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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:31 Fr 22.04.2011 | | Autor: | diddy449 |
| Aufgabe | Sei [mm] $d:\IR^n\times\IR^n\to \IR_{\ge 0}$ [/mm] mit $d(x,x):=0$ und [mm] $d(x,y):=\|x\|_2+\|y\|_2$, [/mm] falls [mm] $x\not= [/mm] y$, eine Metrik auf [mm] \IR^n.
[/mm]
Zeigen Sie, dass bzgl. dieser Metrik d folgend Äquivalenz gilt:
[mm] $$lim_k x_k=a\not=0\Leftrightarrow \exists k_0 \forall k\ge k_0: x_k=a$$ [/mm] |
Hey,
ich krieg die Hinrichtung der Äquivalenz nicht hin.
Mein Ansatz:
[mm] $lim_k x_k=a
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow \forall\varepsilon>0\exists k_0 \forall k\ge k_0: d(x_k,a)\le\varepsilon
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow \forall\varepsilon>0\exists k_0 \forall k\ge k_0: \|x_k\|_2+\|a\|_2\le\varepsilon
[/mm]
Ich denke, dass ich nun [mm] \varepsilon [/mm] geschickt wählen muss.
Doch wie ich es wählen muss, komm ich nicht drauf.
Gruß
Diddy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:51 Fr 22.04.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo Diddy!
> Sei [mm]d:\IR^n\times\IR^n\to \IR_{\ge 0}[/mm] mit [mm]d(x,x):=0[/mm] und
> [mm]d(x,y):=\|x\|_2+\|y\|_2[/mm], falls [mm]x\not= y[/mm], eine Metrik auf
> [mm]\IR^n.[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass bzgl. dieser Metrik d folgend Äquivalenz
> gilt:
> [mm]lim_k x_k=a\not=0\Leftrightarrow \exists k_0 \forall k\ge k_0: x_k=a[/mm]
>
> Hey,
> ich krieg die Hinrichtung der Äquivalenz nicht hin.
>
> Mein Ansatz:
> [mm]$lim_k x_k=a[/mm]
> [mm]\Leftrightarrow \forall\varepsilon>0\exists k_0 \forall k\ge k_0: d(x_k,a)\le\varepsilon[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]\Leftrightarrow \forall\varepsilon>0\exists k_0 \forall k\ge k_0: \|x_k\|_2+\|a\|_2\le\varepsilon[/mm]
Das stimmt nicht ganz, es ist nur richtig für [mm] $d(x_k,a) [/mm] > 0$. Also:
[mm] d(x_k,a)\le\varepsilon \gdw \text{ entweder }\|x_k\|_2+\|a\|_2\le\varepsilon \text{ oder $x_k=a$} [/mm] .
> Ich denke, dass ich nun [mm]\varepsilon[/mm] geschickt wählen
> muss.
> Doch wie ich es wählen muss, komm ich nicht drauf.
Du musst [mm] $\varepsilon [/mm] < [mm] \|a\|_2$ [/mm] wählen.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:19 Sa 23.04.2011 | | Autor: | diddy449 |
Alles klar,
und dann mit [mm] $\varepsilon=\|a\|_2$ [/mm] einen Widerspruch erzeugen für [mm] $d(x_k,a)>0$.
[/mm]
Vielen Dank
Gruß
Diddy
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:27 So 24.04.2011 | | Autor: | diddy449 |
| Aufgabe | > Sei [mm]d:\IR^n\times\IR^n\to \IR_{\ge 0}[/mm] mit [mm]d(x,x):=0[/mm] und
> [mm]d(x,y):=\|x\|_2+\|y\|_2[/mm], falls [mm]x\not= y[/mm], eine Metrik auf
> [mm]\IR^n.[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass bzgl. dieser Metrik d folgend Äquivalenz
> gilt:
> [mm]lim_k x_k=a\not=0\Leftrightarrow \exists k_0 \forall k\ge k_0: x_k=a[/mm] |
Hey,
bei der Rückrichtung schaffe ich es nicht zu zeigen, dass [mm] $a\not=0$ [/mm] sein muss.
Mein Ansatz:
[mm] $"\Leftarrow"$
[/mm]
Es gelte:
[mm] $$\exists k_0\forall k\ge k_0:x_k=a
[/mm]
[mm] \Rightarrow \exists k_0\forall k\ge k_0:d(x_k,a)=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow \forall\varepsilon>0\exists k_0\forall k\ge k_0:d(x_k,a)<\varepsilon
[/mm]
[mm] \Rightarrow \limes_{k\rightarrow\infty}x_k=a$$
[/mm]
Da fehlt wie gesagt noch der Schritt, warum [mm] $a\not=0$ [/mm] sein muss.
Gruß Diddy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:42 So 24.04.2011 | | Autor: | SEcki |
> bei der Rückrichtung schaffe ich es nicht zu zeigen, dass
> [mm]a\not=0[/mm] sein muss.
Es ist auch einfach falsch.
SEcki
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