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hier erstmal die aufgabe:
es sei (X,d) eine metr. Raum. Man zeige, dass es eine weitere Metrik d' auf x gibt, sodass d'(x,y)<= 1 für alle x,y element X
und noch zeigen dass
d und d' dieselbe topologie definieren, was heißt dass die offenen mengen bezüglich d und d' gleich sind.
ich steh hier wie der ochs vom berg.
kann mir jemand helfen? pleaze?
greetz
dschingis
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Hallo Dschingis,
2 Topologieen sind gleich wenn sie die gleiche Basis haben, Für so einen metrischen Raum sind die offenen Kugeln eine Basis.
Ansatz:
Finde f: [mm] [0,\infty]\to [/mm] [0,1]
d'(x,y)=f(d(x,y))
Jetzt ist noch z.z. das jede offene Kugel bezüglich d auch offene Kugel bezgl. d' ist und umgekehrt.
viele Grüße
mathemaduenn
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Nimm einfach
d'(x|y)= [mm] \bruch{d(x|y)}{1+d(x|y)}
[/mm]
und weise nach, dass d' die gewünschten Eigenschaften hat, wenn d eine Metrik ist.
Das schönste in der Mathematik sind doch immer wieder die Aufgaben, bei der man etwas suchen soll und nicht gesagt bekommt, wie es aussieht. Selbst im Examen gibt es so schöööööne Aufgaben... (bin froh, dass ichs hinter mir habe.)
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