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Messbarkeitsbedingung: Ansatz fehlt
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:51 Do 03.05.2018
Autor: Hela123

Aufgabe
Seien [mm](\Omega,A)[/mm] und [mm](\Omega',A')[/mm] Messräume und sei [mm] X:\Omega\rightarrow\Omega'[/mm]. Sei [mm]G'\subseteq2^\Omega[/mm] ein Mengensystem, das die [mm]\sigma[/mm]-Algebra [mm]A'[/mm] erzeugt, d.h. [mm]\sigma(G') = A'[/mm].

Zeige, dass [mm]X (A,A')[/mm]-messbar ist, wenn gilt:
[mm]\forall B' \in G' : X^{-1}[B']\in A[/mm]

Hallo Forum,

hier sind meine Überlegungen zur Aufgabe.

1. Wann ist [mm] X (A,A')[/mm]-messbar bzw wann ist X eine Zufallsvariable?
Das gilt, falls das Urbild [mm]X[/mm] von jedem [mm]B'\in A'[/mm] zu [mm]A[/mm] gehört, also:
[mm]\forall B' \in A': X^{-1}[B']:=\{\omega \in \Omega | X(\omega) \in A'\} \in A[/mm]

Das heißt, wir müssen zeigen, dass wenn es
[mm]\forall B' \in G'[/mm] gilt, dann muss es auch [mm]\forall B' \in \sigma(G') = A'[/mm] gelten.
(Denn wir wissen, dass [mm]\sigma(G') = A'[/mm]).

G' ist aber nur als ein (ich nehme an, beliebiges) Mengensystem definiert, das die [mm]\sigma[/mm]-Algebra erzeugt.

Das waren die Überlegungen. Ein Ansatz finde ich aber nicht.

Kann mir vielleicht jemand einen Schub geben, wie ich anfangen sollte?

Danke im Voraus!
Hela123

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Messbarkeitsbedingung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:31 Do 03.05.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

deine Überlegungen sind soweit richtig, bis auf einen (vermutlichen) Tippfehler:

> 1. Wann ist [mm]X (A,A')[/mm]-messbar bzw wann ist X eine
> Zufallsvariable?
>  Das gilt, falls das Urbild [mm]X[/mm] von jedem [mm]B'\in A'[/mm] zu [mm]A[/mm]
> gehört, also:
>  [mm]\forall B' \in A': X^{-1}[B']:=\{\omega \in \Omega | X(\omega) \in A'\} \in A[/mm]

Das sollte wohl heißen: [mm]\forall B' \in A': X^{-1}[B']:=\{\omega \in \Omega | X(\omega) \in B'\} \in A[/mm]

Nun zur Aufgabe:
Mach dir klar, dass die zu zeigende Aussage gilt, wenn du

[mm] $\sigma\left(X^{-1}(G')\right) [/mm] =  [mm] X^{-1}\left(\sigma(G')\right)$ [/mm]

zeigen könntest.
Man kann also die [mm] $\sigma$- [/mm] und Urbild-Bildung vertauschen.
Das zeigt man wieder, indem man erst [mm] $\subseteq$ [/mm] zeigt und dann [mm] $\supseteq$. [/mm]
Die Richtung [mm] $\subseteq$ [/mm] ist dabei einfacher zu zeigen und kannst du mal selbst versuchen. (Tipps: Zeige erst (oder benutze, wenn in der VL gezeigt), dass [mm] $X^{-1}\left(\sigma(G')\right) [/mm] = [mm] X^{-1}(A')$ [/mm] eine [mm] $\sigma$-Algebra, [/mm] dass [mm] $X^{-1}(G')$ [/mm] eine Teilmenge davon  ist (wobei das eigentlich trivial ist) und benutze dann die Eigenschaften des [mm] $\sigma$-Operators) [/mm]

[mm] $\supseteq$ [/mm] ist für einen Informatiker recht schwer und daher machen wir das, wenn du die Antwort hier durchgearbeitet und [mm] $\subseteq$ [/mm] gezeigt hast :-)

Gruß,
Gono


Bezug
                
Bezug
Messbarkeitsbedingung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:00 Fr 04.05.2018
Autor: Hela123

Hallo Gono,

vielen Dank für Deine wie immer sehr hilfreiche und schnelle Antwort!

> Das sollte wohl heißen: [mm]\forall B' \in A': X^{-1}[B']:=\{\omega \in \Omega | X(\omega) \in B'\} \in A[/mm]

Jawohl, in der Tat ein Tippfehler.

> Nun zur Aufgabe:
>  Mach dir klar, dass die zu zeigende Aussage gilt, wenn du
> [mm]\sigma\left(X^{-1}(G')\right) = X^{-1}\left(\sigma(G')\right)[/mm]
> zeigen könntest.
> Man kann also die [mm]\sigma[/mm]- und Urbild-Bildung vertauschen.

Gut, ich verstehe, wofür wir das brauchen: Genau über diesen Weg kommen wir von [mm]G'[/mm] zu [mm]\sigma (G')[/mm].
Ganz kurz zum Verständnis:
[mm]X[/mm] ist eine Abbilsung, also [mm]X:\Omega \rightarrow \Omega '[/mm]
[mm]X^{-1}[/mm] ist ein Urbild ist aber keine Abbildung [mm]X^{-1}:\Omega' \rightarrow \Omega[/mm] sondern eine Menge, und zwar
[mm]\forall B' \in A': X^{-1}[B']:=\{\omega \in \Omega | X(\omega) \in B'\} \in A[/mm]. Richtig?

Frage: bisher bezog sich [mm]X^{-1}[/mm] auf ein Ereignis, z.B. B'.
Jetzt müssen wir quasi Urbild von Menge betrachten. (Wenn wir [mm]X^{-1}\left(\sigma(G')\right) = X^{-1}(A')[/mm] betrachten).
Dieser Schritt ist für mich noch ein bisschen schwierig. Wie ist in diesem Fall [mm]X^{-1}[/mm] definiert? Oder sind wir hier schon bei Zufallsvariablen angekommen? (Tut mir leid, für ggf sehr dumme Fragen, aber ich komme hier komplett durcheinander).

> Die Richtung [mm]\subseteq[/mm] ist dabei einfacher zu zeigen und
> kannst du mal selbst versuchen. (Tipps: Zeige erst (oder
> benutze, wenn in der VL gezeigt), dass
> [mm]X^{-1}\left(\sigma(G')\right) = X^{-1}(A')[/mm] eine
> [mm]\sigma[/mm]-Algebra ist.

Wurde nicht in der Vorlesung gezeigt.
Ich würde erstmal die Definition von [mm]\sigma[/mm]-Algebra (nennen wir hier D) anwenden.
1) Sichere Ereignis gehört in D
2) Das Gegenereignis (oder Komplement) gehört in D. Also [mm]C \in D \Rightarrow \Omega \setminus C \in D [/mm]
3) D ist unter abzählbarer Vereinigungsbildung abgeschlossen. D.h. [mm]C_1,C_2,... \in D \Rightarrow \bigcup C_i \in D[/mm]

1) Sichere Ereignis gehört in D, also allgemein: [mm]\Omega \in D[/mm].
D.h. in unserem Fall:
D = [mm]X^{-1}\left(\sigma(G')\right) = X^{-1}(A')[/mm]
[mm]\Omega[/mm] bleibt auch bei uns [mm]\Omega[/mm]. Richtig?
Zu zeigen: [mm]\Omega \in X^{-1}\left(\sigma(G')\right) [/mm]

Nach Definition von [mm] X^{-1}[/mm] gehören alle Mengen [mm]\omega \in \Omega[/mm], die in [mm]\Omega '[/mm] angebildet werden zum Urbild. Unter endlich abzählbarer Vereinigung dieser [mm]\omega[/mm]-s bekommen wir [mm]\Omega[/mm] und damit gilt:
[mm]\Omega \in X^{-1}\left(\sigma(G')\right) [/mm].

