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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:57 Sa 27.04.2013 | | Autor: | SandySan |
| Aufgabe | Die Sup. Metrik ist eine Metrik auf [mm] \partial^\infty [/mm] (also auf der Menge aller beschränkten Folgen [mm] a=(a_n)_{n\in \IN} [/mm] in [mm] \IR): [/mm] Für x,y [mm] \in \partial^\infty [/mm] ist
[mm] d_\infty(x,y):=sup\{|x_n-y_n\} [/mm] |
Ich weiss leider nicht so recht, was ich nun zu zeigen hab.
Also laut unserem Skript muss ich für eine Metrik folgendes zeigen:
(1) [mm] d_\infty(x,y)\ge0
[/mm]
(2) Symmetre [mm] d_\infty(x,y)=d_\infty(y,x)
[/mm]
(3) [mm] d_\infty(x,y)\le d_\infty(x,z) [/mm] + [mm] d_\infty(z,y)
[/mm]
Zu (1):
[mm] sup\{|x_n-y_n\} [/mm] ist für mich aufgrund der Betragsdefinition trivial.
Also was soll ich da großartig zeigen ?
Zu (2):
Die symmetrie ist aufgrund des Betrags auch gegeben, also was soll ich da noch zeigen ?
Zu (3):
[mm] sup\{|x_n-y_n\} [/mm] = [mm] sup\{|x_n - z_n + z_n - y_n\} \le sup\{|x_n - z_n|\} [/mm] + [mm] sup\{z_n - y_n\}
[/mm]
Als einfach dreiecksungleichung benutzen oder wie ?
Kann mir jemand weiterhelfen ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:34 Sa 27.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Die Sup. Metrik ist eine Metrik auf [mm]\partial^\infty[/mm] (also
> auf der Menge aller beschränkten Folgen [mm]a=(a_n)_{n\in \IN}[/mm]
> in [mm]\IR):[/mm] Für x,y [mm]\in \partial^\infty[/mm] ist
> [mm]d_\infty(x,y):=sup\{|x_n-y_n|\}[/mm]
>
> Ich weiss leider nicht so recht, was ich nun zu zeigen
> hab.
>
> Also laut unserem Skript muss ich für eine Metrik
> folgendes zeigen:
>
> (1) [mm]d_\infty(x,y)\ge0[/mm]
> (2) Symmetre [mm]d_\infty(x,y)=d_\infty(y,x)[/mm]
> (3) [mm]d_\infty(x,y)\le d_\infty(x,z)[/mm] + [mm]d_\infty(z,y)[/mm]
>
>
> Zu (1):
>
> [mm]sup\{|x_n-y_n|\}[/mm] ist für mich aufgrund der
> Betragsdefinition trivial.
für mich auch, denn da steht keine Aussage. Du sollst zeigen: Für alle [mm] $x=(x_n)_n$ [/mm]
und [mm] $y=(y_n)_n$ [/mm] mit $x,y [mm] \in \partial^\infty$ [/mm] (schreibt ihr da wirklich [mm] $\partial$?) [/mm] folgt [mm] $\sup\{|x_n-y_n|: n \in \IN\} \ge 0\,.$ [/mm]
Das ist in der Tat trivial, weil für eine Menge $M [mm] \subseteq \IR$ [/mm] sogar leicht einzusehen ist:
Ist $M [mm] \subseteq [0,\infty)\,,$ [/mm] so folgt sogar [mm] $\inf(M) \ge 0\,.$ [/mm] Und sicherlich gilt [mm] $\sup [/mm] (M) [mm] \ge \inf(M)\,,$ [/mm] wobei man für
nach oben unbeschränkte Mengen [mm] $\sup(M)=\infty$ [/mm] setzen würde. Aber das interessiert
Dich hier sowieso nicht - warum? (Darauf komme ich gleich auch nochmal
zurück!)
> Also was soll ich da großartig zeigen ?
