Messbarkeit von Mengen < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seinen [mm] (\Omega,A) [/mm] ein Messraum und fg: [mm] (\Omega,A)-> (\IR,B) [/mm] zwei messbare Abbildungen mit B [mm] Borel-\sigma-Algebra [/mm] auf den reellen Zahlen
a) Weisen sie nach, dass die Mengen [mm] \{f
b) Zeigen Sie, dass der Positivteil [mm] f^{+} [/mm] :=max(f,0) und der Negativteil [mm] f^{-} [/mm] :=max(-f,0)-min(f,0) ebenfalls Borel-messbar sind |
Guten Morgen
Wir hatten in der Vorlseung eine Proposition, dass f+g und f-g wieder messbar sind, wenn f,g messbar sind.
Damit würde ich gerne bei der a) mit arbeiten. f < g kann man ja auch umstellen zu f-g < 0. f-g ist nach eine Messbare Funktion und liegt somit in A, aber ich muss wohl noch zeigen, dass f-g<0 ist, oder?
Bei der Menge [mm] \{f=g\} [/mm] kann ich ja direkt die Proposition verwenden.
Wie kann man das direkt aufschreiben und formal richtig?
Bei der ersten Menge so in etwa:
[mm] \{f
Zu b):
Für Borel-Messbar muss ich zeigen, dass A und B [mm] Borel-\sigma-Algebren [/mm] sind. B ist nach Vor. eine und wie man das bei A zeigt, fällt mir keine Idee ein.
Für die Messbarkeit muss ich jeweils eine Fallunterscheidung machen:
zzg: [mm] (f^{+})^{-1}(A)=\{\omega \in \Omega : f^{+}(\omega) \in A\} \in [/mm] A.
Fall 1: [mm] f(x)\ge [/mm] 0 =>f(x) und das liegt nach Vor. in A
Fall 2: f(x)=0 => 0 liegt auch in A, da es eine [mm] \sigma-Algebra [/mm] ist.
Soweit richtig so?
Vielen Lieben Dank und liebe Grüße
TheBozz-mismo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:50 Sa 04.11.2017 | | Autor: | fred97 |
> Seinen [mm](\Omega,A)[/mm] ein Messraum und fg: [mm](\Omega,A)-> (\IR,B)[/mm]
> zwei messbare Abbildungen mit B [mm]Borel-\sigma-Algebra[/mm] auf
> den reellen Zahlen
> a) Weisen sie nach, dass die Mengen [mm]\{fEingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> und {f [mm]\not= g\}[/mm] in A liegen
> b) Zeigen Sie, dass der Positivteil [mm]f^{+}[/mm] :=max(f,0) und
> der Negativteil [mm]f^{-}[/mm] :=max(-f,0)-min(f,0) ebenfalls
> Borel-messbar sind
> Guten Morgen
> Wir hatten in der Vorlseung eine Proposition, dass f+g und
> f-g wieder messbar sind, wenn f,g messbar sind.
> Damit würde ich gerne bei der a) mit arbeiten. f < g kann
> man ja auch umstellen zu f-g < 0. f-g ist nach eine
> Messbare Funktion und liegt somit in A, aber ich muss wohl
> noch zeigen, dass f-g<0 ist, oder?
> Bei der Menge [mm]\{f=g\}[/mm] kann ich ja direkt die Proposition
> verwenden.
> Wie kann man das direkt aufschreiben und formal richtig?
> Bei der ersten Menge so in etwa:
> [mm]\{f
> [mm]\{\omega \in \Omega | f(\omega)-g(\omega)<0\}.[/mm] Nach Vor
> liegt [mm]f(\omega)[/mm] und [mm]g(\omega)[/mm] in A,
Mit Verlaub, aber das ist Unsinn ! A ist eine [mm] \sigma [/mm] - Algebra und enthält Mengen f( [mm] \omega) [/mm] und g( [mm] \omega) [/mm] sind aber Zahlen !!
Es ist [mm] $\{f
Wir haben [mm] $(-\infty,0) \in [/mm] B$ und f-g messbar. Somit ist [mm] $\{f
> somit auch die
> Differenz. Und wenn man die Relation f<g betrachtet, nimmt
> man ja sozusagen nur eine Teilmenge, die aber auch wieder
> in A liegen muss.
>
> Zu b):
> Für Borel-Messbar muss ich zeigen, dass A und B
> [mm]Borel-\sigma-Algebren[/mm] sind. B ist nach Vor. eine und wie
> man das bei A zeigt, fällt mir keine Idee ein.
> Für die Messbarkeit muss ich jeweils eine
> Fallunterscheidung machen:
> zzg: [mm](f^{+})^{-1}(A)=\{\omega \in \Omega : f^{+}(\omega) \in A\} \in[/mm]
> A.