Macht es (vielleicht) Sinn?

Ich bin etwas verunsichert, deswegen mache an der Stelle noch nicht weiter (denn ggf. produziere ich hier Unfug) und warte auf eine Antwort.

Vielen vielen Dank dafür im Voraus!
Hela123

Bezug
                        
Bezug
Messbarkeitsbedingung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:33 Fr 04.05.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

>  Ganz kurz zum Verständnis:
>  [mm]X[/mm] ist eine Abbilsung, also [mm]X:\Omega \rightarrow \Omega '[/mm]
>  
> [mm]X^{-1}[/mm] ist ein Urbild ist aber keine Abbildung
> [mm]X^{-1}:\Omega' \rightarrow \Omega[/mm] sondern eine Menge, und
> zwar  [mm]\forall B' \in A': X^{-1}[B']:=\{\omega \in \Omega | X(\omega) \in B'\} \in A[/mm].
> Richtig?

1.) Korrekt ist, dass gilt: [mm] $X^{-1}[B']:=\{\omega \in \Omega | X(\omega) \in B'\} [/mm] $
2.) Um das oben noch zu vervollständigen: [mm] $X^{-1}$ [/mm] ist die sogenannte Urbildabbildung, und ja, es ist keine Abbildung  [mm]X^{-1}:\Omega' \rightarrow \Omega[/mm], aber es ist eine Abbildung  [mm]X^{-1}:2^{\Omega'} \rightarrow 2^\Omega[/mm]
Man kann nämlich erstmal jede beliebige Teilmenge von $B' [mm] \subseteq \Omega'$ [/mm] nehmen (also [mm] $B'\in 2^{\Omega'}$)und [/mm] davon das Urbild [mm] $X^{-1}(B')$ [/mm] betrachten. Das ist dann auf jeden Fall erst mal eine Teilmenge von [mm] $\Omega$ [/mm] (also ein Element von [mm] $2^\Omega$). [/mm]

Nehmen wir allerdings für die Untersuchung nicht beliebige [mm] $B'\in 2^{\Omega'}$ [/mm] sondern nur [mm] $B'\in [/mm] A' [mm] \subseteq 2^{\Omega'}$ [/mm] und gilt für die jeweiligen Urbilder [mm] $X^{-1}(B')$ [/mm] dass diese dann sogar Elemente von A sind, also [mm] $X^{-1}(B') \in [/mm] A [mm] \subseteq 2^\Omega$, [/mm] dann nennen wir X $(A,A')$-meßbar oder "Zufallsvariable".

Der Begriff "Zufallsvariable" ist einfach die "stochastische" Bezeichnung für "$(A,A')$-meßbar". Wenn klar ist, welche [mm] $\sigma$-Algebren [/mm] man meint zwischen den Räumen, sagt man meist auch nur kurz "meßbar", statt die [mm] $\sigma$-Algebren [/mm] immer mit anzugeben.

Als (freiwillige) Übung: Betrachte mal einen Würfelwurf, also [mm] $\Omega [/mm] = [mm] \{1,2,3,4,5,6\}$ [/mm] und die Abbildung, die feststellt, ob der Wurf gerade war oder nicht. Als Informatiker sollte es dir leicht fallen, die Wahrheitswerte mit 1 und 0 zu beschreiben, d.h. [mm] $\Omega' [/mm] = [mm] \{0,1\}$ [/mm] und damit

[mm] $X(\omega) [/mm] = [mm] \begin{cases} 1, & \omega \in \{2,4,6\} \\ 0, & \omega\in \{1,3,5\}\end{cases}$ [/mm]

1.) Bestimme [mm] $2^\Omega$ [/mm] und [mm] $2^{\Omega'}$ [/mm]
2.) Sei [mm] $A_1 [/mm] = [mm] \sigma\left(\{1,3,5\}\right) \subseteq 2^\Omega$ [/mm] und [mm] $A_2 [/mm] = [mm] \sigma\left(\{1,2\}\right) \subseteq 2^\Omega$ [/mm] Bestimme die expliziten Darstellungen von [mm] $A_1$ [/mm] und [mm] $A_2$ [/mm] (also durch alle enthaltenen Mengen angeben).

3.) Ist X  [mm] $(A_1,2^{\Omega'})$-meßbar? [/mm] Ist X  [mm] $(A_2,2^{\Omega'})$-meßbar? [/mm]

> (Tut mir leid, für ggf sehr dumme Fragen, aber ich komme hier komplett
> durcheinander).

Das sind keinesfalls dumme Fragen… das ist gerade für Neulinge ein recht kompliziertes Thema… aber eigentlich gar nicht so schwer.
Die Sachen mal anwenden hilft, darum auch die obige Übung.

> Frage: bisher bezog sich [mm]X^{-1}[/mm] auf ein Ereignis, z.B. B'.
> Jetzt müssen wir quasi Urbild von Menge betrachten. (Wenn
> wir [mm]X^{-1}\left(\sigma(G')\right) = X^{-1}(A')[/mm]
> betrachten).
>  Dieser Schritt ist für mich noch ein bisschen schwierig.

Gut aufgepasst! Hier habe ich stillschweigend (versehentlich) die Notation verallgemeinert.
Es ist:
[mm] $X^{-1}(A') [/mm] = [mm] \left\{X^{-1}(B') | B' \in A'\right\}$ [/mm]

D.h. das Urbild eines Mengensystems sind "einfach" alle Urbilder von Mengen, die in dem Mengensystem enthalten sind.


> Ich würde erstmal die Definition von [mm]\sigma[/mm]-Algebra
> (nennen wir hier D) anwenden.

Sehr gut!

>  1) Sichere Ereignis gehört in D
> 2) Das Gegenereignis (oder Komplement) gehört in D. Also [mm]C \in D \Rightarrow \Omega \setminus C \in D[/mm]
>  
> 3) D ist unter abzählbarer Vereinigungsbildung
> abgeschlossen. D.h. [mm]C_1,C_2,... \in D \Rightarrow \bigcup C_i \in D[/mm]

[ok]
  
Das machen wir aber mal, wenn du durch die Übung etwas fitter bist im Urbild-bilden :-)

Gruß,
Gono

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Messbarkeitsbedingung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:04 Sa 05.05.2018
Autor: Hela123

Hallo Gono,

vielen vielen Dank für Deine Antwort!

Die kleine Zusatzaufgabe, die Du mir gegeben hast ist genau das Richtige für mich gewesen, um Verständnis zu bekommen, was hinter den Begriffen und Formeln steckt.

Hier meine Lösung dazu.
  

