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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:16 Fr 05.02.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich weiß nicht so recht, wie ich bei einer Abbildung überprüfen kann, ob es sich um eine Metrik handelt.
Zum Beispiel für die Menge [mm] X=\IR [/mm] ist die Behauptung, dass d(x,y)=|x-y| eine Metrik ist.
Also für eine Metrik müssen ja drei Bedingungen erfüllt sein, aber ich weiß nicht so recht, wie ich das überprüfen soll.
Die erste Bedingung ist: d(x,y)=0 [mm] \gdw [/mm] x=y
Wenn ich da nun die Abbildung einsetzte, müsste ich ja zeigen, dass |x-y|=0 [mm] \gdw [/mm] x=y
Ich weiß nicht, wie ich das zeigen soll.
Ich kenne nur die Regel |a|=0 [mm] \gdw [/mm] a=0.
Könnte ich nun a:=x-y setzen?
Dann hätte ich |x-y|=0 [mm] \gdw [/mm] x-y=0 [mm] \gdw [/mm] x=y.
Könnte man das so machen?
Die zweite Regel heißt ja d(x,y)=d(y,x).
Ich muss ja also zeigen |x-y|=|y-x|, aber wie mache ich das?
Und die dritte Regel heißt d(x,y) [mm] \le [/mm] d(x,z) + d(z,y), also muss ich zeigen, dass [mm] |x-y|\le|x-z|+|z-y|.
[/mm]
Also irgendwie sieht das so ein bisschen wie die Dreiecksungleichung aus, aber auch hier weiß ich nicht so recht, wie ich das zeigen soll.
Kann mir jemand weiterhelfen?
LG Nadine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:22 Fr 05.02.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo Nadine!
> Ich weiß nicht so recht, wie ich bei einer Abbildung
> überprüfen kann, ob es sich um eine Metrik handelt.
>
> Zum Beispiel für die Menge [mm]X=\IR[/mm] ist die Behauptung, dass
> d(x,y)=|x-y| eine Metrik ist.
>
> Also für eine Metrik müssen ja drei Bedingungen erfüllt
> sein, aber ich weiß nicht so recht, wie ich das
> überprüfen soll.
>
> Die erste Bedingung ist: d(x,y)=0 [mm]\gdw[/mm] x=y
>
> Wenn ich da nun die Abbildung einsetzte, müsste ich ja
> zeigen, dass |x-y|=0 [mm]\gdw[/mm] x=y
>
> Ich weiß nicht, wie ich das zeigen soll.
> Ich kenne nur die Regel |a|=0 [mm]\gdw[/mm] a=0.
> Könnte ich nun a:=x-y setzen?
> Dann hätte ich |x-y|=0 [mm]\gdw[/mm] x-y=0 [mm]\gdw[/mm] x=y.
> Könnte man das so machen?
Ja.
> Die zweite Regel heißt ja d(x,y)=d(y,x).
>
> Ich muss ja also zeigen |x-y|=|y-x|, aber wie mache ich
> das?
Es ist doch $y - x = (x - y) * (-1)$, und $|a b| = |a| [mm] \cdot [/mm] |b|$. Was ist $|-1|$?
> Und die dritte Regel heißt d(x,y) [mm]\le[/mm] d(x,z) + d(z,y),
> also muss ich zeigen, dass [mm]|x-y|\le|x-z|+|z-y|.[/mm]
>
> Also irgendwie sieht das so ein bisschen wie die
> Dreiecksungleichung aus, aber auch hier weiß ich nicht so
> recht, wie ich das zeigen soll.
Es ist doch $x - y = (x - z) + (z - y)$. Also setze $a := x - z$ und $b := z - y$, dann musst du zeigen $|a + b| [mm] \le [/mm] |a| + |b|$.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:24 Sa 06.02.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Felix!
> > Ich weiß nicht, wie ich das zeigen soll.
> > Ich kenne nur die Regel |a|=0 [mm]\gdw[/mm] a=0.
> > Könnte ich nun a:=x-y setzen?
> > Dann hätte ich |x-y|=0 [mm]\gdw[/mm] x-y=0 [mm]\gdw[/mm] x=y.
> > Könnte man das so machen?
>
> Ja.
> Es ist doch [mm]y - x = (x - y) * (-1)[/mm], und [mm]|a b| = |a| \cdot |b|[/mm].