> Fall 1: [mm]f(x)\ge[/mm] 0 =>f(x) und das liegt nach Vor. in A
> Fall 2: f(x)=0 => 0 liegt auch in A, da es eine
> [mm]\sigma-Algebra[/mm] ist.
> Soweit richtig so?
Nein, gleicher Fehler wie oben !
Es ist [mm] $f_{+}=\frac{f+|f|}{2}$. [/mm] f ist messbar, also ist auch |f| messbar und damit ist [mm] $f_{+}=\frac{f+|f|}{2}$ [/mm] messbar.
>
> Vielen Lieben Dank und liebe Grüße
>
> TheBozz-mismo
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Hallo und danke für die schnelle Antwort
> > Seinen [mm](\Omega,A)[/mm] ein Messraum und fg: [mm](\Omega,A)-> (\IR,B)[/mm]
> > zwei messbare Abbildungen mit B [mm]Borel-\sigma-Algebra[/mm] auf
> > den reellen Zahlen
> > a) Weisen sie nach, dass die Mengen [mm]\{fEingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler:
> "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde
> aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote
> Markierung)
>
>
> > und {f [mm]\not= g\}[/mm] in A liegen
> > b) Zeigen Sie, dass der Positivteil [mm]f^{+}[/mm] :=max(f,0)
> und
> > der Negativteil [mm]f^{-}[/mm] :=max(-f,0)-min(f,0) ebenfalls
> > Borel-messbar sind
> > Guten Morgen
> > Wir hatten in der Vorlseung eine Proposition, dass f+g
> und
> > f-g wieder messbar sind, wenn f,g messbar sind.
> > Damit würde ich gerne bei der a) mit arbeiten. f < g
> kann
> > man ja auch umstellen zu f-g < 0. f-g ist nach eine
> > Messbare Funktion und liegt somit in A, aber ich muss wohl
> > noch zeigen, dass f-g<0 ist, oder?
> > Bei der Menge [mm]\{f=g\}[/mm] kann ich ja direkt die
> Proposition
> > verwenden.
> > Wie kann man das direkt aufschreiben und formal
> richtig?
> > Bei der ersten Menge so in etwa:
> > [mm]\{f
> > [mm]\{\omega \in \Omega | f(\omega)-g(\omega)<0\}.[/mm] Nach Vor
> > liegt [mm]f(\omega)[/mm] und [mm]g(\omega)[/mm] in A,
>
>
> Mit Verlaub, aber das ist Unsinn ! A ist eine [mm]\sigma[/mm] -
> Algebra und enthält Mengen f( [mm]\omega)[/mm] und g( [mm]\omega)[/mm] sind
> aber Zahlen !!
Ja. Da stimme ich dir zu! Hab das wohl verwechselt.
>
> Es ist [mm]\{f
>
Warum hast du genau den Erzeuger der [mm] Borel-\sigma-Algebra [/mm] genommen? Ich seh da den Zusammenhang zwischen den beiden Funktionen nicht.
Würde man dann für die Menge [mm] \{f=g\} [/mm] den Erzeuger [a,b] [mm] \cup \{\emptyset\} [/mm] nehmen?
Und für [mm] \{f \ge g\} [/mm] dann [mm] [0,\infty)
[/mm]
> Wir haben [mm](-\infty,0) \in B[/mm] und f-g messbar. Somit ist
> [mm]\{f
>
>
>
> > somit auch die
> > Differenz. Und wenn man die Relation f<g betrachtet, nimmt
> > man ja sozusagen nur eine Teilmenge, die aber auch wieder
> > in A liegen muss.
> >
> > Zu b):
> > Für Borel-Messbar muss ich zeigen, dass A und B
> > [mm]Borel-\sigma-Algebren[/mm] sind. B ist nach Vor. eine und wie
> > man das bei A zeigt, fällt mir keine Idee ein.
> > Für die Messbarkeit muss ich jeweils eine
> > Fallunterscheidung machen:
> > zzg: [mm](f^{+})^{-1}(A)=\{\omega \in \Omega : f^{+}(\omega) \in A\} \in[/mm]
> > A.
> > Fall 1: [mm]f(x)\ge[/mm] 0 =>f(x) und das liegt nach Vor. in A
> > Fall 2: f(x)=0 => 0 liegt auch in A, da es eine
> > [mm]\sigma-Algebra[/mm] ist.
> > Soweit richtig so?
>
> Nein, gleicher Fehler wie oben !
>
> Es ist [mm]f_{+}=\frac{f+|f|}{2}[/mm]. f ist messbar, also ist auch
> |f| messbar
Muss man das noch begründen?
>und damit ist [mm]f_{+}=\frac{f+|f|}{2}[/mm] messbar.
>
Wäre das bei [mm] f^{-}=\bruch{-f-|f|}{2}?
