Metrik < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:49 So 22.04.2012 | | Autor: | Philphil |
| Aufgabe | | Seien [mm] d_p [/mm] für 1 [mm] \le [/mm] p [mm] \le \infty [/mm] die üblichen Metriken auf [mm] \IR^2 [/mm] und d die diskrete Metrik auf [mm] \IR^2. [/mm] Skizzieren sie die Kugel [mm] B_1(0,1) [/mm] bezüglich der Metriken [mm] d_1,d_2,d_\infty [/mm] und d. Geben sie [mm] B_2(3,0) [/mm] bezüglich der Metrik d an. |
hi,
ich komm mal wieder nicht so recht weiter. Zu allererst habe ich mir natürlich die Definitionen rausgesucht wobei ich da auch schon etwas schwierigkeiten hatte, was ich mit dem [mm] B_1(0,1) [/mm] anfangen soll. Jedenfalls map für p=1 ist die definition [mm] \summe_{j=1}^{2} |x_j [/mm] - [mm] y_j| [/mm] .
Für dieses [mm] B_1(0,1) [/mm] habe ich eine formel gefunden: B(a,r) = {x [mm] \in [/mm] E : d(x,a) [mm] \le [/mm] r} wobei es da darauf ankommt ob die kugel offen oder geschlossen ist?! Bin mir nichtmal sicher ob das die richtige Formel ist, da wir ja im [mm] \IR^2 [/mm] sind brauchen wir ja 2 Koordinaten, aber wenn man davon ausgeht dass das die Koordinaten in der Klammer sind hätt ich den punkt (0,1) und wozu dann den abstand bestimmen?!
Wie ihr seht komme ich einfach nicht mit der Aufgabenstellung zurecht bzw. mit der Definitionsfindung.
Danke schonmal für eure Hilfe
Phil Braun
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:26 So 22.04.2012 | | Autor: | fred97 |
Ist d eine Metrik auf dem [mm] \IR^2, [/mm] so ist für [mm] (x_0,y_0) \in \IR^2 [/mm] und r>0
[mm] B_r(x_0,y_0):= \{(x,y) \in \IR^2: d((x,y),(x_0,y_0))
FRED
|
|
|
| |
|
Ok, gehen wir von der Formel aus, dann wäre r=1, [mm] x_0 [/mm] = 0 und [mm] y_0 [/mm] = 1.
Der Abstand [mm] d_1 [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{2} |x_i [/mm] - [mm] y_i| [/mm] = |0-1|+|x-y| < 1
Dann folgt daraus, dass alle punkte die auf der gerade zwischen (1,1) und (-1,-1) liegen die Formel erfüllen.
Ist das korrekt?!
Demnach würde aber für [mm] d_2 [/mm] genau das gleiche rauskommen, denn [mm] \wurzel{|0-1|^2 + |x-y|^2} [/mm] = [mm] \wurzel{1 + |x-y|^2} [/mm] < 1 daraus folgt, dass [mm] |x-y|^2 [/mm] = 0 sein muss, oder?!
Gruß Phil
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Di 24.04.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
