 0 definiert.

> Damit gilt also: [mm]\{ f > a\} = \{ \liminf_{k\to\infty} f_k = \limsup_{k\to\infty} f_k, \limsup_{k\to\infty} f_k > a\} \cup \{ \liminf_{k\to\infty} f_k \not= \limsup_{k\to\infty} f_k, 0 > a\}[/mm]
>  
> Nun hast du nur noch meßbare Funktionen in den Mengen
> stehen und damit ist alles meßbar.

Das letzte ist mir nicht trivial klar.
Der Einfachheit halber nennen wir [mm] g(x):=\liminf_{k\to\infty} f_k [/mm] und [mm] h(x):=\limsup_{k\to\infty} f_k. [/mm]
Begründung für die Messbarkeit der Menge [mm] \{ g \not= h, 0 > a\}. [/mm] Für a>0 ist die Menge gleich der leeren Menge und damit messbar. Für a<0 besteht die Menge aus jenen x, für die die beiden messbaren Funktionen g(x) und h(x) nicht gleich sind. Diese Menge kann man schreiben als [mm] \{g>h\}\cup\{h>g\}. [/mm]
Ich weiß zwar, dass [mm] \{g>a\} [/mm] und [mm] \{h>a\} [/mm] für alle [mm] a\in \IR [/mm] messbar sind, aber das ist doch nicht das gleiche, also das gilt doch nicht, wenn a selbst eine Funktion ist?

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Messbarkeit von Limesfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:48 Fr 20.11.2020
Autor: tobit09


>  Ich weiß zwar, dass [mm]\{g>a\}[/mm] und [mm]\{h>a\}[/mm] für alle [mm]a\in \IR[/mm]
> messbar sind, aber das ist doch nicht das gleiche, also das
> gilt doch nicht, wenn a selbst eine Funktion ist?

In der Tat ist das nicht das gleiche, aber trotzdem gilt:

Sind [mm] $g,h\colon\Omega\to\IR\cup\{-\infty,+\infty\}$ [/mm] jeweils [mm] $\Sigma$-messbar, [/mm] so ist [mm] $\{g>h\}\in\Sigma$. [/mm]

Das sollte eigentlich in der Vorlesung gezeigt worden sein?

Der übliche Beweis besteht darin, sich [mm] $\{g>h\}=\bigcup_{q\in\IQ}\left(\{g>q\}\cap\{q>h\}\right)$ [/mm] klarzumachen. Mit der Abzählbarkeit von [mm] $\IQ$ [/mm] folgt die Behauptung.

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Messbarkeit von Limesfunktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:01 Sa 21.11.2020
Autor: Jellal

Vielen Dank, Tobit!

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Messbarkeit von Limesfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:42 Di 17.11.2020
Autor: tobit09

Hallo Jellal!

Anders als Gono interpretiere ich die Aussage folgendermaßen:

"Sei $ [mm] (X,\Sigma,\mu) [/mm] $ ein Maßraum, sei für jedes [mm] $k\in\IN$ [/mm] eine messbare Funktion $ [mm] f_{k}\colon X\to\mathbb{R}$ [/mm] gegeben sowie eine beliebige Funktion [mm] $f\colon X\to\mathbb{R}$, [/mm] so dass für [mm] $\mu$-fast-alle $x\in [/mm] X$ gilt [mm] $\lim_{k\to\infty}f_k(x)=f(x)$. [/mm] Dann ist $f$ messbar."

Deine Probleme die Aussage nachzuweisen sind nachvollziehbar, denn sie ist im Allgemeinen falsch.

Betrachten wir als Gegenbeispiel etwa [mm] $X=\{1,2,3\}$, $\Sigma=\{\emptyset,X,\{1\},\{2,3\}\}\$, $\mu(\emptyset)=\mu(\{2,3\})=0$, $\mu(X)=\mu(\{1\})=1$, $f_k(x)=1$ [/mm] für alle [mm] $k\in\IN$ [/mm] und alle [mm] $x\in [/mm] X$ sowie $f(x)=x$ für alle [mm] $x\in [/mm] X$.