[/mm]
>
> >
> > Vielen Lieben Dank und liebe Grüße
> >
> > TheBozz-mismo
>
Lieben Gruß
TheBozz-mismo
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:24 Mo 06.11.2017 | | Autor: | fred97 |
> Hallo und danke für die schnelle Antwort
> > > Seinen [mm](\Omega,A)[/mm] ein Messraum und fg: [mm](\Omega,A)-> (\IR,B)[/mm]
> > > zwei messbare Abbildungen mit B [mm]Borel-\sigma-Algebra[/mm] auf
> > > den reellen Zahlen
> > > a) Weisen sie nach, dass die Mengen [mm]\{fEingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler:
> "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde
> aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote
> Markierung)
>
> Eingabefehler:
> > "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde
> > aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote
> > Markierung)
> >
> >
> > > und {f [mm]\not= g\}[/mm] in A liegen
> > > b) Zeigen Sie, dass der Positivteil [mm]f^{+}[/mm] :=max(f,0)
> > und
> > > der Negativteil [mm]f^{-}[/mm] :=max(-f,0)-min(f,0) ebenfalls
> > > Borel-messbar sind
> > > Guten Morgen
> > > Wir hatten in der Vorlseung eine Proposition, dass
> f+g
> > und
> > > f-g wieder messbar sind, wenn f,g messbar sind.
> > > Damit würde ich gerne bei der a) mit arbeiten. f <
> g
> > kann
> > > man ja auch umstellen zu f-g < 0. f-g ist nach eine
> > > Messbare Funktion und liegt somit in A, aber ich muss wohl
> > > noch zeigen, dass f-g<0 ist, oder?
> > > Bei der Menge [mm]\{f=g\}[/mm] kann ich ja direkt die
> > Proposition
> > > verwenden.
> > > Wie kann man das direkt aufschreiben und formal
> > richtig?
> > > Bei der ersten Menge so in etwa:
> > > [mm]\{f
> =
> > > [mm]\{\omega \in \Omega | f(\omega)-g(\omega)<0\}.[/mm] Nach Vor
> > > liegt [mm]f(\omega)[/mm] und [mm]g(\omega)[/mm] in A,
> >
> >
> > Mit Verlaub, aber das ist Unsinn ! A ist eine [mm]\sigma[/mm] -
> > Algebra und enthält Mengen f( [mm]\omega)[/mm] und g( [mm]\omega)[/mm] sind
> > aber Zahlen !!
> Ja. Da stimme ich dir zu! Hab das wohl verwechselt.
> >
> > Es ist [mm]\{f
> >
> Warum hast du genau den Erzeuger der [mm]Borel-\sigma-Algebra[/mm]
> genommen? Ich seh da den Zusammenhang zwischen den beiden
> Funktionen nicht.
Ich habe den Eindruck, dass Du mit den Schreibweisen nicht vertraut bist !
Es ist (nach Def. !): [mm] $\{f
$ [mm] \{f
Weiter ist (ebenfalls nach Def.) [mm] $(f-g)^{-1}(( [/mm] - [mm] \infty,0))=\{a \in A: f(a)-g(a) \in ( - \infty,0)\}$ [/mm] und damit
[mm] $(f-g)^{-1}(( [/mm] - [mm] \infty,0))=\{a \in A: f(a)-g(a)<0}$.
[/mm]
>
> Würde man dann für die Menge [mm]\{f=g\}[/mm] den Erzeuger [a,b]
> [mm]\cup \{\emptyset\}[/mm] nehmen?
> Und für [mm]\{f \ge g\}[/mm] dann [mm][0,\infty)[/mm]
> > Wir haben [mm](-\infty,0) \in B[/mm] und f-g messbar. Somit ist
> > [mm]\{f
> >
> >
> >
> > > somit auch die
> > > Differenz. Und wenn man die Relation f<g betrachtet, nimmt
> > > man ja sozusagen nur eine Teilmenge, die aber auch wieder
> > > in A liegen muss.
> > >
> > > Zu b):
> > > Für Borel-Messbar muss ich zeigen, dass A und B
> > > [mm]Borel-\sigma-Algebren[/mm] sind. B ist nach Vor. eine und wie
> > > man das bei A zeigt, fällt mir keine Idee ein.
> > > Für die Messbarkeit muss ich jeweils eine
> > > Fallunterscheidung machen:
> > > zzg: [mm](f^{+})^{-1}(A)=\{\omega \in \Omega : f^{+}(\omega) \in A\} \in[/mm]
> > > A.
> > > Fall 1: [mm]f(x)\ge[/mm] 0 =>f(x) und das liegt nach Vor. in
> A
> > > Fall 2: f(x)=0 => 0 liegt auch in A, da es eine
> > > [mm]\sigma-Algebra[/mm] ist.
