matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenStetigkeitMetrik auf N
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Deutsch • Englisch • Französisch • Latein • Spanisch • Russisch • Griechisch
Forum "Stetigkeit" - Metrik auf N
Metrik auf N < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Stetigkeit"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Metrik auf N: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:05 Fr 05.04.2013
Autor: Labrinth

Aufgabe
Auf [mm] $\mathbb{N}\setminus\{0\}$ [/mm] sei eine Metrik [mm]d[/mm] gegeben durch
[mm] d(m,n)=\begin{cases}\dfrac{m+n}{mn}\,,&m\not=n\,,\\0\,,&m=n\,.\end{cases} [/mm]
Man beschreibe [mm] $\bar{\mathbb{B}}(n,1+1/n) [/mm] (den abgeschlossenen Ball um $n$ mit Radius $1+1/n$).

Guten Tag!

Kann mir jemand sagen, ob ich mich wirklich nicht verrechnet habe:

[mm] $m\in [/mm] B$
[mm] $\iff (m+n)/mn=1/m+1/n\le1+1/n$ [/mm]
[mm] $\iff 1/m\le [/mm] 1$
[mm] $\iff m\in\IN^+$ [/mm]

Für $m=n$ ist ja klar.

Stimmt das?

Beste Grüße,
Labrinth

        
Bezug
Metrik auf N: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:35 Fr 05.04.2013
Autor: Marcel

Hallo!

> Auf [mm]\mathbb{N}\setminus\{0\}[/mm] sei eine Metrik [mm]d[/mm] gegeben
> durch
>  
> [mm]d(m,n)=\begin{cases}\dfrac{m+n}{mn}\,,&m\not=n\,,\\0\,,&m=n\,.\end{cases}[/mm]
>  Man beschreibe [mm]$\bar{\mathbb{B}}(n,1+1/n)[/mm] (den
> abgeschlossenen Ball um $n$ mit Radius $1+1/n$).
>  Guten Tag!
>  
> Kann mir jemand sagen, ob ich mich wirklich nicht
> verrechnet habe:

Für $m [mm] \in \IN \setminus \{n\}$ [/mm] gilt

> [mm]m\in B[/mm]

[mm] $$\iff [/mm] d(m,n) [mm] \le [/mm] 1+1/n$$

>  [mm]\iff (m+n)/mn=1/m+1/n\le1+1/n[/mm]
>  [mm]\iff 1/m\le 1[/mm]
>  [mm]\iff m\in\IN^+[/mm]
>  
> Für [mm]m=n[/mm] ist ja klar.

[ok]

Du meinst, dass [mm] $n\,$ [/mm] eh in dem angegebenen Ball liegt.

> Für m=n ist ja klar.

Stimmt das?

Ja: Fazit ist: Der abgeschlossene Ball ist einfach ganz [mm] $\IN\setminus \{0\}\,.$ [/mm]

P.S. Was wäre denn der entsprechende offene Ball?

P.P.S. Hast Du auch bewiesen, dass [mm] $d\,$ [/mm] eine Metrik auf [mm] $\IN \setminus \{0\}$ [/mm] ist

Gruß,
  Marcel

Bezug
                
Bezug
Metrik auf N: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:42 Fr 05.04.2013
Autor: Labrinth

Hallo,
> Hallo!
>  
> > Auf [mm]\mathbb{N}\setminus\{0\}[/mm] sei eine Metrik [mm]d[/mm] gegeben
> > durch
>  >  
> >
> [mm]d(m,n)=\begin{cases}\dfrac{m+n}{mn}\,,&m\not=n\,,\\0\,,&m=n\,.\end{cases}[/mm]
> >  Man beschreibe [mm]$\bar{\mathbb{B}}(n,1+1/n)[/mm] (den