> Was ist [mm]|-1|[/mm]?
Also ich hab dann folgendes:
$|y-x|=|(x-y)*(-1)|=|x-y|*|-1|=|x-y|*1=|x-y|$
Ist das so richtig?
> Es ist doch [mm]x - y = (x - z) + (z - y)[/mm]. Also setze [mm]a := x - z[/mm]
> und [mm]b := z - y[/mm], dann musst du zeigen [mm]|a + b| \le |a| + |b|[/mm].
Also dann hätte ich ja [mm] $|x-y|=|(x-z)+(z-y)|\le|x-z|+|z-y|$ [/mm] wegen der Dreiecksungleichung.
Das haben wir irgendwann in LA1 mal gezeigt, dass [mm]|a + b| \le |a| + |b|[/mm], reicht es dann einfach, wenn ich sage, dass gilt wegen der Dreiecksungleichung?
Die anderen Betragsrechenregeln oben hab ich ja auch ohne Beweis benutzt.
LG, Nadine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:30 Sa 06.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Also ich hab dann folgendes:
>
> [mm]|y-x|=|(x-y)*(-1)|=|x-y|*|-1|=|x-y|*1=|x-y|[/mm]
>
> Ist das so richtig?
Ja.
> Also dann hätte ich ja [mm]|x-y|=|(x-z)+(z-y)|\le|x-z|+|z-y|[/mm]
> wegen der Dreiecksungleichung.
Ja.
> Das haben wir irgendwann in LA1 mal gezeigt, dass [mm]|a + b| \le |a| + |b|[/mm],
> reicht es dann einfach, wenn ich sage, dass gilt wegen der
> Dreiecksungleichung?
Das war eine Fingerübung als Beweis in Ana I bei mir, ab dann haben wir alle das alles benutzt. Die grundlegenden Eigenschaften der rellen Zahlen darf man sicher verwenden, wenn man sie nicht gerade zeigen soll.
> Die anderen Betragsrechenregeln oben hab ich ja auch ohne
> Beweis benutzt.
Eben.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:41 Sa 06.02.2010 | | Autor: | Pacapear |
Danke
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:50 Sa 06.02.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich soll nun die gleiche Abbildung noch für [mm] X=\IR^n [/mm] auf eine Metrik hin überprüfen.
Also [mm] X=\IR^n [/mm] und d(x,y)=|x-y|.
Wir haben bei uns den Betrag |x| für [mm] x\in\IR^n [/mm] definiert als [mm] |x|=\wurzel{}=\wurzel{\summe_{j=1}^{n}x_j^2}
[/mm]
[Ich kenne das aus der Schule eigentlich mit einem doppelten Betragsstrich, ist das hier jetzt was anderes?]
So, schon bei der ersten Bedingung komme ich nicht mehr weiter...
Ich soll ja zeigen:
d(x,y)=0 [mm] \gdw [/mm] x=y , also |x-y| [mm] \gdw [/mm] x=y
Ich hab nun:
[mm] |x-y|=\wurzel{}=\wurzel{\summe_{j=1}^{n}(x-y)_j^2}
[/mm]
Nun komme ich nicht weiter, wie kann ich von hier aus zeigen, dass x=y und wie zeige ich die Gegenrichtung?
Könnt ihr mir einen Hinweis geben?
LG, Nadine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:02 Sa 06.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. [mm] \wurzel{A}=0 [/mm] genau dann, wenn A=0 das darfst du sicher benutzen.
2. in der Summe stehen lauter Quadrate. Kannst du damit was anfangen?
wann ist [mm] a^2+b^2=0
[/mm]
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:15 Sa 06.02.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo!
> 1. [mm]\wurzel{A}=0[/mm] genau dann, wenn A=0 das darfst du sicher
> benutzen.
> 2. in der Summe stehen lauter Quadrate. Kannst du damit
> was anfangen?
> wann ist [mm]a^2+b^2=0[/mm]
> gruss leduart
Also [mm] a^2+b^2 [/mm] ist nur dann 0, wenn a=b=0 gilt.
