Metazyklische Gruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:00 Mo 29.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Eine Gruppe heißt metazyklisch , wenn G einen zyklischen Normalteiler N mit zyklischer Faktorgruppe G/N besitzt.
(a) Zeigen Sie, dass jede Untergruppe einer metazyklischen Gruppe metazyklisch ist.
(b) Geben Sie ein Beispiel für eine metazyklische Gruppe an, die nicht zyklisch ist. |
Hallo, ich benötige ein wenig Hilfe!
Zu (a):
Sei also G Gruppe und N zyklischer Normalteiler von G.
Sei H Untergruppe von G.
Jetzt muss man zeigen, dass N auch Normalteiler von H ist und dass H/N Untergruppe von G/N ist, denn dann ist H metazyklisch.
Da N Normalteiler von G ist, gilt für [mm] g\in [/mm] G
[mm] gNg^{-1}=N [/mm] und da N zyklisch ist, ist [mm] gNg^{-1}=x^k [/mm] für ein k [mm] \in \IN, [/mm] wobei N von x erzeugt wird.
Und nun?
Muss ich jetzt [mm] hNh^{-1}, h\in [/mm] H betrachten?
[mm] hNh^{-1}=hgNg^{-1}h^{-1}=hx^kh^{-1}
[/mm]
Aber was erkenne ich hier jetzt?
Und um zu zeigen, dass H/N Untergruppe von G/N ist: Muss ich da nur die Untergruppenkriterien abarbeiten?
LG
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:53 Mo 29.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Eine Gruppe heißt metazyklisch , wenn G einen zyklischen
> Normalteiler N mit zyklischer Faktorgruppe G/N besitzt.
>
> (a) Zeigen Sie, dass jede Untergruppe einer metazyklischen
> Gruppe metazyklisch ist.
>
> (b) Geben Sie ein Beispiel für eine metazyklische Gruppe
> an, die nicht zyklisch ist.
> Hallo, ich benötige ein wenig Hilfe!
>
> Zu (a):
>
> Sei also G Gruppe und N zyklischer Normalteiler von G.
... mit $G/N$ zyklisch.
> Sei H Untergruppe von G.
>
> Jetzt muss man zeigen, dass N auch Normalteiler von H ist
Das ist schonmal falsch und stimmt i.A. gar nicht!
Zeige:
* $N [mm] \cap [/mm] H$ ist Normalteiler in $H$;
* $H / (N [mm] \cap [/mm] H)$ ist isomorph zu einer Untergruppe von $G / N$ (naemlich $(H + N) / N$).
Das bekommst du recht schnell mit einem passenden Isomorphiesatz hin. Ansonsten kannst du es etwa mit dem Homomorphiesatz zeigen, falls ihr die Isomorphiesaetze nicht hattet.
Zum Schluss musst du noch zeigen:
* $N [mm] \cap [/mm] H$ und $(H + N) / N$ sind zyklisch.
Aber du weisst ja: Untergruppen zyklischer Gruppen sind ... (vervollstaendige selber!)
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:08 Mo 29.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Ich danke für diese Anleitung!
Kannst Du mir noch erklären, wie Du darauf gekommen bist, also auf die Idee, welche Dinge man zeigen muss? |
Das wäre nett! 
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:23 Mo 29.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ich danke für diese Anleitung!
>
> Kannst Du mir noch erklären, wie Du darauf gekommen bist,
> also auf die Idee, welche Dinge man zeigen muss?
Du hast gegeben:
* Gruppe $G$,
* Normalteiler $N$,
* Eigenschaft: sowohl $N$ wie auch $G/N$ sind zyklisch.
Weiterhin hast du:
* Untergruppe $H$
Du suchst:
* Normalteiler $N'$ in $H$,
* Eigenschaft: $N'$ zyklisch, und $H / N'$ zyklisch.
Erstmal: wie willst du einen Normalteiler $N'$ finden in $H$? Du weisst ja nichts ueber $H$.
Da du einen aus $G$ kennst, erste Idee: $N' := H [mm] \cap [/mm] N$. Das ist eine Untergruppe von $H$, und wie man leicht nachprueft auch ein Normalteiler in $H$.
Weiterhin: Untergruppen zyklischer Gruppen sind zyklisch. Da $N$ zyklisch ist, ist somit auch $N'$ zyklisch, da $H [mm] \cap [/mm] N$ eine Untergruppe von $N$ ist.
Schliesslich fehlt noch, dass $H / N'$ zyklisch ist. Dazu muss man wohl benutzen, dass $G / N$ zyklisch ist. Also wie setzt man beides in Beziehung? Wenn man den passenden Isomorphiesatz kennt, sieht man sofort: $H / N'$ ist isomorph zu einer Untergruppe von $G / N$ und somit wieder zyklisch.
Ich hoffe das hilft ein wenig
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:26 Mo 29.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
Das ist klasse erklärt!
SO verstehe ich Mathematik!
Ich danke Dir ganz, ganz doll!!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:47 Mo 29.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Achso: Eine kleine Frage habe ich da doch noch:
Ist das der erste Isomorphiesatz, den Du angesprochen hast?
Also NH/N [mm] \cong [/mm] H/N'? |
Liege ich richtig?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:03 Di 30.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Achso: Eine kleine Frage habe ich da doch noch:
>
> Ist das der erste Isomorphiesatz, den Du angesprochen
> hast?
Laut der ![[]](/images/popup.gif) Nummerierung auf Wikipedia ja.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:03 Mo 29.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | | Ist die Kleinsche Vierergruppe ein Beispiel für eine metazyklische Gruppe, die nicht zyklisch ist? |
Denn das ist mir als erstes eingefallen.
Vielleicht stimmt es ja.
Bevor ichs ausrechne, kann mir ja vielleicht jemand ein JA oder nein NEIN geben. :D
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:04 Di 30.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ist die Kleinsche Vierergruppe ein Beispiel für eine
> metazyklische Gruppe, die nicht zyklisch ist?
> Denn das ist mir als erstes eingefallen.
> Vielleicht stimmt es ja.
>
> Bevor ichs ausrechne, kann mir ja vielleicht jemand ein JA
> oder nein NEIN geben. :D
Ich finde, du kannst das auch ruhig erst ausrechnen. Das ist jetzt wirklich kaum Aufwand, die Gruppe ist dafuer einfach genug.
Ausserdem hat das einen gewissen Lerneffekt :)
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:06 Di 30.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
Okay, das werde ich tun!
Ich poste es dann hier.
[Die Tatsache, dass Du immerhin nicht gleich gesagt hast: "QUATSCH"... lässt mich ein bisschen hoffen, dass genau das herauskommt, was ich mir erhoffe.]
|
|
|
|
