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| Aufgabe | Sei s die Menge aller reellen Zahlenfolgen. Für [mm] x=(x_{n}), y=(y_{n}) \in [/mm] s werde definiert
[mm] d(x,y):=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{2^{n}}\*\bruch{|x_{n}-y_{n}|}{1+|x_{n}-y_{n}|} [/mm] .
(a.) Konvergiert die angegebene Reihe, d.h. ist die Definition korrekt?
(b.) Beweisen sie, dass d einee Metrik auf s ist.
(c.) Zeigen sie, dass die Konvergenz einer Folge [mm] (x^{(k)})=((x_{n}^{(k)})) [/mm] aus s gegen ein Element [mm] x=(x_{n}) [/mm] aus s bezüglich der Metrik d genau die Konvergenz koordinatenweise ist, d.h. es gilt:
[mm] x^{(k)}\to x(k\to\infty) \gdw x_{n}^{(k)}\to x_{n}(k\to\infty) [/mm] für alle [mm] n\in\IN
[/mm]
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Hallo zusammen,
ich hoffe es kann mir jemand bei diser Aufgabe helfen!
Bei(a.) habe ich es über das Quotientenkriterium probiert, komme aber auf keine richtige Lösung,ist der Weg überhaupt richtig?.
Bei (b.) muss ich doch eigentlich nur zeigen, dass die drei Kriterien für die METRIK gelten, bin ich dann schon damit fertig? oder muss ich diese auch noch beweisen?
Bei (c.) komme ich nicht mal auf einen Ansatz, da ich die Aufgabenstellung überhaupt nicht verstehe. Ich hoffe jemand kann mir das mal in anderen Worten erklären und ein paar TIPPS geben.
DANKE C.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:13 Di 05.12.2006 | | Autor: | SEcki |
> Bei(a.) habe ich es über das Quotientenkriterium probiert,
> komme aber auf keine richtige Lösung,ist der Weg überhaupt
> richtig?.
Naja, imo sehr, sehr umständlich, aber das könnte klappen. Was hast du versucht?
> Bei (b.) muss ich doch eigentlich nur zeigen, dass die drei
> Kriterien für die METRIK gelten, bin ich dann schon damit
> fertig? oder muss ich diese auch noch beweisen?
Zur ersten Frage: ja. Zur zweiten: ich verstehe das oder nicht, du hast lediglich die erste frage paraphrasiert ... Nur die Dreiecksungleichung ist etwas hacklig, aber machbar.
> Bei (c.) komme ich nicht mal auf einen Ansatz, da ich die
> Aufgabenstellung überhaupt nicht verstehe. Ich hoffe jemand
> kann mir das mal in anderen Worten erklären und ein paar
> TIPPS geben.
Naja, also eine Folge von Folgen konvergeirt gegen eine Grenz-Folge genau dann wenn für jede "Stelle", also für das i-te Folgenglied, gilt dass dort die i-ten Folgengleider in der Folge von Folgen genau gegen das i-te Folgengleid der Grenzfolge konvergeirt. Die smybolische Darstellung von dir scheint mir da sehr klar zu sein. Du musst hier zwei Richtungen zeigen: wenn die Folgen von Folgen konvergiert, kannst du dann aus der Metrik ablesen, dass auch dies für die Folgenglieder zählt? Wenn es für alle Folgengleider zählt, warum konvergiert die Folge von Folgen? (Hier muss etwas tricksen und die reihe geshickt aufteilen in einen teil, er eh klein ist, und einen endliochen Anfangsteil, der von den ersten n konvergenten Folgengleider abhängt.)
SEcki
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Hallo nochmal,
also ehrlich ich verstehe das überhaupt nicht! Kannst du mir vielleicht ein paar tipps oder lösungen angeben, ich steh echt total auf der leitung! Das kapiere ich nicht!!
DANKE
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Zufällig ein leidender Mathe-Student aus Dresden, der bis morgen diese Hausaufgabe abzugeben hat? ;) Falls es noch nicht zu spät sein sollte:
Also zu a:
Habs auch mit dem Quotientenkriterium gemacht, wobei du nur zeigen musst, dass die Folge [mm] 1/2^n [/mm] konvergiert, der Rest (der größere Bruch mit den Beträgen) ist sowieso stets kleiner 1.
Also Hast du |(1/2^(n+1)) / [mm] (1/2^n)| [/mm] = 1/2 < 1. Somit konvergiert diese Reihe.
zu b:
Zu zeigen, dass die Metrik stets >=0, symmetrisch und genau dann Null ist, wenn x=y, ist relativ einfach (sollteste hinkriegen, Def. anwenden).
Die Dreiecksungleichung hats allerdings in sich... Komme da immer auf einen Bruch, bei dem zu viel im Nenner steht. Also auf den Punkt pfeiff ich mal, falls es falsch ist.
Tja, und gegen d) hilft eigentlich nur ne Kanne Glühwein... -.-
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