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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:07 Mo 17.05.2010 | | Autor: | dannyf86 |
| Aufgabe | Sei (X; [mm] d_1) [/mm] ein metrischer Raum und E [mm] \subset [/mm] X. Sei
[mm] d_2 [/mm] : X [mm] \times [/mm] X [mm] \to [/mm] R, (x; y) [mm] \mapsto \bruch{d_1(x; y)}{1 + d_1(x; y)}.
[/mm]
[mm] d_2 [/mm] ist eine Metrik. Zeigen Sie: E ist in (X; [mm] d_1) [/mm] offen genau dann, wenn E in (X; [mm] d_2) [/mm] offen ist. |
Hallo,
mein Professor hat uns diese Aufgabe als Übung gegeben. Doch leider weis ich nicht wie man dies beweist. Ich weis das eine Menge E offen in X heißt, falls jeder Punkt p [mm] \in [/mm] E ein innerer Punkt von E ist und ein Punkt p [mm] \in [/mm] E heißt ein innerer Punkt von E, falls es eine Umgebung [mm] U_r(p), [/mm] r > 0, gibt mit [mm] U_r(p) \subseteq [/mm] E. Doch leider weis ich nicht wie ich dies nun dazu benutze um die oben genannte Aufgabe zubeweisen. Könnte mir jemand helfen? Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:42 Mo 17.05.2010 | | Autor: | gfm |
> Sei (X; [mm]d_1)[/mm] ein metrischer Raum und E [mm]\subset[/mm] X. Sei
> [mm]d_2[/mm] : X [mm]\times[/mm] X [mm]\to[/mm] R, (x; y) [mm]\mapsto \bruch{d_1(x; y)}{1 + d_1(x; y)}.[/mm]
>
> [mm]d_2[/mm] ist eine Metrik. Zeigen Sie: E ist in (X; [mm]d_1)[/mm] offen
> genau dann, wenn E in (X; [mm]d_2)[/mm] offen ist.
> Hallo,
>
> mein Professor hat uns diese Aufgabe als Übung gegeben.
> Doch leider weis ich nicht wie man dies beweist. Ich weis
> das eine Menge E offen in X heißt, falls jeder Punkt p [mm]\in[/mm]
> E ein innerer Punkt von E ist und ein Punkt p [mm]\in[/mm] E heißt
> ein innerer Punkt von E, falls es eine Umgebung [mm]U_r(p),[/mm] r >
> 0, gibt mit [mm]U_r(p) \subseteq[/mm] E. Doch leider weis ich nicht
> wie ich dies nun dazu benutze um die oben genannte Aufgabe
> zubeweisen. Könnte mir jemand helfen? Danke
>
Du hast [mm] d_2=f\circ d_1 [/mm] mit einem stetig differenzierbaren und streng monoton steigendem f. Es gilt
[mm] d_1:X^2\to[0,\infty)
[/mm]
[mm] f:[0,\infty)\to[0,1);x\mapsto [/mm] y=f(x)=x/(1+x)
[mm] d_2:X^2\to[0,1)
[/mm]
Daraus läßt sich doch was machen, oder?
LG
gfm
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:57 Mo 17.05.2010 | | Autor: | dannyf86 |
stetig differenzierbar darf ich noch nicht benutzen, da ich im ersten semester bin und wir es noch nicht behandelt haben. ändert das was?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:17 Mo 17.05.2010 | | Autor: | gfm |
> stetig differenzierbar darf ich noch nicht benutzen, da ich
> im ersten semester bin und wir es noch nicht behandelt
> haben. ändert das was?
Brauchst Du auch gar nicht.
Entscheidend aus meiner Sicht ist:
Du hast Metriken [mm] d_1, d_2 [/mm] für einen Raum X, wobei [mm] d_2 [/mm] aus [mm] d_1 [/mm] durch Verkettung mit einer stetigen nicht negativen Funktion [mm] f:[0,\infty)\to[0,1) [/mm] entsteht:
[mm] d_2=f\circ d_1
[/mm]
[mm] d_2(x,y)=f(d_1(x,y))
[/mm]
Zu jedem [mm] \epsilon>0 [/mm] gibt es ein [mm] \delta_f(\epsilon)>0, [/mm] so dass aus
[mm] 0\le t<\delta_f(\epsilon) [/mm]
[mm] 0\le f(t)<\epsilon [/mm] folgt.
LG
gfm
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:57 Mo 17.05.2010 | | Autor: | dannyf86 |
also ich verstehe das so teilweise. woher weist du das die funktion stetig ist? ich hatte dies noch nicht und hab mir nur mal ne kurze erklärung aus dem interent durchgelesen. danke für deine antworten
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:04 Mo 17.05.2010 | | Autor: | gfm |
> also ich verstehe das so teilweise. woher weist du das die
> funktion stetig ist? ich hatte dies noch nicht und hab mir
> nur mal ne kurze erklärung aus dem interent durchgelesen.
> danke für deine antworten
Selbst wenn Ihr in der Vorlesung bisher nur abstrakte metrische Räume hattet, impliziert eine Aufgabenstellung, in der eine konkrete auf den rellen Zahlen reellwertige Funktion vorkommt, dass ein gewisses Grundwissen über solche Funktionen benutzt werden muss (und dann auch darf).
Die gegebene Funktion ist der punktweise (die Division durch null auschließende) Quotient zweier stetiger Funktionen. Eine solche ist stetig.
Sei nun [mm]E[/mm] offen bezüglich [mm]d_2[/mm]. Dann existiert zu jedem [mm]x\inE[/mm] ein [mm]r[/mm], so dass alle [mm]y[/mm] mit [mm]d_2(x,y)
Genauso kannst Du bezüglich der existierenden Umkehrabildung für die andere Richtung tun.
LG
gfm
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:08 Mo 17.05.2010 | | Autor: | dannyf86 |
ok danke. ich habs verstanden. danke für deine geduld.
gruß
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