Gut, wenn ich das nun auf mein Problem übertage, habe ich:
$ [mm] |x-y|=\wurzel{}=\wurzel{\summe_{j=1}^{n}(x-y)_j^2} [/mm] $
[mm] \wurzel{\summe_{j=1}^{n}(x-y)_j^2}=0\gdw\summe_{j=1}^{n}(x-y)_j^2=0
[/mm]
[mm] \summe_{j=1}^{n}(x-y)_j^2=0\gdw(x-y)_j=0 [/mm] für alle j
[mm] (x-y)_j=x_j-y_j [/mm] nach der Defintion der Vektoraddition
[mm] $(x-y)_j=0 \gdw x_j-y_j=0 \gdw x_j=y_j \gdw [/mm] x=y$
Ist das so richtig?
Und habe ich nun auch schon beide Richtungen gezeigt?
Zur zweiten Bedingung:
Ich soll also zeigen, dass d(x,y)=d(y,x), also dass $|x-y|=|y-x|$ gilt.
So, ich nehme jetzt mal den gleichen Ansatz wir für die Menge [mm] X=\IR [/mm] :
$|y-x|=|(-1)*(x-y)|$
So, und hier komme ich nicht weiter.
Die Betragsfunktion bildet ja von einem Körper (z.B. [mm] \IR [/mm] oder [mm] \IC [/mm] ) aus ab, die Betragsrechenregeln kann ich jetzt also nicht verwenden, denn die gelten ja nicht für Vektoren.
Soll ich hier die Norm-Rechenregeln benutzen? Aber wenns eine Norm wäre, dann ständen da ja Doppelstriche drumrum....
Das verwirrt mich irgendwie ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Wie muss ich hier nun weitermachen?
LG Nadine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:27 Sa 06.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> [mm]|x-y|=\wurzel{}=\wurzel{\summe_{j=1}^{n}(x-y)_j^2}[/mm]
>
> [mm]\wurzel{\summe_{j=1}^{n}(x-y)_j^2}=0\gdw\summe_{j=1}^{n}(x-y)_j^2=0[/mm]
Ja.
> [mm]\summe_{j=1}^{n}(x-y)_j^2=0\gdw(x-y)_j=0[/mm] für alle j
Ja.
> [mm](x-y)_j=x_j-y_j[/mm] nach der Defintion der Vektoraddition
Ja.
> [mm](x-y)_j=0 \gdw x_j-y_j=0 \gdw x_j=y_j \gdw x=y[/mm]
Bis zur letzten Äquivalenz stimmt's - aber du musst da noch ein für alle reinquetschen.
> Und habe ich nun auch schon beide Richtungen gezeigt?
Ja, schon.
> Ich soll also zeigen, dass d(x,y)=d(y,x), also dass
> [mm]|x-y|=|y-x|[/mm] gilt.
>
> So, ich nehme jetzt mal den gleichen Ansatz wir für die
> Menge [mm]X=\IR[/mm] :
>
> [mm]|y-x|=|(-1)*(x-y)|[/mm]
>
> So, und hier komme ich nicht weiter.
Setz doch einfach mal in die Definition ein?! Es gilt doch [m](a-b)^2=(b-a)^2[/m] in den rellen Zahlen.
> Die Betragsfunktion bildet ja von einem Körper (z.B. [mm]\IR[/mm]
> oder [mm]\IC[/mm] ) aus ab, die Betragsrechenregeln kann ich jetzt
> also nicht verwenden, denn die gelten ja nicht für
> Vektoren.
Stimmt. Ist aber total egal, du hast es ja konkret definiert bekommen, was die Norm sein soll!
> Soll ich hier die Norm-Rechenregeln benutzen?
Eher beweisen, oder?!
> Aber wenns
> eine Norm wäre, dann ständen da ja Doppelstriche
> drumrum....
Nö, nur der normalen Konvention halber. Vielleicht möchte der Author ja die besonders natürliche euklidische Norm auszeichnen und benutzt deshlab hier auch einfach Striche. Ich hab auch schon [m]|||x-y|||[/m] gesehen.
> Das verwirrt mich irgendwie
Und warum? Also du weißt ja, was die einfachen Striche hier ganz konkret bedeuten sollen - ich hab die andre Schreibweise auch lieber und bin schonmal über das gleiche Problem wie du gestolpert, da war mir aber die Def. konkret nicht klar. Arbeite einfach sturr mit der konkreten Def.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:03 Sa 06.02.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo!
> > [mm](x-y)_j=0 \gdw x_j-y_j=0 \gdw x_j=y_j \gdw x=y[/mm]
>
> Bis zur letzten Äquivalenz stimmt's - aber du musst da
> noch ein für alle reinquetschen.