> Als (freiwillige) Übung: Betrachte mal einen Würfelwurf,
> also [mm]\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}[/mm] und die Abbildung, die
> feststellt, ob der Wurf gerade war oder nicht. Als
> Informatiker sollte es dir leicht fallen, die
> Wahrheitswerte mit 1 und 0 zu beschreiben, d.h. [mm]\Omega' = \{0,1\}[/mm]
> und damit
>  
> [mm]X(\omega) = \begin{cases} 1, & \omega \in \{2,4,6\} \\ 0, & \omega\in \{1,3,5\}\end{cases}[/mm]
>  
> 1.) Bestimme [mm]2^\Omega[/mm] und [mm]2^{\Omega'}[/mm]

[mm]2^\Omega =\{\emptyset,\{1\},\{2\},\{3\},\{4\},\{5\},\{6\},\{1,2\},\{1,3\},...,\{1,3,5\},...,\{2,4,6\},...,\{1,2,3,4,5,6\}\}[/mm]
Ich schreibe nicht alle [mm]2^6[/mm] auf, aber ich glaube, dass ich das Prinzip verstanden habe.

[mm]2^{\Omega'} = \{\emptyset,\{0\},\{1\},\{0,1\}\}[/mm]

>  2.) Sei [mm]A_1 = \sigma\left(\{1,3,5\}\right) \subseteq 2^\Omega[/mm]
> und [mm]A_2 = \sigma\left(\{1,2\}\right) \subseteq 2^\Omega[/mm]
> Bestimme die expliziten Darstellungen von [mm]A_1[/mm] und [mm]A_2[/mm] (also
> durch alle enthaltenen Mengen angeben).

[mm]A_1 = \sigma\left(\{1,3,5\}\right) = \{\emptyset,\{1,3,5\},\{2,4,6\},\{1,2,3,4,5,6\}\}[/mm]

[mm]A_2 = \sigma\left(\{1,2\}\right) = \{\emptyset,\{1,2\},\{3,4,5,6\},\{1,2,3,4,5,6\}\}[/mm]
(Ich hoffe, ich habe nichts vergessen).


> 3.) Ist X  [mm](A_1,2^{\Omega'})[/mm]-meßbar? Ist X  
> [mm](A_2,2^{\Omega'})[/mm]-meßbar?

Hier habe ich wahrscheinlich nicht ganz effizient gearbeitet:
Wir haben [mm]2^{\Omega'} = \{\emptyset,\{0\},\{1\},\{0,1\}\}[/mm], d.h. wir müssen für diese 4 Mengen quasi Urbild suchen und anschließend überprüfen, ob dieses in [mm]A_1[/mm] bzw in [mm]A_2[/mm] liegt. Oder?

Also für [mm]A_1[/mm]:

1. [mm]X^{-1} [{0}] = \{1,3,5\} \in A_1[/mm]
2. [mm]X^{-1} [{1}] = \{2,4,6\} \in A_1[/mm]
3. [mm]X^{-1} [{0,1}] = \{1,2,3,4,5,6\} \in A_1[/mm]
4. [mm]X^{-1} [{0}] = \emptyset \in A_1[/mm]

Da alle Urbilder von Elementen aus [mm]2^{\Omega'}[/mm] in [mm]A_1[/mm] liegen, folgt daraus, dass X  [mm](A_1,2^{\Omega'})[/mm]-meßbar ist.

Für [mm]A_2[/mm]:
1. [mm]X^{-1} [{0}] = \{1,3,5\} \not\in A_2[/mm]
2. [mm]X^{-1} [{1}] = \{2,4,6\} \not\in A_2[/mm]
3. [mm]X^{-1} [{0,1}] = \{1,2,3,4,5,6\} \in A_2[/mm]
4. [mm]X^{-1} [{0}] = \emptyset \in A_2[/mm]

Da nicht alle Urbilder von Elementen aus [mm]2^{\Omega'}[/mm] in [mm]A_1[/mm] liegen, folgt daraus, dass X nicht [mm](A_1,2^{\Omega'})[/mm]-meßbar ist.

Ich habe noch die [mm](2^{\Omega},2^{\Omega'})[/mm]-Messbarkeit überprüft. Und festgestellt (bei gleicher Vorgehensweise wie oben), dass X auch [mm](2^{\Omega},2^{\Omega'})[/mm]-messbar ist.

Ist es richtig?

Ich weiß wohl nicht, wie ich vorgehen soll, wenn man mit einer abstrakteren [mm]\sigma[/mm]-Algebra arbeitet. Also die Frage: Wie geht man dann vor?

Noch mal schönen Dank!
Hela123


Bezug
                                        
Bezug
Messbarkeitsbedingung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:11 So 06.05.2018
Autor: fred97


> Hallo Gono,

Ich bins, der Fred



>  
> vielen vielen Dank für Deine Antwort!
>
> Die kleine Zusatzaufgabe, die Du mir gegeben hast ist genau
> das Richtige für mich gewesen, um Verständnis zu
> bekommen, was hinter den Begriffen und Formeln steckt.
>  
> Hier meine Lösung dazu.
>    
> > Als (freiwillige) Übung: Betrachte mal einen Würfelwurf,
> > also [mm]\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}[/mm] und die Abbildung, die
> > feststellt, ob der Wurf gerade war oder nicht. Als
> > Informatiker sollte es dir leicht fallen, die
> > Wahrheitswerte mit 1 und 0 zu beschreiben, d.h. [mm]\Omega' = \{0,1\}[/mm]
> > und damit
>  >  
> > [mm]X(\omega) = \begin{cases} 1, & \omega \in \{2,4,6\} \\ 0, & \omega\in \{1,3,5\}\end{cases}[/mm]
>  
> >  

> > 1.) Bestimme [mm]2^\Omega[/mm] und [mm]2^{\Omega'}[/mm]
>  [mm]2^\Omega =\{\emptyset,\{1\},\{2\},\{3\},\{4\},\{5\},\{6\},\{1,2\},\{1,3\},...,\{1,3,5\},...,\{2,4,6\},...,\{1,2,3,4,5,6\}\}[/mm]
>  

Stimmt


> Ich schreibe nicht alle [mm]2^6[/mm] auf, aber ich glaube, dass ich
> das Prinzip verstanden habe.
>  
> [mm]2^{\Omega'} = \{\emptyset,\{0\},\{1\},\{0,1\}\}[/mm]

Stimmt

>
> >  2.) Sei [mm]A_1 = \sigma\left(\{1,3,5\}\right) \subseteq 2^\Omega[/mm]

> > und [mm]A_2 = \sigma\left(\{1,2\}\right) \subseteq 2^\Omega[/mm]
> > Bestimme die expliziten Darstellungen von [mm]A_1[/mm] und [mm]A_2[/mm] (also
> > durch alle enthaltenen Mengen angeben).
>  
> [mm]A_1 = \sigma\left(\{1,3,5\}\right) = \{\emptyset,\{1,3,5\},\{2,4,6\},\{1,2,3,4,5,6\}\}[/mm]
>  
> [mm]A_2 = \sigma\left(\{1,2\}\right) = \{\emptyset,\{1,2\},\{3,4,5,6\},\{1,2,3,4,5,6\}\}[/mm]
>  
> (Ich hoffe, ich habe nichts vergessen).



Hast  Du nicht


>  
>
> > 3.) Ist X  [mm](A_1,2^{\Omega'})[/mm]-meßbar? Ist X  
> > [mm](A_2,2^{\Omega'})[/mm]-meßbar?
>  
> Hier habe ich wahrscheinlich nicht ganz effizient
> gearbeitet:
> Wir haben [mm]2^{\Omega'} = \{\emptyset,\{0\},\{1\},\{0,1\}\}[/mm],
> d.h. wir müssen für diese 4 Mengen quasi Urbild suchen
> und anschließend überprüfen, ob dieses in [mm]A_1[/mm] bzw in [mm]A_2[/mm]
> liegt. Oder?
>  
> Also für [mm]A_1[/mm]:
>  
> 1. [mm]X^{-1} [{0}] = \{1,3,5\} \in A_1[/mm]
>  2. [mm]X^{-1} [{1}] = \{2,4,6\} \in A_1[/mm]
>  
> 3. [mm]X^{-1} [{0,1}] = \{1,2,3,4,5,6\} \in A_1[/mm]


Stimmt.  Im Quelltext sehe ich, dass  Du Mengenklammern geschrieben hast. Diese sind  nicht zu  sehen (\ vergessen )..