> > > Soweit richtig so?
> >
> > Nein, gleicher Fehler wie oben !
> >
> > Es ist [mm]f_{+}=\frac{f+|f|}{2}[/mm]. f ist messbar, also ist auch
> > |f| messbar
> Muss man das noch begründen?
Was ? Dass |f| messbar ist ? Hattet ihr das nicht ?
Wir setzen für t [mm] \in \IR: [/mm] h(t)=|t|. Dann ist h stetig, also messbar. Wegen $|f|=h [mm] \circ [/mm] f$ ist dann |f| messbar.
> >und damit ist [mm]f_{+}=\frac{f+|f|}{2}[/mm] messbar.
> >
> Wäre das bei [mm]f^{-}=\bruch{-f-|f|}{2}?[/mm]
nein, sondern [mm]f^{-}=\bruch{-f+|f|}{2}[/mm]
> >
> > >
> > > Vielen Lieben Dank und liebe Grüße
> > >
> > > TheBozz-mismo
> >
>
>
> Lieben Gruß
> TheBozz-mismo
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Hallo
> > Hallo und danke für die schnelle Antwort
> > > > Seinen [mm](\Omega,A)[/mm] ein Messraum und fg: [mm](\Omega,A)-> (\IR,B)[/mm]
> > > > zwei messbare Abbildungen mit B [mm]Borel-\sigma-Algebra[/mm] auf
> > > > den reellen Zahlen
> > > > a) Weisen sie nach, dass die Mengen
> [mm]\{fEingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler:
> "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde
> aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote
> Markierung)
>
> Eingabefehler:
> > "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde
> > aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote
> > Markierung)
> >
> > Eingabefehler:
> > > "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde
> > > aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote
> > > Markierung)
> > >
> > >
> > > > und {f [mm]\not= g\}[/mm] in A liegen
> > > > b) Zeigen Sie, dass der Positivteil [mm]f^{+}[/mm]
> :=max(f,0)
> > > und
> > > > der Negativteil [mm]f^{-}[/mm] :=max(-f,0)-min(f,0) ebenfalls
> > > > Borel-messbar sind
> > > > Guten Morgen
> > > > Wir hatten in der Vorlseung eine Proposition,
> dass
> > f+g
> > > und
> > > > f-g wieder messbar sind, wenn f,g messbar sind.
> > > > Damit würde ich gerne bei der a) mit arbeiten. f
> <
> > g
> > > kann
> > > > man ja auch umstellen zu f-g < 0. f-g ist nach eine
> > > > Messbare Funktion und liegt somit in A, aber ich muss wohl
> > > > noch zeigen, dass f-g<0 ist, oder?
> > > > Bei der Menge [mm]\{f=g\}[/mm] kann ich ja direkt die
> > > Proposition
> > > > verwenden.
> > > > Wie kann man das direkt aufschreiben und formal
> > > richtig?
> > > > Bei der ersten Menge so in etwa:
> > > > [mm]\{f
> > =
> > > > [mm]\{\omega \in \Omega | f(\omega)-g(\omega)<0\}.[/mm] Nach Vor
> > > > liegt [mm]f(\omega)[/mm] und [mm]g(\omega)[/mm] in A,
> > >
> > >
> > > Mit Verlaub, aber das ist Unsinn ! A ist eine [mm]\sigma[/mm] -
> > > Algebra und enthält Mengen f( [mm]\omega)[/mm] und g( [mm]\omega)[/mm] sind
> > > aber Zahlen !!
> > Ja. Da stimme ich dir zu! Hab das wohl verwechselt.
> > >
> > > Es ist [mm]\{f
> > >
> > Warum hast du genau den Erzeuger der [mm]Borel-\sigma-Algebra[/mm]
> > genommen? Ich seh da den Zusammenhang zwischen den beiden
> > Funktionen nicht.
>
> Ich habe den Eindruck, dass Du mit den Schreibweisen nicht
> vertraut bist !
Ja, da magst du recht haben.
>
> Es ist (nach Def. !): [mm]\{f
> damit
>
> [mm]\{f
>
> Weiter ist (ebenfalls nach Def.) [mm](f-g)^{-1}(( - \infty,0))=\{a \in A: f(a)-g(a) \in ( - \infty,0)\}[/mm]
> und damit
>
> [mm](f-g)^{-1}(( - \infty,0))=\{a \in A: f(a)-g(a)<0}[/mm].