Etwa, dass [mm] $\{|x_n-y_n|: n \in \IN\} \subseteq [0,\infty)\,.$ [/mm] Ich weiß, das ist trivial, dann
schreibe halt nur den Satz hin, dass das offensichtlich gilt und dass
daraus schon [mm] $d_\infty(x,y) \in [0,\infty]$ [/mm] folgt (dann solltest Du kurz begründen,
warum aber [mm] $=\infty$ [/mm] nicht sein kann, oder aber Du sagst, dass sich aus
den folgenden Überlegungen ergibt, dass das nicht geht!)
> Zu (2):
>
> Die symmetrie ist aufgrund des Betrags auch gegeben, also
> was soll ich da noch zeigen ?
Auch hier kannst Du das so schreiben: Da für alle $r,s [mm] \in \IR$ [/mm] halt [mm] $|r-s|=|s-r|\,$
[/mm]
gilt, folgt sofort [mm] $d_\infty(x,y)=d_\infty(y,x)\,.$
[/mm]
> Zu (3):
>
> [mm]sup\{|x_n-y_n\}[/mm] = [mm]sup\{|x_n - z_n + z_n - y_n\} \le sup\{|x_n - z_n|\}[/mm]
> + [mm]sup\{z_n - y_n\}[/mm]
Am Ende meinst Du [mm] $\sup\{\red{|}z_n-y_n\red{|}\}\,.$ [/mm] Übrigens schreibt ihr hier
anscheinend [mm] $\sup \{x_n\}:=\sup\{x_n:\;\;n \in \IN\}\,.$ [/mm] Ich finde das sehr unschön,
denn [mm] $\{x_n\}$ [/mm] ist eigentlich eine einelementige Menge. Schreibe wenigstens
vielleicht eher sowas wie [mm] $\sup_n \{x_n\}\,.$
[/mm]
> Als einfach dreiecksungleichung benutzen oder wie ?
Naja, das ist schon richtig. Die Logik ist doch aber eigentlich so:
Für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt
[mm] $$|x_n-y_n| \le |x_n-z_n|+|z_n-y_n|\,.$$
[/mm]
Daraus folgt
[mm] $$\sup\{|x_n-y_n|:\;\;n \in \IN\} \le \sup\{|x_n-z_n|+|z_n-y_n|:\;\;n \in \IN\}\,.$$ [/mm]
(Warum?)
Hast Du eine Idee, wie man [mm] $\sup\{a+b:\;\;a \in A,\;b \in B\} \le \sup(A)+\sup(B) [/mm] $
beweisen kann? (Du brauchst das hier "nur" für nach oben beschränkte
Mengen [mm] $A,B\,,$ [/mm] auch, wenn Du die allgemeinere Aussage auch beweisen
könntest und der Beweis dafür nicht viel länger oder schwerer wäre!)
Denn dann benutzt Du das noch und bist fertig!
Ergänzung: Setzt Du bei der Dreiecksungleichung speziell [mm] $z_n=0$ [/mm] ($n [mm] \in \IN$) [/mm]
ein - beachte, dass dann [mm] $(z_n)_n \in \partial^\infty$ [/mm] gilt - so steht da
[mm] $$d_\infty(x,y) \le \sup\{|x_n|:\;\;n \in \IN\}+\sup\{|y_n|:\;\;n \in \IN\}\,.$$
[/mm]
Daraus folgt insbesondere, dass [mm] $d_\infty(x,y)=\infty$ [/mm] für $x,y [mm] \in \partial^\infty$
[/mm]
NICHT gelten kann - warum?
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:46 So 28.04.2013 | | Autor: | SandySan |
> > Zu (1):
> >
> > [mm]sup\{|x_n-y_n|\}[/mm] ist für mich aufgrund der
> > Betragsdefinition trivial.