>  4. [mm]X^{-1} [{0}] = \emptyset \in A_1[/mm]

Hier sollte statt  0 die leere Menge stehen.


>  
> Da alle Urbilder von Elementen aus [mm]2^{\Omega'}[/mm] in [mm]A_1[/mm]
> liegen, folgt daraus, dass X  [mm](A_1,2^{\Omega'})[/mm]-meßbar
> ist.
>  
> Für [mm]A_2[/mm]:
>  1. [mm]X^{-1} [{0}] = \{1,3,5\} \not\in A_2[/mm]
>  2. [mm]X^{-1} [{1}] = \{2,4,6\} \not\in A_2[/mm]
>  
> 3. [mm]X^{-1} [{0,1}] = \{1,2,3,4,5,6\} \in A_2[/mm]
>  4. [mm]X^{-1} [{0}] = \emptyset \in A_2[/mm]


Gleiche Kritik wie bei [mm] A_1 [/mm]


>  
> Da nicht alle Urbilder von Elementen aus [mm]2^{\Omega'}[/mm] in [mm]A_1[/mm]
> liegen, folgt daraus, dass X nicht
> [mm](A_1,2^{\Omega'})[/mm]-meßbar ist.


richtig


>  
> Ich habe noch die [mm](2^{\Omega},2^{\Omega'})[/mm]-Messbarkeit
> überprüft. Und festgestellt (bei gleicher Vorgehensweise
> wie oben), dass X auch [mm](2^{\Omega},2^{\Omega'})[/mm]-messbar
> ist.
>  
> Ist es richtig?

Ja, aber mach dir klar,dass in diesem Fall die Messbarkeit doch trivial ist !


>  
> Ich weiß wohl nicht, wie ich vorgehen soll, wenn man mit
> einer abstrakteren [mm]\sigma[/mm]-Algebra arbeitet. Also die Frage:
> Wie geht man dann vor?

Da kann man in der Allgemeinheit nicht  sagen



>  
> Noch mal schönen Dank!
>  Hela123
>  


Bezug
                                                
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Messbarkeitsbedingung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:20 So 06.05.2018
Autor: Hela123

Hallo Fred,

vielen Dank für Deine Antwort!

> > Also für [mm]A_1[/mm]:
> > 1. [mm]X^{-1} [{0}] = \{1,3,5\} \in A_1[/mm]
> > 2. [mm]X^{-1} [{1}] = \{2,4,6\} \in A_1[/mm] > 3. [mm]X^{-1} [{0,1}] = \{1,2,3,4,5,6\} \in A_1[/mm]
> Stimmt.  Im Quelltext sehe ich, dass  Du Mengenklammern geschrieben hast. Diese sind  nicht zu  sehen (\ vergessen )..

Ou, in der Tat, danke für den Hinweis!

> > 4. [mm]X^{-1} [{0}] = \emptyset \in A_1[/mm] Hier sollte statt  0 die leere Menge stehen.

Das stimmt,war auch gemeint.

> > Ich habe noch die [mm](2^{\Omega},2^{\Omega'})[/mm]-Messbarkeit > überprüft. Und festgestellt (bei gleicher Vorgehensweise wie oben), dass X auch [mm](2^{\Omega},2^{\Omega'})[/mm]-messbar > ist.
> > Ist es richtig?
> Ja, aber mach dir klar,dass in diesem Fall die Messbarkeit doch trivial ist !

Für mich ist es leider erstmal nicht trivial. Ist es im diskreten Fall immer der Fall?

> > Ich weiß wohl nicht, wie ich vorgehen soll, wenn man mit
> > einer abstrakteren [mm]\sigma[/mm]-Algebra arbeitet. Also die Frage:
> > Wie geht man dann vor?
> Da kann man in der Allgemeinheit nicht  sagen

Schade:-)

Aber ich habe trotzdem ein bisschen Gefühl bekommen, wie man mit Urbilder-Bilden umgeht.

Dann zurück zu der eigentlichen Aufgabe.

Der nächste Schritt war es zu zeigen, dass
[mm]\sigma\left(X^{-1}(G')\right) \subseteq X^{-1}\left(\sigma(G')\right)[/mm]

Und dabei muss man zuerst zeigen, dass [mm]X^{-1}\left(\sigma(G')\right) = X^{-1}(A')[/mm] eine [mm]\sigma[/mm]-Algebra ist.

Also noch mal die Definition:
Ich würde erstmal die Definition von [mm]\sigma[/mm]-Algebra (nennen wir hier D) anwenden.
1) Sichere Ereignis gehört in D
2) Das Gegenereignis (oder Komplement) gehört in D. Also [mm]C \in D \Rightarrow \Omega \setminus C \in D [/mm]
3) D ist unter abzählbarer Vereinigungsbildung abgeschlossen. D.h. [mm]C_1,C_2,... \in D \Rightarrow \bigcup C_i \in D[/mm]

Hier noch mal zur Erinnerung die verallgemeinterte Form:
[mm] $X^{-1}(A') [/mm] = [mm] \left\{X^{-1}(B') | B' \in A'\right\}$ [/mm]

Jedes einzelne Urbild war ja eine Menge. D.h. die [mm] $X^{-1}(A')$ [/mm] ist die Mengen aller Urbild-Mengen, oder?

1) Sichere Ereignis gehört in D, also allgemein: [mm]\Omega \in D[/mm].
D.h. in unserem Fall:
D = [mm]X^{-1}\left(\sigma(G')\right) = X^{-1}(A')[/mm]
[mm]\Omega[/mm] bleibt auch bei uns [mm]\Omega[/mm]. Richtig?
Zu zeigen: [mm]\Omega \in X^{-1}\left(\sigma(G')\right) [/mm]

Beobachtung (vielleicht unnötige):
Da [mm]G'\subseteq2^{\Omega'}[/mm] die [mm]\sigma[/mm]-Algebra [mm]A'[/mm] erzeugt, wissen wir, dass gilt:
[mm]\Omega' \subseteq \sigma(G') [/mm]. (Oder?)

Also und ich denke, dass
[mm]X^{-1}[\Omega'] = \Omega[/mm], wobei
[mm]X^{-1}[\Omega'] \subseteq X^{-1}\left(\sigma(G')\right) [/mm], macht es Sinn?

Wenn ja, dann wäre 1) fertig.

2) Das Gegenereignis (oder Komplement) gehört in D. Also
[mm]C\in D \Rightarrow \Omega \setminus C \in D [/mm]

(Hier habe ich noch ein bisschen recherchiert)

Also sei [mm]C \in X^{-1}\left(\sigma(G')\right)[/mm]
Zu zeigen: [mm]\Omega \setminus C \in X^{-1}\left(\sigma(G')\right)[/mm]

Dann muss es ein [mm]C' \in \sigma(G')[/mm] geben mit [mm]X^{-1}[C']=C[/mm]. (Kann man das einfach annehmen?)
Da [mm]\sigma (G')[/mm] eine [mm]\sigma[/mm]-Algebra ist muss [mm]\Omega' \setminus C'[/mm] ebenso in [mm]\sigma (G')[/mm] liegen. Oder?