> > abgeschlossenen Ball um [mm]n[/mm] mit Radius [mm]1+1/n[/mm]).
>  >  Guten Tag!
>  >  
> > Kann mir jemand sagen, ob ich mich wirklich nicht
> > verrechnet habe:
>  
> Für [mm]m \in \IN \setminus \{n\}[/mm] gilt
>  
> > [mm]m\in B[/mm]
>  
> [mm]\iff d(m,n) \le 1+1/n[/mm]
>  
> >  [mm]\iff (m+n)/mn=1/m+1/n\le1+1/n[/mm]

>  >  [mm]\iff 1/m\le 1[/mm]
>  >  [mm]\iff m\in\IN^+[/mm]
>  
> >  

> > Für [mm]m=n[/mm] ist ja klar.
>  
> [ok]
>  
> Du meinst, dass [mm]n\,[/mm] eh in dem angegebenen Ball liegt.
>  
> > Für m=n ist ja klar.
>  
> Stimmt das?

Ja, das meinte ich.

> Ja: Fazit ist: Der abgeschlossene Ball ist einfach ganz
> [mm]\IN\setminus \{0\}\,.[/mm]
>  
> P.S. Was wäre denn der entsprechende offene Ball?

[mm] \IN\setminus\{0,1\}, [/mm] oder?

> P.P.S. Hast Du auch bewiesen, dass [mm]d\,[/mm] eine Metrik auf [mm]\IN \setminus \{0\}[/mm]
> ist

Ja, das habe ich schon.

> Gruß,
>    Marcel

Danke,
Labrinth

Bezug
                        
Bezug
Metrik auf N: edit: Ausnahme!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:15 Fr 05.04.2013
Autor: Marcel

Hi,

> Hallo,
>  > Hallo!

>  >  
> > > Auf [mm]\mathbb{N}\setminus\{0\}[/mm] sei eine Metrik [mm]d[/mm] gegeben
> > > durch
>  >  >  
> > >
> >
> [mm]d(m,n)=\begin{cases}\dfrac{m+n}{mn}\,,&m\not=n\,,\\0\,,&m=n\,.\end{cases}[/mm]
> > >  Man beschreibe [mm]$\bar{\mathbb{B}}(n,1+1/n)[/mm] (den

> > > abgeschlossenen Ball um [mm]n[/mm] mit Radius [mm]1+1/n[/mm]).
>  >  >  Guten Tag!
>  >  >  
> > > Kann mir jemand sagen, ob ich mich wirklich nicht
> > > verrechnet habe:
>  >  
> > Für [mm]m \in \IN \setminus \{n\}[/mm] gilt
>  >  
> > > [mm]m\in B[/mm]
>  >  
> > [mm]\iff d(m,n) \le 1+1/n[/mm]
>  >  
> > >  [mm]\iff (m+n)/mn=1/m+1/n\le1+1/n[/mm]

>  >  >  [mm]\iff 1/m\le 1[/mm]
>  >  
> >  [mm]\iff m\in\IN^+[/mm]

>  >  
> > >  

> > > Für [mm]m=n[/mm] ist ja klar.
>  >  
> > [ok]
>  >  
> > Du meinst, dass [mm]n\,[/mm] eh in dem angegebenen Ball liegt.
>  >  
> > > Für m=n ist ja klar.
>  >  
> > Stimmt das?
>  Ja, das meinte ich.

[ok]

>  > Ja: Fazit ist: Der abgeschlossene Ball ist einfach ganz

> > [mm]\IN\setminus \{0\}\,.[/mm]
>  >  
> > P.S. Was wäre denn der entsprechende offene Ball?
>  [mm]\IN\setminus\{0,1\},[/mm] oder?

[ok] Denn es würde am Ende $m > [mm] 1\,$ [/mm] bei der Rechnung rauskommen.
(Übrigens benutzt ihr anscheinend $0 [mm] \in \IN$ [/mm] - bei mir ist es, wenn ich nichts
anderes sage, eigentlich so, dass ich $0 [mm] \notin \IN$ [/mm] habe.)

Edit: Wobei es eine Ausnahme gibt: Für [mm] $n=1\,$ [/mm] kommt doch wieder
[mm] $\IN \setminus \{0\}$ [/mm] raus!