Wo genau muss ein "für alle" hin und warum?
> Setz doch einfach mal in die Definition ein?! Es gilt doch
> [m](a-b)^2=(b-a)^2[/m] in den rellen Zahlen.
Also so:
$|x-y|=|y-x|$?
[mm] $|x-y|=\wurzel{}=\wurzel{\summe_{j=1}^{n}(x-y)_j^2}=\wurzel{\summe_{j=1}^{n}(y-x)_j^2}=\wurzel{}=|y-x|$
[/mm]
Bei der dritten Bedingung hab ich folgendes probiert:
[mm] |x-y|=|(x-a)+(a-y)|=\wurzel{\summe_{j=1}^{n}[(x-a)+(a-y)]_j^2} [/mm]
= [mm] \wurzel{\summe_{j=1}^{n}[(x-a)_j^2 + 2(x-a)_j(a-y)_j + (a-y)_j^2]} [/mm]
= [mm] \wurzel{\summe_{j=1}^{n}(x-a)_j^2 + \summe_{j=1}^{n}2(x-a)_j(a-y)_j + \summe_{j=1}^{n}(a-y)_j^2} [/mm]
[mm] \ge \wurzel{\summe_{j=1}^{n}(x-a)_j^2 + \summe_{j=1}^{n}(a-y)_j^2}
[/mm]
Irgendwie weiß ich nicht, ob das alles so stimmt, wegen den ganzen j als Index...
Und ich wüsste auch nicht, wie ich jetzt weitermachen soll, das Ungleichungungszeichen ist ja auch falschrum und Wurzel kann man ja auch nicht spalten...
Wie gehts jetzt weiter?
LG Nadine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:14 Sa 06.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> > > [mm](x-y)_j=0 \gdw x_j-y_j=0 \gdw x_j=y_j \gdw x=y[/mm]
> >
> > Bis zur letzten Äquivalenz stimmt's - aber du musst da
> > noch ein für alle reinquetschen.
>
> Wo genau muss ein "für alle" hin und warum?
Schau's dir nochmal an - dein j ist nicht quantifiziert. So wie es da steht, gilt das für ein (bel.) j.
> Also so:
>
> [mm]|x-y|=|y-x|[/mm]?
Das ist z.z. Wieviel Erfahrung hast du schon mit mathematischen Beweisen gesammelt? Sind das deine ersten Gehversuche oder hast du das bloß salop hingeschrieben?
> [mm]|x-y|=\wurzel{}=\wurzel{\summe_{j=1}^{n}(x-y)_j^2}=\wurzel{\summe_{j=1}^{n}(y-x)_j^2}=\wurzel{}=|y-x|[/mm]
Klar.
> Bei der dritten Bedingung hab ich folgendes probiert:
>
> [mm]|x-y|=|(x-a)+(a-y)|=\wurzel{\summe_{j=1}^{n}[(x-a)+(a-y)]_j^2}[/mm]
Quadriere die Gleichung erstmal, verwende [m](a+b)^2\le a^2+b^2[/m] für jeden Index, dann Wurzel drüber und benutze [m]\sqrt{a+b}\le \sqrt{a}+\sqrt{b} [/m].
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:34 Sa 06.02.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo!
> Das ist z.z. Wieviel Erfahrung hast du schon mit
> mathematischen Beweisen gesammelt? Sind das deine ersten
> Gehversuche oder hast du das bloß salop hingeschrieben?
Ich hab das bloß salopp hingeschrieben, sorry
> verwende [m](a+b)^2\le a^2+b^2[/m]
Dem kann ich nicht so ganz folgen.
[mm] (a+b)^2 [/mm] ist doch [mm] a^2+2ab+b^2 [/mm] und das ist doch nur dann kleiner-gleich [mm] a^2+b^2 [/mm] wenn $2ab$ negativ oder 0 ist,
oder nicht?
Oder steh ich grad tierisch auf'm Schlauch?
LG, Nadine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:54 Sa 06.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> [mm](a+b)^2[/mm] ist doch [mm]a^2+2ab+b^2[/mm] und das ist doch nur dann
> kleiner-gleich [mm]a^2+b^2[/mm] wenn [mm]2ab[/mm] negativ oder 0 ist,
>
> oder nicht?
>
> Oder steh ich grad tierisch auf'm Schlauch?