Für jedes [mm]\omega \in (\Omega \setminus C)[/mm] gilt, dass [mm]X[\omega] \in (\Omega' \setminus C')[/mm] liegt.
(Das verstehe ich noch nicht).
Umgekehrt für jedes [mm]\omega' \in X^{-1}[\Omega' \setminus C'][/mm] gilt, dass [mm]X[\omega'] \in (\Omega' \setminus C')[/mm]
(Verstehe ich leider ebenso nicht).

Damit [mm]\Omega \setminus C \in X^{-1}\left(\sigma(G')\right)[/mm]

3)D ist unter abzählbarer Vereinigungsbildung abgeschlossen. D.h. [mm]C_1,C_2,... \in D \Rightarrow \bigcup C_i \in D[/mm]

Hier wahrscheinlich ähnliche Vorgehensweise wie oben:
Seien [mm]C_1,C_2,... \in X^{-1}\left(\sigma(G')\right)[/mm]
Zu zeigen: [mm] \bigcup C_i \in X^{-1}\left(\sigma(G')\right)[/mm]

Im Beispiel mit Würfeln für [mm]A_1[/mm] haben wir gesehen, dass das stimmt, wie kann man man das allgemein zeigen?

Danke im Voraus!
Hela123



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Messbarkeitsbedingung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:35 Mo 07.05.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

>  > Ja, aber mach dir klar,dass in diesem Fall die

> Messbarkeit doch trivial ist !
>  Für mich ist es leider erstmal nicht trivial. Ist es im
> diskreten Fall immer der Fall?

Nicht nur im diskreten Fall, sondern immer.
Warum fragst du nun?

Nun: [mm] $2^\Omega$ [/mm] bezeichnet die Potenzmenge, und die Potenzmenge ist die Menge aller Teilmengen von [mm] $\Omega$. [/mm]

Für die Meßbarkeit betrachten wir ja die Mengen

[mm] $X^{-1}(B') [/mm] = [mm] \{\omega \in \Omega | X(\omega) \in B'\}$ [/mm]

Und wenn wir das mal anschauen, beginnt das ja mit [mm] $\{\omega \in \Omega | \ldots \}$ [/mm] und ist damit auf jeden Fall eine Teilmenge von [mm] $\Omega$! [/mm]

Nach der Definition der Potenzmenge, gilt damit also immer

[mm] $X^{-1}(B') \in 2^\Omega$ [/mm] egal welches $B'$ wir wählen.

D.h. für jede [mm] $\sigma$-Algebra $\mathcal{A}'$ [/mm] gilt damit immer: $B' [mm] \in \mathcal{A}' \;\Rightarrow\; X^{-1}(B') \in 2^\Omega$ [/mm] und damit ist die Funktion auf jeden Fall meßbar bzgl. [mm] $2^\Omega$. [/mm]

D.h. bezüglich [mm] $2^\Omega$ [/mm] ist jede Funktion meßbar

> > > Ich weiß wohl nicht, wie ich vorgehen soll, wenn man mit
> > > einer abstrakteren [mm]\sigma[/mm]-Algebra arbeitet. Also die Frage:
> > > Wie geht man dann vor?
>  > Da kann man in der Allgemeinheit nicht  sagen

> Schade:-)

Fred hat natürlich recht, aber leider etwas unterschlagen, denn genau darum geht deine Aufgabe!
Die Aussage der Aufgabe ist: Man muss gar nicht alle Mengen einer [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] prüfen, sondern nur deren Erzeuger!

Da hast du mit einer Aussage

> Hier habe ich wahrscheinlich nicht ganz effizient gearbeitet:

also recht gehabt. Denn anstatt alle Mengen von $ [mm] 2^{\Omega'} [/mm] = [mm] \{\emptyset,\{0\},\{1\},\{0,1\}\} [/mm] $ zu prüfen, hättest du dir einen Erzeuger wählen können!
Mach dir kurz klar, dass man für [mm] $2^{\Omega'}$ [/mm] sowohl [mm] $\{0\}$ [/mm] als auch [mm] $\{1\}$ [/mm] als Erzeuger wählen kann, d.h. es gilt:

$ [mm] 2^{\Omega'} [/mm] = [mm] \{\emptyset,\{0\},\{1\},\{0,1\}\} [/mm] = [mm] \sigma(\{0\}) [/mm] = [mm] \sigma(\{1\})$ [/mm]

Welchen du wählst, wäre egal, d.h. die Aussage des Satzes, den wir eigentlich beweisen wollen ist nun:

$X$ ist [mm] $(A_1,2^{\Omega'}) [/mm] $-meßbar, genau dann, wenn [mm] $X^{-1}(\{0\}) \in A_1$ [/mm] gilt.

D.h. anstatt 4 Mengen haben wir nun nur noch eine zu prüfen!

Analog auch für [mm] $A_2$, [/mm] wo eben rauskommt [mm] $X^{-1}(\{0\}) \not\in A_1$ [/mm] und damit ist X nicht [mm] $(A_2,2^{\Omega'})$-meßbar [/mm]


Also halten wir fest: Statt der gesamten [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] reicht es deren Erzeuger zu prüfen.
Wieso fred trotzdem meint, es gibt keine allgemeine Regel: Es gibt auch [mm] $\sigma$-Algebren, [/mm] die außer den trivialen Erzeuger sich selbst, keinen weiteren haben. Da nützt der Satz dann natürlich nix.

> Aber ich habe trotzdem ein bisschen Gefühl bekommen, wie
> man mit Urbilder-Bilden umgeht.
>  
> Dann zurück zu der eigentlichen Aufgabe.
>  
> Der nächste Schritt war es zu zeigen, dass
>  [mm]\sigma\left(X^{-1}(G')\right) \subseteq X^{-1}\left(\sigma(G')\right)[/mm]
>  
> Und dabei muss man zuerst zeigen, dass
> [mm]X^{-1}\left(\sigma(G')\right) = X^{-1}(A')[/mm] eine
> [mm]\sigma[/mm]-Algebra ist.
>  
> Also noch mal die Definition:
>  Ich würde erstmal die Definition von [mm]\sigma[/mm]-Algebra
> (nennen wir hier D) anwenden.
>  1) Sichere Ereignis gehört in D
>  2) Das Gegenereignis (oder Komplement) gehört in D. Also
> [mm]C \in D \Rightarrow \Omega \setminus C \in D[/mm]
>  3) D ist unter
> abzählbarer Vereinigungsbildung abgeschlossen. D.h.
> [mm]C_1,C_2,... \in D \Rightarrow \bigcup C_i \in D[/mm]
>  
> Hier noch mal zur Erinnerung die verallgemeinterte Form:
>  [mm]X^{-1}(A') = \left\{X^{-1}(B') | B' \in A'\right\}[/mm]
>
> Jedes einzelne Urbild war ja eine Menge. D.h. die
> [mm]X^{-1}(A')[/mm] ist die Mengen aller Urbild-Mengen, oder?
>  
> 1) Sichere Ereignis gehört in D, also allgemein: [mm]\Omega \in D[/mm].
>  
> D.h. in unserem Fall:
>  D = [mm]X^{-1}\left(\sigma(G')\right) = X^{-1}(A')[/mm]

Bist hier hin alles ok.