>
Ok. Danke für die Erklärung. Und daraus folgt dann, dass [mm] \{f
Mal sehen, ob ich das jetzt richtig verstanden habe: [mm] \{f \ge g\}= \{a\in A : f(a)-g(a) \ge 0 \}
[/mm]
Und es gilt [mm] (f-g)^{-1}([0,\infty))=\{a \in A : f(a)-g(a) \in [0,\infty)\}
[/mm]
Und daraus folgt dann [mm] (f-g)^{-1}([0,\infty))=\{a\in A : f(a)-g(a) \ge 0 \}
[/mm]
Und dann folgt daraus wieder, dass die Menge in A liegt.
>
> >
> > Würde man dann für die Menge [mm]\{f=g\}[/mm] den Erzeuger [a,b]
> > [mm]\cup \{\emptyset\}[/mm] nehmen?
> > Und für [mm]\{f \ge g\}[/mm] dann [mm][0,\infty)[/mm]
> > > Wir haben [mm](-\infty,0) \in B[/mm] und f-g messbar. Somit
> ist
> > > [mm]\{f
> > >
> > >
> > >
> > > > somit auch die
> > > > Differenz. Und wenn man die Relation f<g betrachtet, nimmt
> > > > man ja sozusagen nur eine Teilmenge, die aber auch wieder
> > > > in A liegen muss.
> > > >
> > > > Zu b):
> > > > Für Borel-Messbar muss ich zeigen, dass A und B
> > > > [mm]Borel-\sigma-Algebren[/mm] sind. B ist nach Vor. eine und wie
> > > > man das bei A zeigt, fällt mir keine Idee ein.
> > > > Für die Messbarkeit muss ich jeweils eine
> > > > Fallunterscheidung machen:
> > > > zzg: [mm](f^{+})^{-1}(A)=\{\omega \in \Omega : f^{+}(\omega) \in A\} \in[/mm]
> > > > A.
> > > > Fall 1: [mm]f(x)\ge[/mm] 0 =>f(x) und das liegt nach Vor.
> in
> > A
> > > > Fall 2: f(x)=0 => 0 liegt auch in A, da es eine
> > > > [mm]\sigma-Algebra[/mm] ist.
> > > > Soweit richtig so?
> > >
> > > Nein, gleicher Fehler wie oben !
> > >
> > > Es ist [mm]f_{+}=\frac{f+|f|}{2}[/mm]. f ist messbar, also ist auch
> > > |f| messbar
> > Muss man das noch begründen?
>
> Was ? Dass |f| messbar ist ? Hattet ihr das nicht ?
>
> Wir setzen für t [mm]\in \IR:[/mm] h(t)=|t|. Dann ist h stetig,
> also messbar. Wegen [mm]|f|=h \circ f[/mm] ist dann |f| messbar.
>
Ok. Danke. Macht jetzt alles viel mehr Sinn
>
> > >und damit ist [mm]f_{+}=\frac{f+|f|}{2}[/mm] messbar.
> > >
> > Wäre das bei [mm]f^{-}=\bruch{-f-|f|}{2}?[/mm]
>
> nein, sondern [mm]f^{-}=\bruch{-f+|f|}{2}[/mm]
>
>
> > >
> > > >
> > > > Vielen Lieben Dank und liebe Grüße
> > > >
> > > > TheBozz-mismo
> > >
> >
> >
> > Lieben Gruß
> > TheBozz-mismo
>
Lieben Gruß
TheBozz-mismo
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:02 Mo 06.11.2017 | | Autor: | fred97 |
> Hallo
> > > Hallo und danke für die schnelle Antwort
> > > > > Seinen [mm](\Omega,A)[/mm] ein Messraum und fg:
> [mm](\Omega,A)-> (\IR,B)[/mm]
> > > > > zwei messbare Abbildungen mit B [mm]Borel-\sigma-Algebra[/mm] auf
> > > > > den reellen Zahlen
> > > > > a) Weisen sie nach, dass die Mengen
> > [mm]\{fEingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler:
> "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde
> aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote
> Markierung)
>
> Eingabefehler:
> > "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde
> > aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote
> > Markierung)
> >
> > Eingabefehler:
> > > "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde
> > > aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote
> > > Markierung)
> > >
> > > Eingabefehler:
> > > > "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde
> > > > aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote
> > > > Markierung)
> > > >
> > > >
> > > > > und {f [mm]\not= g\}[/mm] in A liegen
> > > > > b) Zeigen Sie, dass der Positivteil [mm]f^{+}[/mm]
> > :=max(f,0)
> > > > und
> > > > > der Negativteil [mm]f^{-}[/mm] :=max(-f,0)-min(f,0) ebenfalls
> > > > > Borel-messbar sind
> > > > > Guten Morgen
> > > > > Wir hatten in der Vorlseung eine Proposition,
> > dass
> > > f+g
> > > > und
> > > > > f-g wieder messbar sind, wenn f,g messbar sind.
