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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:16 Sa 29.04.2006 | | Autor: | papillon |
| Aufgabe | Gegeben: M=[0,1] und d(x,y)
= |x-y| für [mm] x\not=0 [/mm] und [mm] y\not= [/mm] 0
= 1 für x=0 oder y=0
= 0 für x=y=0
a) Ist [mm] x_{n}=\bruch{1}{n} [/mm] eine Cauchy-Folge im metrischen Raum (M,d)?
b) Ist [mm] x_{n} [/mm] konvergent in (M,d)?
c) Ist der metrische Raum (M,d) vollständigt? |
Meine Ansätze:
a) Einsetzen in die Definition der Cauchy-Folge ergibt:
wegen [mm] x_{n}= \bruch{1}{n} \not=0 [/mm] ist [mm] d(x_{n},x_{m}) [/mm] = [mm] |\bruch{1}{n}-\bruch{1}{m}|
[/mm]
Daraus folgt, dass [mm] x_{n} [/mm] eine Cauchy-Folge in (M,d) ist.
b) Einsetzen in die Definition des Grenzwerts ergibt:
[mm] d(r,x_{n}) [/mm]
= [mm] |r-\bruch{1}{n}| [/mm] für r [mm] \not= [/mm] 0
= 1 für r = 0
Daraus folgt, dass [mm] x_{n} [/mm] nicht konvergiert, denn für r=0 ist d=1, was nicht kleiner als alle [mm] \varepsilon [/mm] ist.
c) Der Raum ist nicht vollständig, denn nach a) und b) konvergiert nicht jede Cauchy-Folge in diesem Raum.
Sind diese Ansätze richtig? Wenn nein: Was muss ich anders machen? Wenn ja: Reicht das so aus?
Vielen Dank für eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:54 Sa 29.04.2006 | | Autor: | SEcki |
> Daraus folgt, dass [mm]x_{n}[/mm] eine Cauchy-Folge in (M,d) ist.
Wie im normalen [m]\IR[/m] auch.
> b) Einsetzen in die Definition des Grenzwerts ergibt:
Besser: falls x ein Grenzwert wäre, dann ...
> [mm]d(r,x_{n})[/mm]
>
> = [mm]|r-\bruch{1}{n}|[/mm] für r [mm]\not=[/mm] 0
> = 1 für r = 0
Prinzipiell richtig. etwas besser aufschreiben - dein Grenzwert x wäre 0 ode ein Zahl größer 0, dann führst du beides zum Widerspruch.
> c) Der Raum ist nicht vollständig, denn nach a) und b)
> konvergiert nicht jede Cauchy-Folge in diesem Raum.
Ja.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:23 Sa 29.04.2006 | | Autor: | papillon |
> > b) Einsetzen in die Definition des Grenzwerts ergibt:
>
> Besser: falls x ein Grenzwert wäre, dann ...
>
> > [mm]d(r,x_{n})[/mm]
> >
> > = [mm]|r-\bruch{1}{n}|[/mm] für r [mm]\not=[/mm] 0
> > = 1 für r = 0
>
> Prinzipiell richtig. etwas besser aufschreiben - dein
> Grenzwert x wäre 0 ode ein Zahl größer 0, dann führst du
> beides zum Widerspruch.
Könntest du mir das noch etwas ausführlicher erläutern?
Vielen Dank für deine Hilfe!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:01 Sa 29.04.2006 | | Autor: | SEcki |
> > Prinzipiell richtig. etwas besser aufschreiben - dein
> > Grenzwert x wäre 0 ode ein Zahl größer 0, dann führst du
> > beides zum Widerspruch.
> Könntest du mir das noch etwas ausführlicher erläutern?
Da gibt's aber kaum was auszuführen - du nimmst einen hypothetischen Grenzwert x und führst die Existenz dessen zum Widerspruch mit den Argumenten, die schon gegeben hast. wo liegt dein Problem?
SEcki
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