>
> für mich auch, denn da steht keine Aussage. Du sollst
> zeigen: Für alle [mm]x=(x_n)_n[/mm]
> und [mm]y=(y_n)_n[/mm] mit [mm]x,y \in \partial^\infty[/mm] (schreibt ihr da
> wirklich [mm]\partial[/mm]?) folgt [mm]\sup\{|x_n-y_n|: n \in \IN\} \ge 0\,.[/mm]
> Das ist in der Tat trivial, weil für eine Menge [mm]M \subseteq \IR[/mm]
> sogar leicht einzusehen ist:
> Ist [mm]M \subseteq [0,\infty)\,,[/mm] so folgt sogar [mm]\inf(M) \ge 0\,.[/mm]
> Und sicherlich gilt [mm]\sup (M) \ge \inf(M)\,,[/mm] wobei man für
> nach oben unbeschränkte Mengen [mm]\sup(M)=\infty[/mm] setzen
> würde. Aber das interessiert
> Dich hier sowieso nicht - warum? (Darauf komme ich gleich
> auch nochmal
> zurück!)
Weil unsere Menge nach vorraussetzung beschränkt ist. Wäre sie nämlich nach oben unbeschränkt, so würde das supremum garnicht erst exestieren.
>
> > Also was soll ich da großartig zeigen ?
>
> Etwa, dass [mm]\{|x_n-y_n|: n \in \IN\} \subseteq [0,\infty)\,.[/mm]
> Ich weiß, das ist trivial, dann
> schreibe halt nur den Satz hin, dass das offensichtlich
> gilt und dass
> daraus schon [mm]d_\infty(x,y) \in [0,\infty][/mm] folgt (dann
> solltest Du kurz begründen,
> warum aber [mm]=\infty[/mm] nicht sein kann, oder aber Du sagst,
> dass sich aus
> den folgenden Überlegungen ergibt, dass das nicht geht!)
Okay :)
> > Zu (2):
> >
> > Die symmetrie ist aufgrund des Betrags auch gegeben, also
> > was soll ich da noch zeigen ?
>
> Auch hier kannst Du das so schreiben: Da für alle [mm]r,s \in \IR[/mm]
> halt [mm]|r-s|=|s-r|\,[/mm]
> gilt, folgt sofort [mm]d_\infty(x,y)=d_\infty(y,x)\,.[/mm]
Gut, das habe ich jetzt auch so gemacht.
> > Zu (3):
> >
> > [mm]sup\{|x_n-y_n\}[/mm] = [mm]sup\{|x_n - z_n + z_n - y_n\} \le sup\{|x_n - z_n|\}[/mm]
> > + [mm]sup\{z_n - y_n\}[/mm]
>
> Am Ende meinst Du [mm]\sup\{\red{|}z_n-y_n\red{|}\}\,.[/mm]
> Übrigens schreibt ihr hier
> anscheinend [mm]\sup \{x_n\}:=\sup\{x_n:\;\;n \in \IN\}\,.[/mm] Ich
> finde das sehr unschön,
> denn [mm]\{x_n\}[/mm] ist eigentlich eine einelementige Menge.
> Schreibe wenigstens
> vielleicht eher sowas wie [mm]\sup_n \{x_n\}\,.[/mm]
>
> > Als einfach dreiecksungleichung benutzen oder wie ?
>
> Naja, das ist schon richtig. Die Logik ist doch aber
> eigentlich so:
> Für jedes [mm]n \in \IN[/mm] gilt
> [mm]|x_n-y_n| \le |x_n-z_n|+|z_n-y_n|\,.[/mm]
> Daraus folgt
> [mm]\sup\{|x_n-y_n|:\;\;n \in \IN\} \le \sup\{|x_n-z_n|+|z_n-y_n|:\;\;n \in \IN\}\,.[/mm]
> (Warum?)
>
> Hast Du eine Idee, wie man [mm]\sup\{a+b:\;\;a \in A,\;b \in B\} \le \sup(A)+\sup(B)[/mm]
>
> beweisen kann? (Du brauchst das hier "nur" für nach oben
> beschränkte
> Mengen [mm]A,B\,,[/mm] auch, wenn Du die allgemeinere Aussage auch
> beweisen
> könntest und der Beweis dafür nicht viel länger oder
> schwerer wäre!)
> Denn dann benutzt Du das noch und bist fertig!
Das habe ich sogar schonmal in einer Übungsaufgabe bewiesen. Dann sollte ich es eigentlich direkt verwenden dürfen. Der beweis dafür war aber nicht wirklich lang, vll schreib ich ihn nochmal hin.