> > > > > Damit würde ich gerne bei der a) mit
> arbeiten. f
> > <
> > > g
> > > > kann
> > > > > man ja auch umstellen zu f-g < 0. f-g ist nach eine
> > > > > Messbare Funktion und liegt somit in A, aber ich muss wohl
> > > > > noch zeigen, dass f-g<0 ist, oder?
> > > > > Bei der Menge [mm]\{f=g\}[/mm] kann ich ja direkt die
> > > > Proposition
> > > > > verwenden.
> > > > > Wie kann man das direkt aufschreiben und
> formal
> > > > richtig?
> > > > > Bei der ersten Menge so in etwa:
> > > > > [mm]\{f
> > > =
> > > > > [mm]\{\omega \in \Omega | f(\omega)-g(\omega)<0\}.[/mm] Nach Vor
> > > > > liegt [mm]f(\omega)[/mm] und [mm]g(\omega)[/mm] in A,
> > > >
> > > >
> > > > Mit Verlaub, aber das ist Unsinn ! A ist eine [mm]\sigma[/mm] -
> > > > Algebra und enthält Mengen f( [mm]\omega)[/mm] und g( [mm]\omega)[/mm] sind
> > > > aber Zahlen !!
> > > Ja. Da stimme ich dir zu! Hab das wohl verwechselt.
> > > >
> > > > Es ist [mm]\{f
> > > >
> > > Warum hast du genau den Erzeuger der [mm]Borel-\sigma-Algebra[/mm]
> > > genommen? Ich seh da den Zusammenhang zwischen den beiden
> > > Funktionen nicht.
> >
> > Ich habe den Eindruck, dass Du mit den Schreibweisen nicht
> > vertraut bist !
>
> Ja, da magst du recht haben.
> >
> > Es ist (nach Def. !): [mm]\{f
> > damit
> >
> > [mm]\{f
> >
> > Weiter ist (ebenfalls nach Def.) [mm](f-g)^{-1}(( - \infty,0))=\{a \in A: f(a)-g(a) \in ( - \infty,0)\}[/mm]
> > und damit
> >
> > [mm](f-g)^{-1}(( - \infty,0))=\{a \in A: f(a)-g(a)<0}[/mm].
> >
> Ok. Danke für die Erklärung. Und daraus folgt dann, dass
> [mm]\{f
Nein ! Es ist $( - [mm] \infty,0) \in [/mm] B$ und da f-g messbar ist, ist [mm] $(f-g)^{-1}(( [/mm] - [mm] \infty,0)) \in [/mm] A$, als [mm] $\{f
>
> Mal sehen, ob ich das jetzt richtig verstanden habe: [mm]\{f \ge g\}= \{a\in A : f(a)-g(a) \ge 0 \}[/mm]
>
> Und es gilt [mm](f-g)^{-1}([0,\infty))=\{a \in A : f(a)-g(a) \in [0,\infty)\}[/mm]
>
> Und daraus folgt dann [mm](f-g)^{-1}([0,\infty))=\{a\in A : f(a)-g(a) \ge 0 \}[/mm]
>
> Und dann folgt daraus wieder, dass die Menge in A liegt.
> >
> > >
> > > Würde man dann für die Menge [mm]\{f=g\}[/mm] den Erzeuger [a,b]
> > > [mm]\cup \{\emptyset\}[/mm] nehmen?
> > > Und für [mm]\{f \ge g\}[/mm] dann [mm][0,\infty)[/mm]
> > > > Wir haben [mm](-\infty,0) \in B[/mm] und f-g messbar. Somit
> > ist
> > > > [mm]\{f
> > > >
> > > >
> > > >
> > > > > somit auch die
> > > > > Differenz. Und wenn man die Relation f<g betrachtet, nimmt
> > > > > man ja sozusagen nur eine Teilmenge, die aber auch wieder
> > > > > in A liegen muss.
> > > > >
> > > > > Zu b):
> > > > > Für Borel-Messbar muss ich zeigen, dass A und
> B
> > > > > [mm]Borel-\sigma-Algebren[/mm] sind. B ist nach Vor. eine und wie
> > > > > man das bei A zeigt, fällt mir keine Idee ein.
> > > > > Für die Messbarkeit muss ich jeweils eine
> > > > > Fallunterscheidung machen:
> > > > > zzg: [mm](f^{+})^{-1}(A)=\{\omega \in \Omega : f^{+}(\omega) \in A\} \in[/mm]
> > > > > A.
> > > > > Fall 1: [mm]f(x)\ge[/mm] 0 =>f(x) und das liegt nach
> Vor.
> > in
> > > A
> > > > > Fall 2: f(x)=0 => 0 liegt auch in A, da es
> eine
> > > > > [mm]\sigma-Algebra[/mm] ist.
> > > > > Soweit richtig so?
> > > >
> > > > Nein, gleicher Fehler wie oben !