Ne, ich stand auf dem Schlauch. Die Dreiecksungleichung ist tatsächlich etwas hakliger, google mal nach Hölder-Ungleichung bzw. Cauchy-Schwarz-Ungleichung.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:06 Sa 06.02.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo!
> Ne, ich stand auf dem Schlauch. Die Dreiecksungleichung ist
> tatsächlich etwas hakliger, google mal nach
> Hölder-Ungleichung bzw. Cauchy-Schwarz-Ungleichung.
Also mit Hölder bzw. Cauchy-Schwarz komm ich jetzt irgendwie nicht weiter.
Ich hab im Buch den Hinweis gefunden, dass es mit der Minkowski-Ungleichung geht.
Das ist ja die Dreiecks-Ungleichung für Normen.
Aber ich weiß jetzt nicht, wie ich das hier anwenden soll, ich steh jetzt wieder vor meinem Problem, dass ich hier ja mit Wurzeln und Beträgen arbeite, aber nicht mit Normen...
Irgendwie blick ich nocht nicht so recht durch...
Wie mach ich das am besten?
LG, Nadine
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:33 So 07.02.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo Nadine!
> > Ne, ich stand auf dem Schlauch. Die Dreiecksungleichung ist
> > tatsächlich etwas hakliger, google mal nach
> > Hölder-Ungleichung bzw. Cauchy-Schwarz-Ungleichung.
>
> Also mit Hölder bzw. Cauchy-Schwarz komm ich jetzt
> irgendwie nicht weiter.
>
> Ich hab im Buch den Hinweis gefunden, dass es mit der
> Minkowski-Ungleichung geht.
>
> Das ist ja die Dreiecks-Ungleichung für Normen.
Genau. Und Beweisen tut man die Minkowski-Ungleichung z.B. mit der Hoelder-Ungleichung; falls man die Minkowski-Ungleichung fuer die Euklidische Norm zeigt, benutzt man die Hoelder-Ungleichung im Fall $p = 2$, wo diese auch den Namen Cauchy-Schwarz traegt.
Wie man von Hoelder bzw. Cauchy-Schwarz auf Minkowski kommt, steht z.B. in der ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia (dort wird mit Integralen gearbeitet, wenn du das Zaehlmass benutzt, also einfach Integral [mm] $\int_S$ [/mm] durch Summe [mm] $\sum_{i=1}^n$ [/mm] ersetzt, hast du den gesuchten Beweis.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:22 Sa 06.02.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Das dritte Beispiel, dass ich habe, ist die diskrete Metrik [mm] d(x,y)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x=y \mbox{ } \\ 1, & \mbox{für } x \not= y\mbox{ } \end{cases}
[/mm]
Das soll eine Metrik sein.
Also zuerst muss ich ja prüfen, ob $d(x,y)=0 [mm] \gdw [/mm] x=y $
Das gilt ja schon nach Defintion der diskreten Metrik.
Als zweites muss ich ja prüfen, ob $d(x,y)=d(y,x)$.
Wenn $ x=y$, dann muss ich ja zeigen, dass $d(x,y)=d(y,x)$.
$d(y,x)$ ist Null, und $d(x,y)$ ist auch Null, weil es ja beidesmal die gleichen Elemente sind, Reihenfolge ist egal, also $0=0$, also ist die Bedigung für $x=y$ erfüllt.
Wenn [mm] x\not=y, [/mm] dann ist sowohl $d(x,y)=1$ und $d(y,x)=1$, weil es zwei Verschiedene Elemente sind, in welcher Reihenfolge ist bei der Definiton egal.
Also $1=1$, die Bedingung ist also auch für [mm] x\not=y [/mm] erfüllt.
Die dritte Bedingung ist ja $d(x,y) [mm] \le [/mm] d(x,z) + d(z,y)$
Für $x=y$ ist $d(x,y)=0$.
Frage: $0 [mm] \le [/mm] d(x,z) + d(z,y)$?
$d(x,z)$ ist 1 oder 0 und $d(z,y)$ ist auch 1 oder 0.
Die Summe ist also mindestens 0 und höchstens 2, 0 ist also auf jeden Fall kleiner oder gleich der Summe.
Für $x=y$ ist die Bedingung also erfüllt.
Für [mm] x\not=y [/mm] ist $d(x,y)=1$.