> Ergänzung: Setzt Du bei der Dreiecksungleichung speziell
> [mm]z_n=0[/mm] ([mm]n \in \IN[/mm])
> ein - beachte, dass dann [mm](z_n)_n \in \partial^\infty[/mm] gilt -
> so steht da
> [mm]d_\infty(x,y) \le \sup\{|x_n|:\;\;n \in \IN\}+\sup\{|y_n|:\;\;n \in \IN\}\,.[/mm]
>
> Daraus folgt insbesondere, dass [mm]d_\infty(x,y)=\infty[/mm] für
> [mm]x,y \in \partial^\infty[/mm]
> NICHT gelten kann - warum?
Weil dann $ [mm] d_\infty(x,y)=\infty [/mm] $ wieder beschränkt ist.
Denn die folge [mm] x_n [/mm] ist nach vorraussetzung beschränkt, somit exstiert das supremum dieser folge. Das gleiche gilt für [mm] y_n. [/mm] Da
$ [mm] d_\infty(x,y) \le \sup\{|x_n|:\;\;n \in \IN\}+\sup\{|y_n|:\;\;n \in \IN\}\,. [/mm] $ gilt, ist [mm] d_\infty(x,y) [/mm] beschränkt, oder ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:54 So 28.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi Sandy,
> > > Zu (1):
> > >
> > > [mm]sup\{|x_n-y_n|\}[/mm] ist für mich aufgrund der
> > > Betragsdefinition trivial.
> >
> > für mich auch, denn da steht keine Aussage. Du sollst
> > zeigen: Für alle [mm]x=(x_n)_n[/mm]
> > und [mm]y=(y_n)_n[/mm] mit [mm]x,y \in \partial^\infty[/mm] (schreibt ihr da
> > wirklich [mm]\partial[/mm]?) folgt [mm]\sup\{|x_n-y_n|: n \in \IN\} \ge 0\,.[/mm]
> > Das ist in der Tat trivial, weil für eine Menge [mm]M \subseteq \IR[/mm]
> > sogar leicht einzusehen ist:
> > Ist [mm]M \subseteq [0,\infty)\,,[/mm] so folgt sogar [mm]\inf(M) \ge 0\,.[/mm]
> > Und sicherlich gilt [mm]\sup (M) \ge \inf(M)\,,[/mm] wobei man für
> > nach oben unbeschränkte Mengen [mm]\sup(M)=\infty[/mm] setzen
> > würde. Aber das interessiert
> > Dich hier sowieso nicht - warum? (Darauf komme ich
> gleich
> > auch nochmal
> > zurück!)
>
> Weil unsere Menge nach vorraussetzung beschränkt ist.
> Wäre sie nämlich nach oben unbeschränkt, so würde das
> supremum garnicht erst exestieren.
"existieren"
Na, ganz trivial ist es nicht, dass aus $x,y [mm] \in \partial^\infty$ [/mm] auch [mm] $d_\infty(x,y) [/mm] < [mm] \infty$ [/mm] folgt.
Das folgt, weil [mm] $\sup\{|x_n|: \;\;n \in \IN\} [/mm] < [mm] \infty$ [/mm] für [mm] $x=(x_n)_n \in \partial^\infty$ [/mm] und [mm] $y=(y_n)_n,\;0=(0)_n \in \partial^\infty$
[/mm]
[mm] $$d_\infty(x,y) \le d_\infty(x,0)+d_\infty(0,y) \le \sup\{|x_n|:\;\;n \in \IN\}+\sup\{|y_n|:\;\;n \in \IN\}\,.$$
[/mm]
Das ist aber vermutlich das, was Du meinst. Aber wenn Du das "so" kurz
sagt, muss man ja raten, was Du meinst oder meinen könntest. Daher
lieber ausführlich sowas hinschreiben!
>
> >
> > > Also was soll ich da großartig zeigen ?