> > > >
> > > > Es ist [mm]f_{+}=\frac{f+|f|}{2}[/mm]. f ist messbar, also ist auch
> > > > |f| messbar
> > > Muss man das noch begründen?
> >
> > Was ? Dass |f| messbar ist ? Hattet ihr das nicht ?
> >
> > Wir setzen für t [mm]\in \IR:[/mm] h(t)=|t|. Dann ist h stetig,
> > also messbar. Wegen [mm]|f|=h \circ f[/mm] ist dann |f| messbar.
> >
> Ok. Danke. Macht jetzt alles viel mehr Sinn
> >
> > > >und damit ist [mm]f_{+}=\frac{f+|f|}{2}[/mm] messbar.
> > > >
> > > Wäre das bei [mm]f^{-}=\bruch{-f-|f|}{2}?[/mm]
> >
> > nein, sondern [mm]f^{-}=\bruch{-f+|f|}{2}[/mm]
> >
> >
> > > >
> > > > >
> > > > > Vielen Lieben Dank und liebe Grüße
> > > > >
> > > > > TheBozz-mismo
> > > >
> > >
> > >
> > > Lieben Gruß
> > > TheBozz-mismo
> >
>
> Lieben Gruß
>
> TheBozz-mismo
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Hallo
> > Hallo
> > > > Hallo und danke für die schnelle Antwort
> > > > > > Seinen [mm](\Omega,A)[/mm] ein Messraum und fg:
> > [mm](\Omega,A)-> (\IR,B)[/mm]
> > > > > > zwei messbare Abbildungen mit B [mm]Borel-\sigma-Algebra[/mm] auf
> > > > > > den reellen Zahlen
> > > > > > a) Weisen sie nach, dass die Mengen
> > > [mm]\{fEingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler:
> "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde
> aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote
> Markierung)
>
> Eingabefehler:
> > "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde
> > aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote
> > Markierung)
> >
> > Eingabefehler:
> > > "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde
> > > aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote
> > > Markierung)
> > >
> > > Eingabefehler:
> > > > "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde
> > > > aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote
> > > > Markierung)
> > > >
> > > > Eingabefehler:
> > > > > "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde
> > > > > aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote
> > > > > Markierung)
> > > > >
> > > > >
> > > > > > und {f [mm]\not= g\}[/mm] in A liegen
> > > > > > b) Zeigen Sie, dass der Positivteil [mm]f^{+}[/mm]
> > > :=max(f,0)
> > > > > und
> > > > > > der Negativteil [mm]f^{-}[/mm] :=max(-f,0)-min(f,0) ebenfalls
> > > > > > Borel-messbar sind
> > > > > > Guten Morgen
> > > > > > Wir hatten in der Vorlseung eine
> Proposition,
> > > dass
> > > > f+g
> > > > > und
> > > > > > f-g wieder messbar sind, wenn f,g messbar sind.
> > > > > > Damit würde ich gerne bei der a) mit
> > arbeiten. f
> > > <
> > > > g
> > > > > kann
> > > > > > man ja auch umstellen zu f-g < 0. f-g ist nach eine
> > > > > > Messbare Funktion und liegt somit in A, aber ich muss wohl
> > > > > > noch zeigen, dass f-g<0 ist, oder?
> > > > > > Bei der Menge [mm]\{f=g\}[/mm] kann ich ja direkt
> die
> > > > > Proposition
> > > > > > verwenden.
> > > > > > Wie kann man das direkt aufschreiben und
> > formal
> > > > > richtig?
> > > > > > Bei der ersten Menge so in etwa:
> > > > > > [mm]\{f
> > > > =
> > > > > > [mm]\{\omega \in \Omega | f(\omega)-g(\omega)<0\}.[/mm] Nach Vor
> > > > > > liegt [mm]f(\omega)[/mm] und [mm]g(\omega)[/mm] in A,
> > > > >
> > > > >
> > > > > Mit Verlaub, aber das ist Unsinn ! A ist eine [mm]\sigma[/mm] -
> > > > > Algebra und enthält Mengen f( [mm]\omega)[/mm] und g( [mm]\omega)[/mm] sind
> > > > > aber Zahlen !!
> > > > Ja. Da stimme ich dir zu! Hab das wohl
> verwechselt.
> > > > >
> > > > > Es ist [mm]\{f
> > > > >
> > > > Warum hast du genau den Erzeuger der [mm]Borel-\sigma-Algebra[/mm]
> > > > genommen? Ich seh da den Zusammenhang zwischen den beiden
> > > > Funktionen nicht.
> > >
> > > Ich habe den Eindruck, dass Du mit den Schreibweisen nicht
> > > vertraut bist !
> >
> > Ja, da magst du recht haben.
