Metrik, Norm < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Zeigen Sie:
1) Es gibt eine Norm auf X die die Metrik d induziert?
2) Ist die diskrete Metrik auf X [mm] \not= [/mm] {0} von einer Norm induziert? |
Meine Ansätze:
Zu 1) Ich denke zu zeigen ist d(x,y) = [mm] \parallel x-y\parallel.
[/mm]
Welche Definition muss ich dann nachweisen, die Norm- oder die vom
metrischen Raum?
Zu 2) Da weiß ich keinen konkrten Ansatz.....
Vielen Dank für eure Hilfe schonmal!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:57 Sa 21.05.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Was ist denn X genau bei dir? Oder ist das nicht genauer spezifiziert?
1.)
Ja, als Metrik kann man sich $d(x,y)=||x-y||$ definieren. Jede Norm induziert so eine Metrik auf X.
Du musst nun die Metrikeigenschaften nachweisen, also
i) [mm] $d(x,y)\ge [/mm] 0$ und $d(x,y)=0 [mm] \gdw [/mm] x=y$
ii) $d(x,y)=d(y,x)$
iii) [mm] $d(x,y)\le [/mm] d(x,z)+d(z,y)$
(wobei man sich [mm] $d(x,y)\ge [/mm] 0$ streng genommen sparen könnte, weil es aus dem Rest folgt).
Gegen sind dabei die Normeigenschaften.
2.)
Geh mal davon aus, dass die diskrete Metrik von einer Norm induziert sei.
Also $d(x,y)=||x-y||$, wobei d hier die diskrete Metrik sein soll. Dann müsste für die Norm ja $||0||=0$ gelten (das ist ok), aber $||x||=1$ für alle $x [mm] \not= [/mm] 0$.
Das beißt sich aber mit der Normeigenschaft [mm] ||\alpha*x||=|\alpha|*||x||.
[/mm]
|
|
|
| |
|
Aha. okay. also die 1. Aufgabe habe ich jetzt hinbekommen.
Aber ich versteh bei 2.) nicht den Widerspruch bei der diskreten Metrik.
Kannste du mir es bitte noch genauer erläutern?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:58 Sa 21.05.2011 | | Autor: | Teufel |
Ok.
Also angenommen die diskrete emetrik wird von einer Norm $||.||$ induziert.
Dann muss für die Norm gelten:
$||0||=0$ und $||x||=1$ für $x [mm] \not=0$. [/mm] Dann nimm doch einfach mal [mm] \alpha=2, [/mm] x=1.
Dann hast du [mm] $1=||2*1||\underbrace{=}_{Normeigenschaft}|2|*||1||=2*1=2$.
[/mm]
|
|
|
|
