Metrik d*(x,y) = sqrt(d(x,y)) < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei (M,d) metrischer Raum. Sei d* : M x M [mm] \to \IR_0^+, [/mm] d*(x,y) = [mm] \wurzel{d(x,y)}. [/mm] Zeigen Sie, dass d* eine Metrik auf M ist, welche äquivalent zu d is. |
Hallo.
Ich zeige zunächst, dass es sich bei d* um eine Metrik auf M handelt. Sei dafür d* definiert wie in der Voraussetzung und x,y [mm] \in [/mm] M.
(i)
1. Richtung
Sei x = y. Dann gilt d*(x,y) = [mm] \wurzel{d(x,y)} [/mm] = [mm] \wurzel{0} [/mm] = 0.
2. Richtung
Seien x,y [mm] \in [/mm] M. Damit d*(x,y) = [mm] \wurzel{d(x,y)} [/mm] = [mm] \wurzel{0} [/mm] = 0 gilt, muss nach Definition der Wurzelfunktion bereits x = y gelten.
(ii)
Seien x, y [mm] \in [/mm] M. Dann gilt d*(x,y) = [mm] \wurzel{d(x,y)} [/mm] = [mm] \wurzel{d(y,x)} [/mm] = d*(x,y). Dies gilt bereits aufgrund der Wurzelfunktion.
(iii)
Seien x, y, z [mm] \in [/mm] M. Dann gilt d*(x,z) = [mm] \wurzel{d(x,z)} \le \wurzel{d(x,y) + d(y,z)} \le \wurzel{d(x,y)} [/mm] + [mm] \wurzel{d(y,z)} [/mm] = d*(x,y) + d*(y,z).
Äquivalenz:
Zu Zeigen: Zu den gegebenen zwei Metriken d und d* auf M gebe es Konstanten [mm] c_1, c_2 [/mm] > 0 mit: c_1d(x, y) [mm] \le [/mm] d*(x, y) [mm] \le [/mm] c_2d(x, y) mit x,y [mm] \in [/mm] M. Dann sind diese Metriken äquivalent.
Hier bin ich mir leider nicht mehr so sicher. Was natürlich automatisch gilt ist d*(x,y) [mm] \le [/mm] d(x,y). Also setze [mm] c_2 [/mm] = 1. Denn das folgt bereits aus der Definition aus der Wurzelfunktion.
Die Frage ist jetzt aber wie ich [mm] c_1 [/mm] zu wählen habe. Geht das überhaupt?
Vielleicht hat ja jemand einen guten Tipp für mich.
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Vielleicht könnte man [mm] c_1 [/mm] = 1/2 setzen?!?
Denn 1/2 n [mm] \le \wurzel{n} [/mm] für alle n [mm] \in \IN.
[/mm]
Aber das ist zu einfach, oder?
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> Vielleicht könnte man [mm]c_1[/mm] = 1/2 setzen?!?
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> Denn 1/2 n [mm]\le \wurzel{n}[/mm] für alle n [mm]\in \IN.[/mm]
>
> Aber das ist zu einfach, oder?
Ja, ist es. Für eine Widerlegung der Existenz einer Konstanten [mm] $c_1>0$ [/mm] mit der gewünschten Eigenschaft siehe meine Antwort https://www.vorhilfe.de/read?i=342487
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> Sei (M,d) metrischer Raum. Sei d* : M x M [mm]\to \IR_0^+,[/mm]
> d*(x,y) = [mm]\wurzel{d(x,y)}.[/mm] Zeigen Sie, dass d* eine Metrik
> auf M ist, welche äquivalent zu d is.
> Hallo.
>
> Ich zeige zunächst, dass es sich bei d* um eine Metrik auf
> M handelt. Sei dafür d* definiert wie in der Voraussetzung
> und x,y [mm]\in[/mm] M.
>
>
> (i)
> 1. Richtung
> Sei x = y. Dann gilt d*(x,y) = [mm]\wurzel{d(x,y)}[/mm] =
> [mm]\wurzel{0}[/mm] = 0.
>
> 2. Richtung
> Seien x,y [mm]\in[/mm] M. Damit d*(x,y) = [mm]\wurzel{d(x,y)}[/mm] =
> [mm]\wurzel{0}[/mm] = 0 gilt, muss nach Definition der
> Wurzelfunktion bereits x = y gelten.
>
>
> (ii)
> Seien x, y [mm]\in[/mm] M. Dann gilt d*(x,y) = [mm]\wurzel{d(x,y)}[/mm] =
> [mm]\wurzel{d(y,x)}[/mm] = d*(x,y). Dies gilt bereits aufgrund der
> Wurzelfunktion.