>  [mm]\Omega[/mm]
> bleibt auch bei uns [mm]\Omega[/mm]. Richtig?

Ja.

>  Zu zeigen: [mm]\Omega \in X^{-1}\left(\sigma(G')\right)[/mm]
>  
> Beobachtung (vielleicht unnötige):
>  Da [mm]G'\subseteq2^{\Omega'}[/mm] die [mm]\sigma[/mm]-Algebra [mm]A'[/mm] erzeugt,
> wissen wir, dass gilt:
>  [mm]\Omega' \subseteq \sigma(G') [/mm]. (Oder?)

Notation beachten:
[mm]\Omega' \in \sigma(G') [/mm]

> Also und ich denke, dass
> [mm]X^{-1}[\Omega'] = \Omega[/mm], wobei
>  [mm]X^{-1}[\Omega'] \subseteq X^{-1}\left(\sigma(G')\right) [/mm],
> macht es Sinn?

Sinn macht es, aber auch hier falsche Notation:
[mm]X^{-1}[\Omega'] \in X^{-1}\left(\sigma(G')\right) [/mm]

> Wenn ja, dann wäre 1) fertig.

Korrekt.

> 2) Das Gegenereignis (oder Komplement) gehört in D. Also
> [mm]C\in D \Rightarrow \Omega \setminus C \in D[/mm]
>  
> (Hier habe ich noch ein bisschen recherchiert)
>  
> Also sei [mm]C \in X^{-1}\left(\sigma(G')\right)[/mm]
>  Zu zeigen:
> [mm]\Omega \setminus C \in X^{-1}\left(\sigma(G')\right)[/mm]
>  
> Dann muss es ein [mm]C' \in \sigma(G')[/mm] geben mit [mm]X^{-1}[C']=C[/mm].

[ok]

> (Kann man das einfach annehmen?)

Naja… die [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] enthält ja gerade alle Elemente, die Urbild einer Menge sind. D.h. wenn wir uns ein Element aus der Sigma-Algebra nehmen, dann muss es auch eine dazugehörige Menge im Bildraum geben, die als Urbild die gewählte Menge hat… rein nach der Definition.

>  Da [mm]\sigma (G')[/mm] eine [mm]\sigma[/mm]-Algebra ist muss [mm]\Omega' \setminus C'[/mm]
> ebenso in [mm]\sigma (G')[/mm] liegen. Oder?

[ok]
Und gewöhn dir an: Mathematik ist eindeutig. Entweder ein Satz gilt, oder eben nicht… ein "Oder?" ist da unangebracht ;-)

>  
> Für jedes [mm]\omega \in (\Omega \setminus C)[/mm] gilt, dass
> [mm]X[\omega] \in (\Omega' \setminus C')[/mm] liegt.
>  (Das verstehe ich noch nicht).
>  Umgekehrt für jedes [mm]\omega' \in X^{-1}[\Omega' \setminus C'][/mm]
> gilt, dass [mm]X[\omega'] \in (\Omega' \setminus C')[/mm]
>  (Verstehe
> ich leider ebenso nicht).

Hier geht es wieder um das Verständnis von "Urbild" und die Definition davon.

Wir haben doch: $C = [mm] X^{-1}(C') [/mm] = [mm] \{\omega \in \Omega| X(\omega) \in C'\}$ [/mm]
Das Urbild sind also alle [mm] $\omega \in \Omega$ [/mm] deren Bild [mm] $X(\omega)$ [/mm] in $C'$ liegen. Die "Krux" von hier liegt in dem Wort "alle!".

D.h. im Umkehrschluss bedeutet das, dass alle [mm] $\omega\in\Omega$ [/mm] deren Bild [mm] $X(\omega)$ [/mm] nicht in $C'$ liegt, liegen nicht in C.

Und wenn wir die "nicht" nun als Komplement umschreiben, steht da nichts anderes als:

"D.h. im Umkehrschluss bedeutet das, dass alle [mm] $\omega\in\Omega$ [/mm] deren Bild [mm] $X(\omega)$ [/mm] in [mm] $\Omega'\setminus [/mm] C'$ liegt, liegen in [mm] $\Omega\setminus [/mm] C$."

Letztendlich bedeutet das: Es ist egal, wo man die Komplementbildung durchführt: Im Bildraum oder im Urbildraum.
Die Urbild-Operation und die Komplementbildung sind also vertauschbar.


> Damit [mm]\Omega \setminus C \in X^{-1}\left(\sigma(G')\right)[/mm]
>  
> 3)D ist unter abzählbarer Vereinigungsbildung
> abgeschlossen. D.h. [mm]C_1,C_2,... \in D \Rightarrow \bigcup C_i \in D[/mm]
>  
> Hier wahrscheinlich ähnliche Vorgehensweise wie oben:
>  Seien [mm]C_1,C_2,... \in X^{-1}\left(\sigma(G')\right)[/mm]
>  Zu
> zeigen: [mm]\bigcup C_i \in X^{-1}\left(\sigma(G')\right)[/mm]
>  
> Im Beispiel mit Würfeln für [mm]A_1[/mm] haben wir gesehen, dass
> das stimmt, wie kann man man das allgemein zeigen?

Ebenso wie bei der Komplementbildung: Zeige also, dass Urbild-Bildung und Vereinigung vertauschbar sind.
Es ist also egal, ob du das Urbild einer Vereinigung betrachtest, oder die Urbilder zweier Mengen vereinigst, da kommt jeweils dasselbe raus.

In Formeln:  [mm] $X^{-1}(B_1 \cup B_2) [/mm] = [mm] X^{-1}(B_1) \cup X^{-1}(B_2)$ [/mm]

Und dann wieder wie oben:

[mm] $C_1,C_2,\ldots [/mm] $ sind gegeben, dazu müssen dann [mm] $C_1',C_2',\ldots [/mm] existieren, deren Urbild die gegebenen Mengen sind… dann ist [mm] $\bigcup C_i [/mm] = [mm] \bigcup X^{-1}(C_i) [/mm] = [mm] X^{-1}\left(\bigcup C_i'\right)$ [/mm] und [mm] $\bigcup C_i' \in [/mm] A'$, weil [mm] $\ldots$, [/mm] darum [mm] $\ldots$ [/mm]

Gruß,
Gono

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Messbarkeitsbedingung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:15 Mi 09.05.2018
Autor: Hela123

Hallo Gono,

vielen Dank für Deine Antwort! Die ist wie immer sehr ausführlich und sehr sehr hilfreich!

> >  Für mich ist es leider erstmal nicht trivial. Ist es im diskreten Fall immer der Fall?

> Nicht nur im diskreten Fall, sondern immer.
> Warum fragst du nun?
>  
> Nun: [mm]2^\Omega[/mm] bezeichnet die Potenzmenge, und die Potenzmenge ist die Menge aller Teilmengen von
> [mm]\Omega[/mm].
>  
> Für die Meßbarkeit betrachten wir ja die Mengen
>  
> [mm]X^{-1}(B') = \{\omega \in \Omega | X(\omega) \in B'\}[/mm]
>  
> Und wenn wir das mal anschauen, beginnt das ja mit
> [mm]\{\omega \in \Omega | \ldots \}[/mm] und ist damit auf
> jeden Fall eine Teilmenge von [mm]\Omega[/mm]!

Alles klar, jetzt verstehe ich es!


