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| Aufgabe | 1. Vektorräume [mm]V[/mm] mit der Norm [mm]||*||:V\to\IR^\ge0[/mm] induzieren (d. h. definieren in natürlicher Weise) einen metrischen Raum durch die Funktion [mm]d:VxV\to\IR^\ge0, d(v,w):=||v-w||[/mm].
Weisen Sie die Eigenschaften einer Abstandsfunktion hierfür nach! |
Hallo Mathefreunde,
ich wollte wissen, ob ich diese Aufgabe richtig gerechnet habe.
[mm]d(v,w)=||v-w||=\wurzel{(v_1-w_1)^2+...+(v_n-w_n)^2}[/mm]
[mm]\Rightarrow d(v,w)=0:\gdw v=w[/mm]
[mm]d(v,v)=\wurzel{(v_1-v_1)^2+...+(v_n-v_n)^2}=\wurzel{0^2+...+0^2}=
\wurzel{0}=0[/mm]
Symmetrie
[mm]d(v,w)=d(w,v)=\wurzel{(v_1-w_1)^2+...+(v_n-w_n)^2}=\wurzel{(w_1-v_1)^2+...+(w_n-v_n)^2}[/mm]
Dreiecksungleichung
[mm]\wurzel{(v_1-x_1)^2+...+(v_n-x_n)^2}\le\wurzel{(v_1-w_1)^2+...+(v_n-w_n)^2}+\wurzel{(w_1-x_1)^2+...+(w_n-x_n)^2}[/mm]
[mm]\gdw[/mm]
[mm](v_1-x_1)^2+...+(v_n-x_n)^2\le(v_1-w_1)^2+...+(v_n-w_n)^2+(w_1-x_1)^2+...+(w_n-x_n)^2+2\wurzel{[(v_1-w_1)^2+...+(v_n-w_n)^2][(w_1-x_1)^2+...+(w_n-x_n)^2]}[/mm]
oBdA gelte [mm]v_i=x_i=0[/mm]
[mm]0\le2(w_1^2+...+w_n^2+2\wurzel{2(w_1^2+...+w_n^2)}[/mm]
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Hallo,
> 1. Vektorräume [mm]V[/mm] mit der Norm [mm]||*||:V\to\IR^\ge0[/mm]
> induzieren (d. h. definieren in natürlicher Weise) einen
> metrischen Raum durch die Funktion [mm]d:VxV\to\IR^\ge0, d(v,w):=||v-w||[/mm].
>
> Weisen Sie die Eigenschaften einer Abstandsfunktion
> hierfür nach!
Ich muss dich leider enttäuschen, deine bisherigen Berechnungen / Beweise nützen nichts...
Es geht hier um eine allgemeine Norm! Du musst also, ausgehend von den Normeigenschaften zeigen, dass d dann eine Metrik ist.
Beispiel:
Symmetrie:
$d(v,w) = ||v-w|| = ||(-1)*(w-v)|| = |(-1)|*||w-v|| = ||w-v|| = d(w,v)$,
wobei beim mittleren Gleichheitszeichen die Homogenitätseigeschaft [mm] $||\alpha*v|| [/mm] = [mm] |\alpha|*||v||$ [/mm] benutzt wurde.
Grüße,
Stefan
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Danke für deine Antwort Stefan. Ich habe eben nochmal nachgerechnet. Stimmt denn mein Ansatz bei der ersten Eigenschaft normierter Vektorräume?
[mm]||w-v||=0 \gdw w-v=0 \gdw w=v \Rightarrow d(w,v)=0[/mm]
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Hallo!
> Danke für deine Antwort Stefan. Ich habe eben nochmal
> nachgerechnet. Stimmt denn mein Ansatz bei der ersten
> Eigenschaft normierter Vektorräume?
>
> [mm]||w-v||=0 \gdw w-v=0 \gdw w=v \Rightarrow d(w,v)=0[/mm]
Du meinst die Eigenschaft $d(w,v) = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] v = w$ ?
Sagen wir mal so, alles was du brauchst steht oben in der Kette, aber so wie oben könntest du es nicht aufschreiben.
Du musst anfangen mit
$d(w,v) = 0$
[mm] $\Rightarrow [/mm] ||w-v|| = 0$
[mm] $\Rightarrow [/mm] w-v = 0$
(Definitheit der Norm)
[mm] $\Rightarrow [/mm] w = v$.
