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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:56 Sa 22.01.2005 | | Autor: | Cassius |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo Leute!
Haben jetzt mit Topologie angefangen und ich blicke echt gar nicht durch!
Wir sollen jetzt eine Aufgabe Lösen und ich weiß nicht mal in welche Richtung ich gehen soll.
2) Es sei X ein metrischer Raum. Für jede Teilmenge A von V definieren wir den Rand [mm] \partial(A) [/mm] von A als die Menge aller x [mm] \in [/mm] X mit der Eigenschaft, daß jede offene Kugel um x einen nicht-leeren Schnitt sowohl mit A als auch mit X [mm] \setminus [/mm] A hat. Zeige, dasss für alle A,B [mm] \subseteq [/mm] X gilt:
(a) [mm] \partial(A) [/mm] = cl(A) [mm] \setminus [/mm] int(A)
(b) int(A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \supseteq [/mm] int(A) [mm] \cup [/mm] Int (B)
(c) cl(a [mm] \cup [/mm] B) = cl(A) [mm] \cup [/mm] cl(B)
..
(f) Die Menge aller Häufungspunkte von A ist abgeschlossen
ICh hab es mit Elementen der Mengen versucht bin aber schon bei (a) total stecken geblieben. Mit unserer Skriptdefinition komm ich da auch nicht sonderlich weit. Wir haben da nur aufgeschrieben, dass [mm] \vec{a} [/mm] ein innerer Punkt ist : [mm] \gdw [/mm] ein r >0 existiert dass so das die Kugel um [mm] \vec{a} [/mm] Teilmenge von A ist.
Wäre toll wenn mir jemand ein paar Anregungen oder Ansätze liefern könnte!
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:35 So 23.01.2005 | | Autor: | Guerk |
Hallo,
um dir eine Idee zu vermitteln, mach ich mal die eine Richtung bei Aufgabe a):
Sei [mm] $x\in [/mm] cl(A) [mm] \setminus [/mm] int(A)$. Wir wollen zeigen: Dann ist [mm] $x\in\partial(A)$. [/mm]
Beweis:
Offensichtlich ist [mm] $x\in [/mm] cl(A)$. Daher ist [mm] $x\not\in int(X\setminus [/mm] A)$, also ist der Schnitt von jeder [mm] $\epsilon$-Umgebung [/mm] von $x$ mit $Y$ nichtleer.
Weil nun [mm] $x\not\in [/mm] int(A)$, ist auch der Schnitt jeder [mm] $\epsilon$-Umgebung [/mm] von $x$ mit [mm] $X\setminus [/mm] A$ nichtleer.
Das war aber gerade deine Definition von [mm] $\partial [/mm] A$.
Ich hoffe, das hat dir ein paar Ideen vermittelt, sonst frag ruhig weiter.
Grüße,
Olaf
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