> Nach der Definition der Potenzmenge, gilt damit also immer
> [mm]X^{-1}(B') \in 2^\Omega[/mm] egal welches [mm]B'[/mm]
> wir wählen.
>  
> D.h. für jede [mm]\sigma[/mm]-Algebra
> [mm]\mathcal{A}'[/mm] gilt damit immer: [mm]B' \in > \mathcal{A}' \;\Rightarrow\; X^{-1}(B') \in 2^\Omega[/mm]
> und damit ist die Funktion auf jeden Fall meßbar bzgl.
> [mm]2^\Omega[/mm].
>  
> D.h. bezüglich [mm]2^\Omega[/mm] ist jede Funktion
> meßbar

Auch das klar, danke!


> > > > Ich weiß wohl nicht, wie ich vorgehen soll, wenn man mit
> > > einer abstrakteren [mm]\sigma[/mm]-Algebra arbeitet. Also die Frage:
> > > Wie geht man dann vor?
> > > Da kann man in der Allgemeinheit nicht  sagen
> > Schade:-)
>  
> Fred hat natürlich recht, aber leider etwas
> unterschlagen, denn genau darum geht deine Aufgabe!
>  Die Aussage der Aufgabe ist: Man muss gar nicht alle
> Mengen einer [mm]\sigma[/mm]-Algebra prüfen, sondern nur
> deren Erzeuger!

Ja, stimmt.

> Da hast du mit einer Aussage
> > Hier habe ich wahrscheinlich nicht ganz effizient
> gearbeitet: also recht gehabt. Denn anstatt alle Mengen
> von [mm]2^{\Omega'} = \{\emptyset,\{0\},\{1\},\{0,1\}\}[/mm] zu prüfen, hättest du dir einen Erzeuger wählen können!
>  Mach dir kurz klar, dass man für [mm]2^{\Omega'}[/mm] sowohl [mm]\{0\}[/mm] als auch [mm]\{1\}[/mm] als Erzeuger
> wählen kann, d.h. es gilt:
>  
> [mm]2^{\Omega'} = \{\emptyset,\{0\},\{1\},\{0,1\}\} = \sigma(\{0\}) = \sigma(\{1\})[/mm]
>  
> Welchen du wählst, wäre egal, d.h. die Aussage des Satzes, den wir eigentlich beweisen wollen ist nun:
>  
> [mm]X[/mm] ist [mm](A_1,2^{\Omega'}) [/mm]-meßbar, genau dann, wenn [mm]X^{-1}(\{0\}) \in A_1[/mm] gilt.
>  
> D.h. anstatt 4 Mengen haben wir nun nur noch eine zu prüfen!

Aha! Dann ist die Aussage an sich ganz schön sinnvoll!

> > Beobachtung (vielleicht unnötige):
>  >  Da [mm]G'\subseteq2^{\Omega'}[/mm] die
> [mm]\sigma[/mm]-Algebra [mm]A'[/mm] erzeugt, > wissen wir,
> dass gilt:
>  >  [mm]\Omega' \subseteq \sigma(G') [/mm]. (Oder?)
>  Notation beachten:
>  [mm]\Omega' \in \sigma(G')[/mm]

Immer diese Nonation:-)
Aber klar!

> > 2) Das Gegenereignis (oder Komplement) gehört in D.
> Also [mm]C\in D \Rightarrow \Omega \setminus C \in D[/mm]
>  >  > (Hier habe ich noch ein bisschen recherchiert)

>  >  > Also sei [mm]C \in X^{-1}\left(\sigma(G')\right)[/mm]

>  >  Zu zeigen: > [mm]\Omega \setminus C \in X^{-1}\left(\sigma(G')\right)[/mm]

>  >  > Dann muss es ein [mm]C' \in \sigma(G')[/mm] geben mit [mm]X^{-1}[C']=C[/mm]. [ok]

>  
> > (Kann man das einfach annehmen?)
>  Naja… die [mm]\sigma[/mm]-Algebra enthält ja gerade alle Elemente, die Urbild einer Menge sind. D.h. wenn wir uns
> ein Element aus der Sigma-Algebra nehmen, dann muss es
> auch eine dazugehörige Menge im Bildraum geben, die als
> Urbild die gewählte Menge hat… rein nach der Definition.

Ok, verstanden.

>

> >  Da [mm]\sigma (G')[/mm] eine [mm]\sigma[/mm]-Algebra

> ist muss [mm]\Omega' \setminus C'[/mm] > ebenso in
> [mm]\sigma (G')[/mm] liegen. Oder?
>  [ok]
>  Und gewöhn dir an: Mathematik ist eindeutig. Entweder
> ein Satz gilt, oder eben nicht… ein "Oder?" ist da  unangebracht ;-)

"Oder?" bezieht sich bei mir auch nicht auf die Eindeutigkeit der Mathematik (Um Gottes willen!), sondern auf meine eigene (unqualifizierten) Überlegungen :-)
>

> > Für jedes [mm]\omega \in (\Omega \setminus C)[/mm] gilt, dass [mm]X[\omega] \in (\Omega' \setminus C')[/mm] liegt.
>  >  (Das verstehe ich noch nicht).
>  >  Umgekehrt für jedes [mm]\omega' \in X^{-1}[\Omega' \setminus C'][/mm] > gilt, dass [mm]X[\omega'] \in (\Omega' \setminus C')[/mm]

>  >  (Verstehe > ich leider ebenso nicht).

>  Hier geht es wieder um das Verständnis von "Urbild" und
> die Definition davon.
>  
> Wir haben doch: [mm]C = X^{-1}(C') = \{\omega \in \Omega| X(\omega) \in C'\}[/mm]
>  
> Das Urbild sind also alle [mm]\omega \in \Omega[/mm] deren Bild [mm]X(\omega)[/mm] in [mm]C'[/mm]
> liegen. Die "Krux" von hier liegt in dem Wort "alle!".
>  
> D.h. im Umkehrschluss bedeutet das, dass alle
> [mm]\omega\in\Omega[/mm] deren Bild [mm]X(\omega)[/mm]
> nicht in [mm]C'[/mm] liegt, liegen nicht in C.
>  
> Und wenn wir die "nicht" nun als Komplement umschreiben, steht da nichts anderes als:
>  
> "D.h. im Umkehrschluss bedeutet das, dass alle [mm]\omega\in\Omega[/mm] deren Bild [mm]X(\omega)[/mm] in
> [mm]\Omega'\setminus C'[/mm] liegt, liegen in
> [mm]\Omega\setminus C[/mm]."
>  
> Letztendlich bedeutet das: Es ist egal, wo man die
> Komplementbildung durchführt: Im Bildraum oder im
> Urbildraum.
>  Die Urbild-Operation und die Komplementbildung sind also
> vertauschbar.

Das habe ich jetzt auch verstanden. Eigentlich, wenn sich alles im Kopf sortiert hat, ist es alles sehr logisch.