Viele Grüße
Tobias

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Messbarkeit von Limesfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:14 Fr 20.11.2020
Autor: Jellal

Hallo Tobias,

danke auch dir für den Hinweis und das konstruierte Gegenbeispiel.

Meine Frage bezieht sich auf den Beweis, dass der [mm] L^{p}(\mu) [/mm] Raum zu einem Maßraum [mm] (X,\Sigma,\mu) [/mm] vollständig ist, also dass jede Cauchy-Funktionenfolge [mm] f_{k} [/mm] bzgl. [mm] ||.||_{p} [/mm] gegen eine Funktion f in [mm] L^{p}(\mu) [/mm] konvergiert. Bei dem Beweis wurde zuerst gezeigt, dass die [mm] f_{k} [/mm] für fast alle x gegen eine Funktion f konvergieren.
Auf allen anderen x wurde f(x)=0 gesetzt. Obendrein wurde gezeigt, dass [mm] ||f(x)||_{p} [/mm] < [mm] \infty. [/mm] Und dann wurde geschlussfolgert, dass [mm] f\in L^{p}. [/mm]
Ich habe mich dann aber gefragt, woher denn die Messbarkeit von f kommt, denn alle Funktionen in [mm] L^{p} [/mm] müssen messbar sein...

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Bezug
Messbarkeit von Limesfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:32 Fr 20.11.2020
Autor: tobit09

Dann lag Gono mit seiner Interpretation richtig und ich daneben.

Nehmen wir also Gonos Beweis (mit der kleinen Korrektur aus https://matheraum.de/read?i=1098526).

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Bezug
Messbarkeit von Limesfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:09 Sa 21.11.2020
Autor: Jellal

Naja, aber anscheinend gilt die Aussage, wie dein Gegenbeispiel oben zeigt, im Allgemeinen nicht.

Ich hätte also noch den Kontext angeben müssen, also dass man über [mm] f_{k} [/mm] in [mm] L^{p}(\mu) [/mm] spricht?
Da in meinem Skript die Messbarkeit der Limes Funktion f nicht explizit erwähnt wurde, dachte ich, es müsse sich um einen allgemein gültigen Satz handeln:

> Sei [mm](X,\Sigma,\mu)[/mm] ein Maßraum, sei für jedes [mm]k\in\IN[/mm]
> eine messbare Funktion [mm]f_{k}\colon X\to\mathbb{R}[/mm] gegeben
> sowie eine beliebige Funktion [mm]f\colon X\to\mathbb{R}[/mm], so
> dass für [mm]\mu[/mm]-fast-alle [mm]x\in X[/mm] gilt
> [mm]\lim_{k\to\infty}f_k(x)=f(x)[/mm]. Dann ist [mm]f[/mm] messbar.

Das gilt dann anscheinend nur hier in dem konkreten Fall...


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Bezug
Messbarkeit von Limesfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:03 Sa 21.11.2020
Autor: tobit09


>  > Sei [mm](X,\Sigma,\mu)[/mm] ein Maßraum, sei für jedes [mm]k\in\IN[/mm]

> > eine messbare Funktion [mm]f_{k}\colon X\to\mathbb{R}[/mm] gegeben
> > sowie eine beliebige Funktion [mm]f\colon X\to\mathbb{R}[/mm], so
> > dass für [mm]\mu[/mm]-fast-alle [mm]x\in X[/mm] gilt
> > [mm]\lim_{k\to\infty}f_k(x)=f(x)[/mm]. Dann ist [mm]f[/mm] messbar.

Das gilt zwar im Allgemeinen nicht (wie mein Gegenbeispiel zeigt), aber im Spezialfall, dass $f(x)=0$ für alle [mm] $x\in [/mm] X$, für die [mm] $f_k(x)$ [/mm] für [mm] $k\to\infty$ [/mm] nicht konvergiert, schon.

Und nur diesen Spezialfall braucht man in deinem Beweis.

Bezug
                                                
Bezug
Messbarkeit von Limesfunktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:07 Sa 21.11.2020
Autor: Jellal

Vielen Dank!

Ich sollte nächste mal besser den Kontext schildern...

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