> >
> > Etwa, dass [mm]\{|x_n-y_n|: n \in \IN\} \subseteq [0,\infty)\,.[/mm]
> > Ich weiß, das ist trivial, dann
> > schreibe halt nur den Satz hin, dass das offensichtlich
> > gilt und dass
> > daraus schon [mm]d_\infty(x,y) \in [0,\infty][/mm] folgt (dann
> > solltest Du kurz begründen,
> > warum aber [mm]=\infty[/mm] nicht sein kann, oder aber Du sagst,
> > dass sich aus
> > den folgenden Überlegungen ergibt, dass das nicht geht!)
>
> Okay :)
Du siehst ja oben: Mit der Dreiecksungleichung sieht man das auch - man
muss halt [mm] $d_\infty(x,0) [/mm] < [mm] \infty$ [/mm] für [mm] $x=(x_n)_n,\,0=(0)_n \in \partial^\infty\,.$
[/mm]
>
> > > Zu (2):
> > >
> > > Die symmetrie ist aufgrund des Betrags auch gegeben, also
> > > was soll ich da noch zeigen ?
> >
> > Auch hier kannst Du das so schreiben: Da für alle [mm]r,s \in \IR[/mm]
> > halt [mm]|r-s|=|s-r|\,[/mm]
> > gilt, folgt sofort [mm]d_\infty(x,y)=d_\infty(y,x)\,.[/mm]
>
> Gut, das habe ich jetzt auch so gemacht.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> > > Zu (3):
> > >
> > > [mm]sup\{|x_n-y_n\}[/mm] = [mm]sup\{|x_n - z_n + z_n - y_n\} \le sup\{|x_n - z_n|\}[/mm]
> > > + [mm]sup\{z_n - y_n\}[/mm]
> >
> > Am Ende meinst Du [mm]\sup\{\red{|}z_n-y_n\red{|}\}\,.[/mm]
> > Übrigens schreibt ihr hier
> > anscheinend [mm]\sup \{x_n\}:=\sup\{x_n:\;\;n \in \IN\}\,.[/mm]
> Ich
> > finde das sehr unschön,
> > denn [mm]\{x_n\}[/mm] ist eigentlich eine einelementige Menge.
> > Schreibe wenigstens
> > vielleicht eher sowas wie [mm]\sup_n \{x_n\}\,.[/mm]
> >
> > > Als einfach dreiecksungleichung benutzen oder wie ?
> >
> > Naja, das ist schon richtig. Die Logik ist doch aber
> > eigentlich so:
> > Für jedes [mm]n \in \IN[/mm] gilt
> > [mm]|x_n-y_n| \le |x_n-z_n|+|z_n-y_n|\,.[/mm]
> > Daraus folgt
> > [mm]\sup\{|x_n-y_n|:\;\;n \in \IN\} \le \sup\{|x_n-z_n|+|z_n-y_n|:\;\;n \in \IN\}\,.[/mm]
> > (Warum?)
> >
> > Hast Du eine Idee, wie man [mm]\sup\{a+b:\;\;a \in A,\;b \in B\} \le \sup(A)+\sup(B)[/mm]
>
> >
> > beweisen kann? (Du brauchst das hier "nur" für nach oben
> > beschränkte
> > Mengen [mm]A,B\,,[/mm] auch, wenn Du die allgemeinere Aussage
> auch
> > beweisen
> > könntest und der Beweis dafür nicht viel länger oder
> > schwerer wäre!)
> > Denn dann benutzt Du das noch und bist fertig!
>
> Das habe ich sogar schonmal in einer Übungsaufgabe
> bewiesen. Dann sollte ich es eigentlich direkt verwenden
> dürfen.
Würde ich auch machen, mit Verweis auf die Übungsaufgabe!
> Der beweis dafür war aber nicht wirklich lang,
> vll schreib ich ihn nochmal hin.