> > Damit [mm]\Omega \setminus C \in X^{-1}\left(\sigma(G')\right)[/mm]
> >  

> > 3)D ist unter abzählbarer Vereinigungsbildung abgeschlossen. D.h. [mm]C_1,C_2,... \in D \Rightarrow \bigcup C_i \in D[/mm]
>  
> >  

> > Hier wahrscheinlich ähnliche Vorgehensweise wie oben:
>  >  Seien [mm]C_1,C_2,... \in X^{-1}\left(\sigma(G')\right)[/mm]
>  >  Zu
> > zeigen: [mm]\bigcup C_i \in > X^{-1}\left(\sigma(G')\right)[/mm]
>  >  > Im Beispiel mit Würfeln für [mm]A_1[/mm] haben wir

> gesehen, dass > das stimmt, wie kann man man das allgemein
> zeigen?
>  
> Ebenso wie bei der Komplementbildung: Zeige also, dass
> Urbild-Bildung und Vereinigung vertauschbar sind.
>  Es ist also egal, ob du das Urbild einer Vereinigung
> betrachtest, oder die Urbilder zweier Mengen vereinigst,
> da kommt jeweils dasselbe raus.
>  
> In Formeln:  [mm]X^{-1}(B_1 \cup B_2) = X^{-1}(B_1) \cup X^{-1}(B_2)[/mm]
>  
> Und dann wieder wie oben:
>  
> [mm]$C_1,C_2,\ldots[/mm] $ sind gegeben, dazu müssen dann
> [mm]$C_1',C_2',\ldots[/mm] existieren, deren Urbild die
> gegebenen Mengen sind… dann ist [mm]$\bigcup C_i[/mm] =
> [mm]\bigcup X^{-1}(C_i)[/mm] = [mm]X^{-1}\left(\bigcup > C_i'\right)$[/mm] und [mm]$\bigcup C_i' \in[/mm] A'$, weil
> [mm]$\ldots$,[/mm] darum [mm]$\ldots$[/mm]
>  

Ok. Also:
Seien [mm]C_1,C_2,... \in X^{-1}\left(\sigma(G')\right)[/mm]
Für jedes [mm]C_i[/mm] muss es ein [mm]C_i' \in \sigma(G')[/mm] geben mit [mm]X^{-1}[C_i']=C_i[/mm].
Da [mm]\sigma(G')[/mm] eine [mm]\sigma[/mm]-Algebra ist, gilt:
[mm]\bigcup C_i' \in \sigma(G')[/mm].
Weterhin gilt:
[mm]X^{-1}(\bigcup C_i') = \bigcup (X^{-1}(C_i')) = \bigcup C_i[/mm].
Damit [mm]\bigcup C_i \in X^{-1}(\sigma(G'))[/mm].

Und damit ist auch bewiesen, dass [mm]X^{-1}(\sigma(G'))[/mm] eine [mm]\sigma[/mm]-Algebra ist.
Richtig?

Als nächstes muss gezeigt werden, dass [mm]X^{-1}(G') \subset X^{-1}(\sigma(G'))[/mm].
[mm]X^{-1}(G') = \{ X^{-1}(C') | C' \in G'\}[/mm]. D.h. wir haben Menge der Urbilder aller Elemente von G'.
[mm]X^{-1}(\sigma(G')) = \{ X^{-1}(C') | C' \in \sigma(G')\}[/mm]. D.h. wir haben Menge der Urbilder aller Elemente von [mm]\sigma (G')[/mm].
Da [mm]G' \subset \sigma(G')[/mm] ist, muss auch gelten [mm]X^{-1}(G') \subset X^{-1}(\sigma(G'))[/mm].

Wenn wir mit dem Mengensystem [mm]X^{-1}(G')[/mm] eine [mm]\sigma[/mm]-Algebra erzeugen, bekommen wir genau [mm]X^{-1}\sigma(G')[/mm].

Noch mal schönen Dank
Hela123


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Bezug
Messbarkeitsbedingung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:44 Sa 12.05.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

>  >  >  [mm]\Omega' \subseteq \sigma(G') [/mm]. (Oder?)
>  >  Notation beachten:
>  >  [mm]\Omega' \in \sigma(G')[/mm]
>  Immer diese Nonation:-)
>  Aber klar!

Das war freundlich für: Da steht Mist.
Eine Teilmenge ist etwas anderes als ein Element… ich hoffe das ist dir klar.

> Damit [mm]\bigcup C_i \in X^{-1}(\sigma(G'))[/mm].
>
> Und damit ist auch bewiesen, dass [mm]X^{-1}(\sigma(G'))[/mm] eine
> [mm]\sigma[/mm]-Algebra ist.
>  Richtig?

[ok]
Noch ein (wirklicher) Notationshinweis.
Ich habe jetzt kurz statt [mm] $\bigcup_{i\in\IN}$ [/mm] immer nur [mm] $\bigcup$ [/mm] geschrieben.
Im (sauberen) Beweis solltest du aber immer [mm] $\bigcup_{i\in\IN}$ [/mm] oder [mm] $\bigcup_{i=1}^\infty$ [/mm] schreiben, damit klar ist, dass die Vereinigung abzählbar ist.
Kleine Verständnisfrage: Warum reicht es für eine abzählbare Anzahl von [mm] $C_i$ [/mm] zu zeigen, dass [mm] $\bigcup C_i$ [/mm] in der [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] liegt, um das auch für endlich viele sicherzustellen?

> Als nächstes muss gezeigt werden, dass [mm]X^{-1}(G') \subset X^{-1}(\sigma(G'))[/mm].
>  
> [mm]X^{-1}(G') = \{ X^{-1}(C') | C' \in G'\}[/mm]. D.h. wir haben
> Menge der Urbilder aller Elemente von G'.
>  [mm]X^{-1}(\sigma(G')) = \{ X^{-1}(C') | C' \in \sigma(G')\}[/mm].
> D.h. wir haben Menge der Urbilder aller Elemente von [mm]\sigma (G')[/mm].
>  
> Da [mm]G' \subset \sigma(G')[/mm] ist, muss auch gelten [mm]X^{-1}(G') \subset X^{-1}(\sigma(G'))[/mm].

[ok]

> Wenn wir mit dem Mengensystem [mm]X^{-1}(G')[/mm] eine
> [mm]\sigma[/mm]-Algebra erzeugen, bekommen wir genau
> [mm]X^{-1}\sigma(G')[/mm].

[notok]

Der [mm] $\sigma$-Operator [/mm] ist monoton, d.h. er erhält Mengenbeziehungen. d.h. aus [mm]X^{-1}(G') \subset X^{-1}(\sigma(G'))[/mm] folgt erst mal nur: [mm]\sigma\left(X^{-1}(G')\right) \subset \sigma\left(X^{-1}(\sigma(G'))\right) = X^{-1}(\sigma(G')) [/mm]  

In der Tat müssen wir [mm] $\supseteq$ [/mm] für Gleichheit noch zeigen…
Das ist auch nochmal ein bisschen Arbeit (aber mit den gleichen Argumenten).

Dafür betrachten wir die Menge:

$Z' = [mm] \left\{C' \subseteq \Omega' | X^{-1}(C') \in \sigma\left(X^{-1}(G')\right)\right\}$ [/mm]

Anschaulich liegen in Z' all die Teilmengen von [mm] $\Omega'$, [/mm] deren Urbilder in der (kleineren) [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] liegen.

Zeige nun wie vorher:

1.) Z' ist eine [mm] $\sigma$-Algebra [/mm]
2.) $G' [mm] \subseteq [/mm] Z'$
3.) [mm] $X^{-1}(Z) \subseteq \sigma\left(X^{-1}(G')\right)$ [/mm]

Folgere nun aus den drei obigen Punkten: [mm] $X^{-1}(\sigma(G')) \subseteq X^{-1}(Z') \subseteq \sigma\left(X^{-1}(G')\right)$ [/mm]

Damit gilt dann insbesondere: [mm] $X^{-1}(\sigma(G')) \subseteq \sigma\left(X^{-1}(G')\right)$ [/mm]

Und dann sind wir fertig.

Gruß,
Gono


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