>
>
> (iii)
> Seien x, y, z [mm]\in[/mm] M. Dann gilt d*(x,z) = [mm]\wurzel{d(x,z)} \le \wurzel{d(x,y) + d(y,z)} \le \wurzel{d(x,y)}[/mm]
> + [mm]\wurzel{d(y,z)}[/mm] = d*(x,y) + d*(y,z).
>
>
> Äquivalenz:
> Zu Zeigen: Zu den gegebenen zwei Metriken d und d* auf M
> gebe es Konstanten [mm]c_1, c_2[/mm] > 0 mit: c_1d(x, y) [mm]\le[/mm] d*(x,
> y) [mm]\le[/mm] c_2d(x, y) mit x,y [mm]\in[/mm] M. Dann sind diese Metriken
> äquivalent.
>
> Hier bin ich mir leider nicht mehr so sicher. Was natürlich
> automatisch gilt ist d*(x,y) [mm]\le[/mm] d(x,y). Also setze [mm]c_2[/mm] =
> 1. Denn das folgt bereits aus der Definition aus der
> Wurzelfunktion.
> Die Frage ist jetzt aber wie ich [mm]c_1[/mm] zu wählen habe. Geht
> das überhaupt?
Nein, das geht nicht. Gegenbeispiel: [mm] $\IR$ [/mm] aufgefasst als metrischer Raum mit $d(x,y) := |x-y|$. Dann ist also [mm] $d^\star(x,y)=\sqrt{|x-y|}$. [/mm] Wählen wir einmal $y=0$ fest, dann müsste, wenn es ein solches [mm] $c_1$ [/mm] gäbe, für alle [mm] $x\in\IR$ [/mm] gelten:
[mm]c_1|x|\leq \sqrt{|x|}[/mm]
Was nicht möglich ist: ganz gleich wie klein, $>0$ Du [mm] $c_1$ [/mm] auch wählen magst, das schnellere Wachstum von $|x|$ wird dafür sorgen, dass diese Ungleichung für genügend grosses $x$ verletzt wird.
> Vielleicht hat ja jemand einen guten Tipp für mich.
Es ist zwar richtig, dass aus der Existenz jener beiden Konstanten [mm] $c_1$ [/mm] und [mm] $c_2$ [/mm] die Äquivalenz der Metriken $d$ und [mm] $d^\star$ [/mm] folgen würde, aber die Umkehrung gilt nicht: wenn zwei Metriken äquivalent sind, braucht es solche Konstanten [mm] $c_1$ [/mm] und [mm] $c_2$ [/mm] nicht zu geben...
Äquivalenz von Metriken ist eben so definiert: zwei Metriken $d$ und [mm] $d^\star$ [/mm] heissen äquivalent, wenn Sie dieselben offenen Mengen erzeugen.
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Hmmh.
Ja, das mit der Äquivalenz der Metrik steht auch in unserem Skript, aber auch das Lemma was ich verwenden wollte.
Wie kann ich denn zeigen, dass die beiden Metriken dieselben offenen Mengen erzeugen?
PS. Ist den der Beweis zur Metrik soweit korrekt?
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> Hmmh.
Heisst dies, dass Du mit dem Gegenbeispiel einverstanden bist oder nicht? - Und wenn nicht, weshalb nicht?
> Ja, das mit der Äquivalenz der Metrik steht auch in unserem
> Skript, aber auch das Lemma was ich verwenden wollte.
Steht in dem Lemma nur, dass aus der Existenz der beiden Konstanten die Äquivalenz der Metriken folgt (wäre richtig)? - Oder steht, dass zwei Metriken genau dann äquivalent sind, wenn es solche zwei Konstanten gibt (wäre meiner unmassgeblichen Meinung nach der reinste Müll - siehe mein Gegenbeispiel)?
> Wie kann ich denn zeigen, dass die beiden Metriken
> dieselben offenen Mengen erzeugen?
Du müsstest zeigen, dass es zu jeder [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] eines Punktes $x$ bezüglich der Metrik $d$ eine [mm] $\varepsilon^\star$-Umgebung [/mm] von $x$ bezüglich der Metrik [mm] $d^\star$ [/mm] gibt, die in ihr enthalten ist. Bzw. auch in der umgekehrten Richtung: dass es zu jeder [mm] $\varepsilon^\star$-Umgebung [/mm] von $x$ bezüglich [mm] $d^\star$ [/mm] eine [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] von $x$ bezüglich $d$ gibt, die in ihr enthalten ist.
Wichtig für die erzeugte topologische Struktur ist ja die Beziehung dieser beiden Metriken nur für kleine [mm] $\varepsilon$ [/mm] bzw. [mm] $\varepsilon^\star$.
[/mm]
> PS. Ist den der Beweis zur Metrik soweit korrekt?
Ich denke schon, hätte aber an der Detailformulierung das eine oder andere zu Nörgeln...
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Hallo.
