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Messbarkeit von Menge folgern: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:27 Do 30.04.2020
Autor: Jellal

Guten Tag,

angenommen wir haben einen Massraum [mm] (X,\Sigma,\mu), [/mm] eine nicht-negative Funktion f: X [mm] \to [0,\infty] [/mm] und die Mengen [mm] A_{\alpha}=\{x\in X: f(x)> \alpha\} [/mm] fuer alle [mm] \alpha \in \IR [/mm] sind messbar, liegen also in [mm] \Sigma. [/mm]

Mein Skript sagt, dass dann offenbar auch die Mengen [mm] E_{k}=\{x\in X: \bruch {k}{2^{N}} \le f(x) < \bruch {k+1}{2^{N}}\} [/mm] fuer [mm] 0\le k
Auch, wenn es intuitiv irgendwie klar ist, so sehe ich die rigorose Argumentation nicht. Was ist hier das "Offensichtliche"?


vG.
Jellal


        
Bezug
Messbarkeit von Menge folgern: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:58 Do 30.04.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

vorab:  Ich lass das Argument von f wie in der Literatur üblich weg und bezeichne mit [mm] A^c [/mm] das Komplement von A, dann gilt offensichtlich erst mal:

$ [mm] E_{k}= \left\{f \ge \bruch {k}{2^{N}}\right\} \cap \left\{ f < \bruch {k+1}{2^{N}}\right\} [/mm] = [mm] \left\{f \ge \bruch {k}{2^{N}}\right\} \cap \left\{ f \ge \bruch {k+1}{2^{N}}\right\}^c$ [/mm]

Alles steht und fällt also mit der Frage, warum aus der Meßbarkeit von Mengen der Form  [mm] $\{ f > \alpha\}$ [/mm] die Meßbarkeit von Mengen der Form [mm] $\{ f \ge \alpha\}$ [/mm] folgt, dann ist auch die Meßbarkeit von $ [mm] E_{N2^{N}}$ [/mm] sofort klar

Tipp: [mm] $\alpha \ge \alpha [/mm] - [mm] \frac{1}{n}$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm]

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Messbarkeit von Menge folgern: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:15 Do 30.04.2020
Autor: Jellal

Hallo Gono, danke fuer die Antwort!

Ich verstehe, ich zerlege meine Menge in zwei einfachere Mengen, die mit Operationen versehen werden, unter denen die Sigma-Algebra geschlossen ist. Es bleibt also das zu zeigen, was du gesagt hast.

Mit der gleichen Idee kann ich schreiben: [mm] \{f \ge \alpha \} [/mm] = [mm] \bigcup_{n=1}^{\infty}\{f > \alpha - \bruch {1}{n} \} [/mm]

Rechts ist eine abzaehlbare Vereinigung messbarer Mengen, sodass auch die linke Menge messbar ist. So richtig?



Bezug
                        
Bezug
Messbarkeit von Menge folgern: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:12 Do 30.04.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Ich verstehe, ich zerlege meine Menge in zwei einfachere
> Mengen, die mit Operationen versehen werden, unter denen
> die Sigma-Algebra geschlossen ist. Es bleibt also das zu zeigen, was du gesagt hast.

Korrekt.

>  
> Mit der gleichen Idee kann ich schreiben: [mm]\{f \ge \alpha \}[/mm]
> = [mm]\bigcup_{n=1}^{\infty}\{f > \alpha - \bruch {1}{n} \}[/mm]
>
> Rechts ist eine abzaehlbare Vereinigung messbarer Mengen,
> sodass auch die linke Menge messbar ist. So richtig?

Ja, allerdings hast du einen kleinen Denkfehler… es gilt nämlich
[mm] $\left\{f > \alpha - \bruch {1}{1} \right\} \supseteq \left\{f > \alpha - \bruch {1}{2} \right\} \supseteq \left\{f > \alpha - \bruch {1}{3} \right\} \supseteq \ldots$ [/mm]
und daher [mm]\bigcup_{n=1}^{\infty}\left\{f > \alpha - \bruch {1}{n} \right\} = \{f > \alpha - 1 \}\[/mm], allerdings gilt [mm]\{f \ge \alpha \} = \bigcap_{n=1}^{\infty}\left\{f > \alpha - \bruch {1}{n} \right\}[/mm]

Gruß,
Gono

Bezug
                                
Bezug
Messbarkeit von Menge folgern: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:38 Fr 01.05.2020
Autor: Jellal


> Hiho,
>  Ja, allerdings hast du einen kleinen Denkfehler… es gilt
> nämlich
> [mm]\left\{f > \alpha - \bruch {1}{1} \right\} \supseteq \left\{f > \alpha - \bruch {1}{2} \right\} \supseteq \left\{f > \alpha - \bruch {1}{3} \right\} \supseteq \ldots[/mm]
> und daher [mm]\bigcup_{n=1}^{\infty}\left\{f > \alpha - \bruch {1}{n} \right\} = \{f > \alpha - 1 \}\[/mm],
> allerdings gilt [mm]\{f \ge \alpha \} = \bigcap_{n=1}^{\infty}\left\{f > \alpha - \bruch {1}{n} \right\}[/mm]
>  

Natuerlich! Danke dir =)


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