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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:12 Mi 23.11.2011 | | Autor: | Laura87 |
| Aufgabe | Untersuchen Sie, welche der unten genannten Folgen konvergieren und bestimmen Sie gegebenfalls ihren Grenzwert:
a) Sei X= [mm] \IQ, [/mm] d(x,y)=|x-y| für alle x,y [mm] \in \IQ [/mm] und [mm] (x_n)_{n\in \IN} [/mm] eine Folge rationaler Zahlen, die gegen wurzel 2 konvergiert.
b) Sei X= [mm] \IR^2, d(a,b)=max{||a_1-b_1|,|a_2-b_2|} [/mm] für alle [mm] a=(a_1,a_2),b=(b_1,b_2) \in \IR^2 [/mm] und [mm] x_n=(n, [/mm] 1+ [mm] \bruch{1}{n}) [/mm] für alle n [mm] \in \IN
[/mm]
c) Sei X=C([0,1])={f:[0,1] | f ist stetig} [mm] d(f,g)=sup_{x\in [0,1]}|f(x)-g(x)| [/mm] und [mm] f_n(x)= \bruch{x}{n} [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] [0,1] und alle n [mm] \in \IN [/mm] |
Guten Morgen,
könnt ihr bitte mal schauen, ob das, was ich mir bis jetzt überlegt habe, richtig ist?
Wir hatten folgende Def.:
[mm] (x_n)_{n\in \IN} [/mm] in X konv. gegen x, wemm [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists n_0 \in \IN: \forall >n_0: d(x_n,x)< \varepsilon
[/mm]
a) Aus der Aufgabenstellung wissen wir, dass die Folge [mm] x_n [/mm] gegen [mm] \wurzel{2} [/mm] konvergiert. [mm] \wurzel{2} [/mm] ist jedoch irrational, liegt also nicht in [mm] \IQ [/mm] und hieraus folgt, dass es so ein x nicht gibt. Insgesammt konv. die Folge in [mm] \IQ [/mm] also nicht.
b) [mm] x_n [/mm] konv, gegen [mm] (\infty,1) [/mm] (n gegen unendlich und 1+1/n gegen 1)
hieraus folgt:
[mm] d((n,1+\bruch{1}{n}),(\infty,1))=max{|n-\infty|,|1+\bruch{1}{n}|}=
[/mm]
ab hier komme ich leider nicht weiter.
Gruss Laura
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> Untersuchen Sie, welche der unten genannten Folgen
> konvergieren und bestimmen Sie gegebenfalls ihren
> Grenzwert:
>
> a) Sei X= [mm]\IQ,[/mm] d(x,y)=|x-y| für alle x,y [mm]\in \IQ[/mm] und
> [mm](x_n)_{n\in \IN}[/mm] eine Folge rationaler Zahlen, die gegen
> wurzel 2 konvergiert.
>
> b) Sei X= [mm]\IR^2, d(a,b)=max{||a_1-b_1|,|a_2-b_2|}[/mm] für alle
> [mm]a=(a_1,a_2),b=(b_1,b_2) \in \IR^2[/mm] und [mm]x_n=(n,[/mm] 1+
> [mm]\bruch{1}{n})[/mm] für alle n [mm]\in \IN[/mm]
>
> c) Sei X=C([0,1])={f:[0,1] | f ist stetig} [mm]d(f,g)=sup_{x\in [0,1]}|f(x)-g(x)|[/mm]
> und [mm]f_n(x)= \bruch{x}{n}[/mm] für alle x [mm]\in[/mm] [0,1] und alle n
> [mm]\in \IN[/mm]
> Guten Morgen,
>
> könnt ihr bitte mal schauen, ob das, was ich mir bis jetzt
> überlegt habe, richtig ist?