Naja, der geht so: Für alle $a [mm] \in [/mm] A$ und $b [mm] \in [/mm] B$ ist (weil [mm] $\sup(A)$ [/mm] obere Schranke für [mm] $A\,$
[/mm]
und [mm] $\sup(B)$ [/mm] obere Schranke für [mm] $B\,$ [/mm] sind)
$$a+b [mm] \le (\sup(A)) [/mm] +b [mm] \le \sup(A) \;+\;\sup(B)\,,$$
[/mm]
also ist [mm] $\sup(A)+\sup(B)$ [/mm] eine obere Schranke für [mm] $A+B:=\{a+b:\;\;a \in A \text{ und }b \in B\}\,.$ [/mm] Es
folgt [mm] $\sup(A+B) \le \sup(A)\;+\;\sup(B)$ [/mm] nach Definition des Supremums als
KLEINSTE obere Schranke!
> > Ergänzung: Setzt Du bei der Dreiecksungleichung speziell
> > [mm]z_n=0[/mm] ([mm]n \in \IN[/mm])
> > ein - beachte, dass dann [mm](z_n)_n \in \partial^\infty[/mm] gilt -
> > so steht da
> > [mm]d_\infty(x,y) \le \sup\{|x_n|:\;\;n \in \IN\}+\sup\{|y_n|:\;\;n \in \IN\}\,.[/mm]
>
> >
> > Daraus folgt insbesondere, dass [mm]d_\infty(x,y)=\infty[/mm] für
> > [mm]x,y \in \partial^\infty[/mm]
> > NICHT gelten kann - warum?
>
> Weil dann [mm]d_\infty(x,y)=\infty[/mm] wieder beschränkt ist.
Die Aussage macht zum einen keinen Sinn (was heißt, dass eine Gleichung
beschränkt ist? Oder meinst Du, dass [mm] $d_\infty(x,y) [/mm] < [mm] \infty$ [/mm] sein müsste, wenn
$x,y [mm] \in \partial^\infty$? [/mm] Das wollen wir doch gerade zeigen...)
> Denn die folge [mm]x_n[/mm]
Man sollte besser von "der Folge [mm] $(x_n)_n$" [/mm] reden. Denn beispielsweise schreibe
ich oben [mm] $x=(x_n)_n \in \partial^\infty$ [/mm] - ziemlich verwirrend wäre es, wenn ich das
mit [mm] $x=x_n \in \partial^\infty$ [/mm] schreiben würde - denn [mm] $x_n \in \partial^\infty$ [/mm] wäre eigentlich so zu lesen,
dass für jedes [mm] $n\,$ [/mm] auch [mm] $x_n$ [/mm] eine Folge in [mm] $\partial^\infty$ [/mm] ist, also [mm] $x_n=(x_{m}(n))_m$...
[/mm]
> ist nach vorraussetzung beschränkt,
> somit exstiert das supremum dieser folge. Das gleiche gilt
> für [mm]y_n.[/mm] Da
>
> [mm]d_\infty(x,y) \le \sup\{|x_n|:\;\;n \in \IN\}+\sup\{|y_n|:\;\;n \in \IN\}\,.[/mm]
> gilt, ist [mm]d_\infty(x,y)[/mm] beschränkt, oder ?
Ja, damit bin ich einverstanden, genauer:
Nach Voraussetzung ist [mm] $\sup\{|x_n|:\;\;n \in \IN\} \in \red{\IR}$ [/mm] (eigentlich sogar in [mm] $[0,\infty)$) [/mm] wegen [mm] $(x_n)_n \in \partial^\infty\,.$ [/mm]
Analog [mm] $\sup\{|y_n|:\;\;n \in \IN\} \in \red{\IR}$ [/mm] und daher auch
[mm] $$\sup\{|x_n|:\;\;n \in \IN\}+\sup\{|y_n|:\;\;n \in \IN\} \in \red{\IR}\,.$$
[/mm]
(Wie gesagt: Hier kannst Du [mm] $\red{\IR}$ [/mm] auch überall durch [mm] $[0,\infty)$ [/mm] ersetzen!)
Und Du kannst auch [mm] $\sup\{|x_n|:\;\;n \in \IN\}=d_\infty(x,0)$ [/mm] schreiben mit [mm] $0:=(0)_n$ [/mm] und
unter Beachtung von [mm] $(0)_n \in \partial^\infty\,.$ [/mm] Nur, damit Du Dich nicht wunderst, warum
sowas nun hier oben steht...
Gruß,
Marcel
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