Grüße,
Stefan
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Danke Stefan! Zumindest war der Sinn richtig. ;). Ich werde gleich eine Frage zur Dreiecksungleichung noch formulieren.
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Hallo Stefan,
ich hoffe, dass ich die Gleichung richtig formuliert habe.
[mm]||w-v||\le||w||+||v||
\gdw
\wurzel{(w_1-v_1)^2+...+(w_n-v_n)^2}\le\wurzel{w_1^2+...+w_n^2}+\wurzel{v_1^2+...+v_n^2}[/mm]
Sei oBdA [mm]w=v[/mm]
[mm]\Rightarrow
0\le\wurzel{w_1^2+...+w_n^2}[/mm]
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Hallo!
> Hallo Stefan,
>
> ich hoffe, dass ich die Gleichung richtig formuliert habe.
>
> [mm]||w-v||\le||w||+||v||
\gdw
\wurzel{(w_1-v_1)^2+...+(w_n-v_n)^2}\le\wurzel{w_1^2+...+w_n^2}+\wurzel{v_1^2+...+v_n^2}[/mm]
>
> Sei oBdA [mm]w=v[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow
0\le\wurzel{w_1^2+...+w_n^2}[/mm]
Tut mir leid - ich verstehe nicht, was du hier tust.
Du willst doch beweisen:
$d(x,z) [mm] \le [/mm] d(x,y) + d(y,z)$,
d.h.
$||x-z|| [mm] \le [/mm] ||x-y|| + ||y-z||$
Tipp dazu:
$||x-z|| = ||x-y+y-z||$,
nun Dreiecksungleichung für Normen.
Grüße,
Stefan
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Danke für den Tipp, aber ich verstehe nich, was ich damit anfangen soll? ich finde meinen Weg ganz plausibel. Ich erkläre es kurz mit Hilfe des Grenzwertbegriffs. Wenn du den Wert v an w anäherst nimmt dieser doch kleinenere Werte auf der linken Seite der Ungleichung ein, als auf der rechten.
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Hallo!
> Danke für den Tipp, aber ich verstehe nich, was ich damit
> anfangen soll? ich finde meinen Weg ganz plausibel.
Ich überhaupt nicht.
Erstens nimmst du wieder eine spezielle Norm an, und zweitens ist die obdA v = w nun wirklich keine obdA.
Außerdem zeigst du damit immer noch nicht, was du eigentlich zeigen sollst, nämlich die Dreiecksungleichung für Metriken:
[mm] $d(x,z)\le [/mm] d(x,y) + d(y,z)$
für alle [mm] $x,y,z\in [/mm] V$ !
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:58 Sa 17.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
erstens hast du kene allgemeine Norm sondern eine bestimmte, (die euklidische) verwendet. 2. hast du nicht die dreiecksungleichung gezeig. denn die oBdA ist falsch.
hier sagst du doch nur dass alle normen [mm] \ge [/mm] 0 sind. das ist keine Dreiecksungleichung!
Gruss leduart
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Hallo Stefan ich hoffe ich entnerve dich nicht zu sehr. Ich habe mal darüber nachgedacht und mit deinem Einwand, bin ich zu einer, zugegebenermaßen prophanen Lösung gekommen. Ich hoffe, dass es diesmal stimmt.
[mm][mm] d(w,v)=||w-v||=||w-z+z-v||\le||w-z||+||z-v||=d(w,z)+d(z,v)
[/mm]
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Hallo,
> Hallo Stefan ich hoffe ich entnerve dich nicht zu sehr.
Wieso? Zum Helfen sind wir da, und solange du einsiehst, dass dein Ansatz falsch war, ist alles okay 
> Ich
> habe mal darüber nachgedacht und mit deinem Einwand, bin
> ich zu einer, zugegebenermaßen prophanen Lösung gekommen.
> Ich hoffe, dass es diesmal stimmt.
>
> [mm][mm]d(w,v)=||w-v||=||w-z+z-v||\le||w-z||+||z-v||=d(w,z)+d(z,v)[/mm]
Alles wunderbar! Jetzt stimmt's
Grüße,
Stefan
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