>
>
> Wir hatten folgende Def.:
> [mm](x_n)_{n\in \IN}[/mm] in X konv. gegen x, wemm [mm]\forall \varepsilon[/mm]
> > 0 [mm]\exists n_0 \in \IN: \forall >n_0: d(x_n,x)< \varepsilon[/mm]
>
> a) Aus der Aufgabenstellung wissen wir, dass die Folge [mm]x_n[/mm]
> gegen [mm]\wurzel{2}[/mm] konvergiert. [mm]\wurzel{2}[/mm] ist jedoch
> irrational, liegt also nicht in [mm]\IQ[/mm] und hieraus folgt, dass
> es so ein x nicht gibt. Insgesammt konv. die Folge in [mm]\IQ[/mm]
> also nicht.
stimmt. Dabei wird benutzt, dass der Grenzwert in [mm] \IR [/mm] eindeutig ist, es somit also kein "weiteres" [mm] x\in\IQ [/mm] geben kann, das die bedingung erfüllt.
>
> b) [mm]x_n[/mm] konv, gegen [mm](\infty,1)[/mm] (n gegen unendlich und 1+1/n
> gegen 1)
>
> hieraus folgt:
>
> [mm]d((n,1+\bruch{1}{n}),(\infty,1))=max{|n-\infty|,|1+\bruch{1}{n}|}=[/mm]
lim [mm] x_n=\infty [/mm] ist keine Konvergenz im eigentlichen Sinn, somit ist die Folge nicht konvergent. [mm] |n-\infty| [/mm] ist unendlich für alle n. Das mit dem [mm] <\epsilon [/mm] funktioniert nur bei endlichen Grenzwerten
>
> ab hier komme ich leider nicht weiter.
>
> Gruss Laura
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:43 Mi 23.11.2011 | | Autor: | Laura87 |
Hallo nochmal,
danke als erstes für deine schnelle Antwort und Korrektur.
Bei der c brauche ich einen Anstoß.
Also ich weiß nur für ein festes x mit 0<x<1 konv. [mm] f_n(x) [/mm] gegen 0
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:45 Mi 23.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo nochmal,
>
> danke als erstes für deine schnelle Antwort und
> Korrektur.
>
> Bei der c brauche ich einen Anstoß.
>
> Also ich weiß nur für ein festes x mit 0<x<1 konv. [mm]f_n(x)[/mm]
> gegen 0
Auch für x=0 und x=1. Das ist die punktweise Konvergenz.
Zeige: [mm] $d(f_n,0)=1/n$
[/mm]
FRED
>
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:57 Mi 23.11.2011 | | Autor: | Laura87 |
Also
[mm] d(f_n,0)=max|\bruch{x}{n}-0|=max|\bruch{x}{n}|=max |\bruch{1}{n}| [/mm] für x=1
dies konv. gegen 0 also konv. die Folge insgesamt.
Oder? Also ich glaube, dass kanns nicht sein  Ist glaube ich quatsch, was ich gemacht habe.
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> Also
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> [mm]d(f_n,0)=max|\bruch{x}{n}-0|=max|\bruch{x}{n}|=max |\bruch{1}{n}|[/mm]
> für x=1
naja, formal ist das nicht ganz sauber, besser ist:
[mm] d(f_n,0)=sup_{x\in[0,1]}|\bruch{x}{n}-0|=sup_{x\in[0,1]}|\bruch{x}{n}|=\frac{1}{n}
[/mm]
>
> dies konv. gegen 0 also konv. die Folge insgesamt.
>
> Oder? Also ich glaube, dass kanns nicht sein Ist glaube
> ich quatsch, was ich gemacht habe.
>
>
nein, kein Quatsch. Wie du richtig gerechnet hast, konvergiert die Folge gegen die Nullfunktion.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:07 Mi 23.11.2011 | | Autor: | Laura87 |
Suuuper vielen dank für die Hilfestellung!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:29 Mi 23.11.2011 | | Autor: | fred97 |
Zu b)
Sei [mm] b=(b_1,b_2) \in \IR^2 [/mm] .
Berechne zunächst [mm] d(x_n,b).
[/mm]
Dann solltest Du feststellen, dass für hinreichend großes n gilt:
[mm] d(x_n,b)=n-b_1.
[/mm]
Kann dann [mm] (x_n) [/mm] gegen b konvergieren ?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:38 Mi 23.11.2011 | | Autor: | Laura87 |
danke für den Hinweis, es wird formal schöner, wenn ich es so berechne und aufschreibe!
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