Frage: $1 [mm] \le [/mm] d(x,z) + d(z,y)$?
$1 [mm] \le [/mm] d(x,z) + d(z,y)$ gilt immer, außer wenn $d(x,z) + d(z,y) = 0$
$d(x,z) + d(z,y)$ ist nur dann 0, wenn $d(x,z)=0$ und wenn $d(z,y)=0$, dass hieße aber, dass $x=z$ und das $z=y$, also auch, dass $x=y$, aber die Voraussetzung ist [mm] x\not=y. [/mm] Also gilt immer $1 [mm] \le [/mm] d(x,z) + d(z,y)$.
Ist das so richtig bewiesen?
LG Nadine
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:38 Sa 06.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo nadine
irgendwie guckst du nicht richtig, wa du zeigen willst:
> Hallo zusammen!
>
> Das dritte Beispiel, dass ich habe, ist die diskrete Metrik
> [mm]d(x,y)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x=y \mbox{ } \\ 1, & \mbox{für } x \not= y\mbox{ } \end{cases}[/mm]
>
> Das soll eine Metrik sein.
>
>
>
> Also zuerst muss ich ja prüfen, ob [mm]d(x,y)=0 \gdw x=y[/mm]
>
> Das gilt ja schon nach Defintion der diskreten Metrik.
>
>
> Als zweites muss ich ja prüfen, ob [mm]d(x,y)=d(y,x)[/mm].
>
> Wenn [mm]x=y[/mm], dann muss ich ja zeigen, dass [mm]d(x,y)=d(y,x)[/mm].
das hattest du doch schon grade davor? also schreibs nicht nochmal.
> [mm]d(y,x)[/mm] ist Null, und [mm]d(x,y)[/mm] ist auch Null, weil es ja
> beidesmal die gleichen Elemente sind, Reihenfolge ist egal,
> also [mm]0=0[/mm], also ist die Bedigung für [mm]x=y[/mm] erfüllt.
>
> Wenn [mm]x\not=y,[/mm] dann ist sowohl [mm]d(x,y)=1[/mm] und [mm]d(y,x)=1[/mm], weil
> es zwei Verschiedene Elemente sind, in welcher Reihenfolge
> ist bei der Definiton egal.
besser schreib nach Definition1
> Also [mm]1=1[/mm], die Bedingung ist also auch für [mm]x\not=y[/mm]
> erfüllt.
>
>
>
> Die dritte Bedingung ist ja [mm]d(x,y) \le d(x,z) + d(z,y)[/mm]
>
> Für [mm]x=y[/mm] ist [mm]d(x,y)=0[/mm].
>
> Frage: [mm]0 \le d(x,z) + d(z,y)[/mm]?
>
> [mm]d(x,z)[/mm] ist 1 oder 0 und [mm]d(z,y)[/mm] ist auch 1 oder 0.
>
> Die Summe ist also mindestens 0 und höchstens 2, 0 ist
> also auf jeden Fall kleiner oder gleich der Summe.
>
> Für [mm]x=y[/mm] ist die Bedingung also erfüllt.
>
> Für [mm]x\not=y[/mm] ist [mm]d(x,y)=1[/mm].
>
> Frage: [mm]1 \le d(x,z) + d(z,y)[/mm]?
>
> [mm]1 \le d(x,z) + d(z,y)[/mm] gilt immer, außer wenn [mm]d(x,z) + d(z,y) = 0[/mm]
> [mm]d(x,z) + d(z,y)[/mm] ist nur dann 0, wenn [mm]d(x,z)=0[/mm] und wenn
> [mm]d(z,y)=0[/mm], dass hieße aber, dass [mm]x=z[/mm] und das [mm]z=y[/mm], also
> auch, dass [mm]x=y[/mm], aber die Voraussetzung ist [mm]x\not=y.[/mm] Also
> gilt immer [mm]1 \le d(x,z) + d(z,y)[/mm].
>
>
> Ist das so richtig bewiesen?
Ja, alles richtig
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:42 Sa 06.02.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo!
> Hallo nadine
> irgendwie guckst du nicht richtig, wa du zeigen willst:
Wieso?
Ich wollte zeigen, dass die diskrete Metrik auch wirklich eine Metrik ist, also das die drei Bedingungen für eine Metrik erfüllt sind.
> Ja, alles richtig
> Gruss leduart
Super, danke
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