> > >
> > > Es ist (nach Def. !): [mm]\{f
> > > damit
> > >
> > > [mm]\{f
> > >
> > > Weiter ist (ebenfalls nach Def.) [mm](f-g)^{-1}(( - \infty,0))=\{a \in A: f(a)-g(a) \in ( - \infty,0)\}[/mm]
> > > und damit
> > >
> > > [mm](f-g)^{-1}(( - \infty,0))=\{a \in A: f(a)-g(a)<0}[/mm].
> >
> >
> > Ok. Danke für die Erklärung. Und daraus folgt dann, dass
> > [mm]\{f
>
>
> Nein ! Es ist [mm]( - \infty,0) \in B[/mm] und da f-g messbar
> ist, ist [mm](f-g)^{-1}(( - \infty,0)) \in A[/mm], als [mm]\{f
Ok. Ja. Kann ich nachvollziehen.
>
>
> >
> > Mal sehen, ob ich das jetzt richtig verstanden habe: [mm]\{f \ge g\}= \{a\in A : f(a)-g(a) \ge 0 \}[/mm]
>
> >
> > Und es gilt [mm](f-g)^{-1}([0,\infty))=\{a \in A : f(a)-g(a) \in [0,\infty)\}[/mm]
>
> >
> > Und daraus folgt dann [mm](f-g)^{-1}([0,\infty))=\{a\in A : f(a)-g(a) \ge 0 \}[/mm]
>
> >
> > Und dann folgt daraus wieder, dass die Menge in A liegt.
> > >
Sind meine Überlegungen denn hier richtig gewesen?
> > > >
> > > > Würde man dann für die Menge [mm]\{f=g\}[/mm] den Erzeuger [a,b]
> > > > [mm]\cup \{\emptyset\}[/mm] nehmen?
> > > > Und für [mm]\{f \ge g\}[/mm] dann [mm][0,\infty)[/mm]
> > > > > Wir haben [mm](-\infty,0) \in B[/mm] und f-g messbar.
> Somit
> > > ist
> > > > > [mm]\{f
> > > > >
> > > > >
> > > > >
> > > > > > somit auch die
> > > > > > Differenz. Und wenn man die Relation f<g betrachtet, nimmt
> > > > > > man ja sozusagen nur eine Teilmenge, die aber auch wieder
> > > > > > in A liegen muss.
> > > > > >
> > > > > > Zu b):
> > > > > > Für Borel-Messbar muss ich zeigen, dass A
> und
> > B
> > > > > > [mm]Borel-\sigma-Algebren[/mm] sind. B ist nach Vor. eine und wie
> > > > > > man das bei A zeigt, fällt mir keine Idee ein.
> > > > > > Für die Messbarkeit muss ich jeweils eine
> > > > > > Fallunterscheidung machen:
> > > > > > zzg: [mm](f^{+})^{-1}(A)=\{\omega \in \Omega : f^{+}(\omega) \in A\} \in[/mm]
> > > > > > A.
> > > > > > Fall 1: [mm]f(x)\ge[/mm] 0 =>f(x) und das liegt nach
> > Vor.
> > > in
> > > > A
> > > > > > Fall 2: f(x)=0 => 0 liegt auch in A, da es
> > eine
> > > > > > [mm]\sigma-Algebra[/mm] ist.
> > > > > > Soweit richtig so?
> > > > >
> > > > > Nein, gleicher Fehler wie oben !
> > > > >
> > > > > Es ist [mm]f_{+}=\frac{f+|f|}{2}[/mm]. f ist messbar, also ist auch
> > > > > |f| messbar
> > > > Muss man das noch begründen?
> > >
> > > Was ? Dass |f| messbar ist ? Hattet ihr das nicht ?
> > >
> > > Wir setzen für t [mm]\in \IR:[/mm] h(t)=|t|. Dann ist h stetig,
> > > also messbar. Wegen [mm]|f|=h \circ f[/mm] ist dann |f| messbar.
> > >
> > Ok. Danke. Macht jetzt alles viel mehr Sinn
> > >
> > > > >und damit ist [mm]f_{+}=\frac{f+|f|}{2}[/mm] messbar.
> > > > >
> > > > Wäre das bei [mm]f^{-}=\bruch{-f-|f|}{2}?[/mm]
> > >
> > > nein, sondern [mm]f^{-}=\bruch{-f+|f|}{2}[/mm]
> > >
> > >
> > > > >
> > > > > >
> > > > > > Vielen Lieben Dank und liebe Grüße
> > > > > >
> > > > > > TheBozz-mismo
> > > > >
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> > > >
> > > > Lieben Gruß
> > > > TheBozz-mismo
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> > Lieben Gruß
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> > TheBozz-mismo
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Lieben Gruß
TheBozz-mismo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Do 09.11.2017 | | Autor: | matux |
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