Ich sehe also dein Gegenbeispiel schon ein und im Skript steht es auch genauso wie du es gesagt hast. Das ist natürlich nun sehr schade, da es ja doch ein wenig komplizierter wird...
Ich komme mit diesen ganzen Begriffen einfach nicht mehr klar.
Laut Skript gilt: Eine Teilmenge M eines metrischen Raumes X heißt offen, wenn sie nur innere Punkt besitzt. Sei X ein metrischer Raum und M [mm] \subset [/mm] X eine Teilmenge. Dann heißt ein Punkt x [mm] \in [/mm] M innerer Punkt von M, wenn eine Umgebung U von x existiert, so dass U [mm] \subset [/mm] M.
Ich kann nur damit überhaupt nichts anfangen, damit mir überhaupt nicht klar ist, was das eigentlich aussagt.
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> Hallo.
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> Ich sehe also dein Gegenbeispiel schon ein und im Skript
> steht es auch genauso wie du es gesagt hast. Das ist
> natürlich nun sehr schade, da es ja doch ein wenig
> komplizierter wird...
>
> Ich komme mit diesen ganzen Begriffen einfach nicht mehr
> klar.
Dies ist ein ganz natürliches (und vorübergehendes) Phänomen: kurz bevor man die Sache ganz klar sieht 
>
> Laut Skript gilt: Eine Teilmenge M eines metrischen Raumes
> X heißt offen, wenn sie nur innere Punkt besitzt. Sei X ein
> metrischer Raum und M [mm]\subset[/mm] X eine Teilmenge. Dann heißt
> ein Punkt x [mm]\in[/mm] M innerer Punkt von M, wenn eine Umgebung U
> von x existiert, so dass U [mm]\subset[/mm] M.
>
> Ich kann nur damit überhaupt nichts anfangen, damit mir
> überhaupt nicht klar ist, was das eigentlich aussagt.
Du musst herausfinden, wie eine Metrik den Umgebungsbegriff festlegt. Ich denke, das geht so: eine Menge $U$ heisst offen, wenn für alle [mm] $x\in [/mm] U$ eine [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] von $x$ existiert, die ganz in $U$ enthalten ist. Die Metrik legt also fest, welche [mm] $\varepsilon$-Umgebungen [/mm] es gibt. Daher genügt eben die Argumentation über das Verhalten der [mm] $\varepsilon$- [/mm] bzw. [mm] $\varepsilon^\star$-Umgebungen [/mm] von Punkten $x$ bezüglich den beiden Metriken $d$ und [mm] $d^\star$.
[/mm]
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> Hallo.
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> Ich sehe also dein Gegenbeispiel schon ein und im Skript
> steht es auch genauso wie du es gesagt hast. Das ist
> natürlich nun sehr schade, da es ja doch ein wenig
> komplizierter wird...
>
Lass mich zeigen, wie man zu einer [mm] $\varepsilon$-Umgebung $U^d_\varepsilon(x_0)$ [/mm] eines Punktes [mm] $x_0$ [/mm] bezüglich $d$ eine [mm] $\varepsilon^\star$-Umgebung $U^{d^\star}_{\varepsilon^\star}(x_0)$ [/mm] von [mm] $x_0$ [/mm] bezüglich [mm] $d^\star$ [/mm] finden kann, so dass gilt:
[mm]U^{d^\star}_{\varepsilon^\star}(x_0)\subseteq U^d_\varepsilon(x_0)[/mm]
Denn setzt man [mm] $\varepsilon^\star [/mm] := [mm] \sqrt{\varepsilon}$, [/mm] so folgt
[mm]x\in U^{d^\star}_{\varepsilon^\star}(x_0) \Leftrightarrow \sqrt{d(x,x_0)}< \varepsilon^\star \Leftrightarrow d(x,x_0)< \left(\varepsilon^\star\right)^2 = \varepsilon[/mm]
Dieser Teil des Gesamtbeweises der Äquivalenz der Metriken zeigt also, dass alle bezüglich $d$ offenen Mengen auch bezüglich [mm] $d^\star$ [/mm] offen sind. Nun muss man noch zeigen, dass auch alle bezüglich [mm] $d^\star$ [/mm] offenen Mengen bezüglich $d$ offen sind. - Um, dieser Beweis steht im Grunde auch schon hier...
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Okay.
Ich versuche dann mal mein Glück.