>  > P.P.S. Hast Du auch bewiesen, dass [mm]d\,[/mm] eine Metrik auf

> [mm]\IN \setminus \{0\}[/mm]
>  > ist

>  Ja, das habe ich schon.

Sehr gut! [ok]

> Danke,
>  Labrinth

Gerne!

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                
Bezug
Metrik auf N: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:05 Fr 05.04.2013
Autor: Labrinth

Hallo,

>  >  >  
> > > > Auf [mm]\mathbb{N}\setminus\{0\}[/mm] sei eine Metrik [mm]d[/mm] gegeben
> > > > durch
>  >  >  >  
> > > >
> > >
> >
> [mm]d(m,n)=\begin{cases}\dfrac{m+n}{mn}\,,&m\not=n\,,\\0\,,&m=n\,.\end{cases}[/mm]
> > > >  Man beschreibe [mm]$\bar{\mathbb{B}}(n,1+1/n)[/mm] (den

> > > > abgeschlossenen Ball um [mm]n[/mm] mit Radius [mm]1+1/n[/mm]).
>  >  >  >  Guten Tag!
>  >  >  >  
> > > > Kann mir jemand sagen, ob ich mich wirklich nicht
> > > > verrechnet habe:
>  >  >  
> > > Für [mm]m \in \IN \setminus \{n\}[/mm] gilt
>  >  >  
> > > > [mm]m\in B[/mm]
>  >  >  
> > > [mm]\iff d(m,n) \le 1+1/n[/mm]
>  >  >  
> > > >  [mm]\iff (m+n)/mn=1/m+1/n\le1+1/n[/mm]

>  >  >  >  [mm]\iff 1/m\le 1[/mm]
>  
> >  >  

> > >  [mm]\iff m\in\IN^+[/mm]

>  >  >  
> > > >  

> > > > Für [mm]m=n[/mm] ist ja klar.
>  >  >  
> > > [ok]
>  >  >  
> > > Du meinst, dass [mm]n\,[/mm] eh in dem angegebenen Ball liegt.
>  >  >  
> > > > Für m=n ist ja klar.
>  >  >  
> > > Stimmt das?
>  >  Ja, das meinte ich.
>  
> [ok]
>  
> >  > Ja: Fazit ist: Der abgeschlossene Ball ist einfach ganz

> > > [mm]\IN\setminus \{0\}\,.[/mm]
>  >  >  
> > > P.S. Was wäre denn der entsprechende offene Ball?
>  >  [mm]\IN\setminus\{0,1\},[/mm] oder?
>  
> [ok] Denn es würde am Ende [mm]m > 1\,[/mm] bei der Rechnung
> rauskommen.
> (Übrigens benutzt ihr anscheinend [mm]0 \in \IN[/mm] - bei mir ist
> es, wenn ich nichts
>  anderes sage, eigentlich so, dass ich [mm]0 \notin \IN[/mm] habe.)

Ich wollte es nur ausdrücklich machen. Philosophisch würde ich auch eher [mm] $0\notin\mathbb{N}$ [/mm] vertreten. Aber in der Analysis, und auch den meisten anderen Disziplinen finde ich es doch oftmals sehr praktisch, wieviele Ausnahmen sich damit umgehen lassen. Während es in Zahlentheorie vermutlich wieder genau anders herum aussieht. Mathematisch ist es ja auch zum Glück nicht relevant.

> Edit: Wobei es eine Ausnahme gibt: Für [mm]n=1\,[/mm] kommt doch
> wieder
> [mm]\IN \setminus \{0\}[/mm] raus!

Stimmt, das übersieht man leicht.

> >  > P.P.S. Hast Du auch bewiesen, dass [mm]d\,[/mm] eine Metrik auf

> > [mm]\IN \setminus \{0\}[/mm]
>  >  > ist

>  >  Ja, das habe ich schon.
>  
> Sehr gut! [ok]
>  
> > Danke,
>  >  Labrinth
>
> Gerne!
>  
> Gruß,
>    Marcel

Beste Grüße,
Labrinth

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Stetigkeit"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]