Zeige zunächst, wie man zu einer [mm] \varepsilon [/mm] -Umgebung [mm] U^d_\varepsilon(x_0) [/mm] eines Punktes [mm] x_0 [/mm] bezüglich d eine [mm] \varepsilon^\star [/mm] -Umgebung [mm] U^{d^\star}_{\varepsilon^\star}(x_0) [/mm] von [mm] x_0 [/mm] bezüglich [mm] d^\star [/mm] finden kann, so dass gilt:
[mm] U^{d^\star}_{\varepsilon^\star}(x_0)\subseteq U^d_\varepsilon(x_0)
[/mm]
Denn setzt man [mm] \varepsilon^\star [/mm] := [mm] \sqrt{\varepsilon}, [/mm] so folgt
[mm] x\in U^{d^\star}_{\varepsilon^\star}(x_0) \Leftrightarrow \sqrt{d(x,x_0)}< \varepsilon^\star \Leftrightarrow d(x,x_0)< \left(\varepsilon^\star\right)^2 [/mm] = [mm] \varepsilon
[/mm]
Dieser Teil des Gesamtbeweises der Äquivalenz der Metriken zeigt also, dass alle bezüglich d offenen Mengen auch bezüglich [mm] d^\star [/mm] offen sind.
Zeige nun, wie man zu einer [mm] \varepsilon^\star [/mm] -Umgebung [mm] U^{d^\star}_\varepsilon^\star (x_0) [/mm] eines Punktes [mm] x_0 [/mm] bezüglich [mm] d^\star [/mm] eine [mm] \varepsilon [/mm] -Umgebung [mm] U^{d}_{\varepsilon}(x_0) [/mm] von [mm] x_0 [/mm] bezüglich d finden kann, so dass gilt:
[mm] U^d_\varepsilon(x_0) \subset U^{d^\star}_{\varepsilon^\star}(x_0)
[/mm]
Denn setzt man [mm] \varepsilon:= (\varepsilon^\star)^2, [/mm] so folgt
x [mm] \in U^{d}_{\varepsilon}(x_0) \Leftrightarrow d^\star (x,x_0) [/mm] < [mm] (\varepsilon^\star)^2 \Leftrightarrow \sqrt{d(x,x_0)} [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
Dieser Teil des Gesamtbeweises der Äquivalenz der Metriken zeigt also, dass alle bezüglich [mm] d^\star [/mm] offenen Mengen auch bezüglich d offen sind.
q.e.d
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> Okay.
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> Ich versuche dann mal mein Glück.
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> Zeige zunächst, wie man zu einer [mm]\varepsilon[/mm] -Umgebung
> [mm]U^d_\varepsilon(x_0)[/mm] eines Punktes [mm]x_0[/mm] bezüglich d eine
> [mm]\varepsilon^\star[/mm] -Umgebung
> [mm]U^{d^\star}_{\varepsilon^\star}(x_0)[/mm] von [mm]x_0[/mm] bezüglich
> [mm]d^\star[/mm] finden kann, so dass gilt:
>
> [mm]U^{d^\star}_{\varepsilon^\star}(x_0)\subseteq U^d_\varepsilon(x_0)[/mm]
>
>
> Denn setzt man [mm]\varepsilon^\star[/mm] := [mm]\sqrt{\varepsilon},[/mm] so
> folgt
>
> [mm]x\in U^{d^\star}_{\varepsilon^\star}(x_0) \Leftrightarrow \sqrt{d(x,x_0)}< \varepsilon^\star \Leftrightarrow d(x,x_0)< \left(\varepsilon^\star\right)^2[/mm]
> = [mm]\varepsilon[/mm]
>
> Dieser Teil des Gesamtbeweises der Äquivalenz der Metriken
> zeigt also, dass alle bezüglich d offenen Mengen auch
> bezüglich [mm]d^\star[/mm] offen sind.
>
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> Zeige nun, wie man zu einer [mm]\varepsilon^\star[/mm] -Umgebung
> [mm]U^{d^\star}_{\varepsilon^\star} (x_0)[/mm] eines Punktes [mm]x_0[/mm]
> bezüglich [mm]d^\star[/mm] eine [mm]\varepsilon[/mm] -Umgebung
> [mm]U^{d}_{\varepsilon}(x_0)[/mm] von [mm]x_0[/mm] bezüglich d finden kann,
> so dass gilt:
>
> [mm]U^d_\varepsilon(x_0) \subset U^{d^\star}_{\varepsilon^\star}(x_0)[/mm]
>
>
> Denn setzt man [mm]\varepsilon:= (\varepsilon^\star)^2,[/mm] so
> folgt
>
> [mm]x \in U^{d}_{\varepsilon}(x_0) \Leftrightarrow d^\star (x,x_0) < (\varepsilon^\star)^2 \Leftrightarrow \sqrt{d(x,x_0)} < \varepsilon^{\red{\star}}[/mm]
>
> Dieser Teil des Gesamtbeweises der Äquivalenz der Metriken
> zeigt also, dass alle bezüglich [mm]d^\star[/mm] offenen Mengen auch
> bezüglich d offen sind.
>
> q.e.d
Ja, ich finde, dies ist im Prinzip richtig: bis auf die kleine Korrektur [mm] ($\varepsilon^{\red{\star}}$ [/mm] anstelle von [mm] $\varepsilon$), [/mm] die ich rot markiert habe.
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