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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:29 So 31.05.2009 | | Autor: | simplify |
| Aufgabe | Bestimme für folgende Mengen M jeweils Inneres,Rand und Abschluss im Raum E mit Metrik d.
(i) [mm] M=\{\bruch{1}{n}+\bruch{1}{m};n,m\in\IN\} [/mm] , [mm] E=\IR [/mm] , d(x,y)=|x-y|
(ii) [mm] M=\bigcup_{n\ge1}^{}[\bruch{1}{n+1},\bruch{1}{n}), E=\IR [/mm] , d(x,y)=|x-y|
(iii) [mm] M=\IQ [/mm] x [mm] \IZ [/mm] , [mm] E=\IR [/mm] ^{2} , d(x,y)= [mm] \wurzel{(x_{1}-y_{1})^{2} +
(x_{2}-y_{2})^{2}}
[/mm]
(iv) M= [mm] \{ x \in E ;d(x,\vektor{0 \\ 0})=d(x,\vektor{2 \\ 2})\} [/mm] , [mm] E=\IR [/mm] ^{2} , [mm] d(x,y)=\wurzel{(x_{1}-y_{1})^{2} + (x_{2}-y_{2})^{2}}
[/mm]
(v) [mm] M=\{x \in E;d(x,\vektor{0 \\ 0})=d(x,\vektor{2 \\ 2})\} [/mm] , [mm] E=\IR [/mm] ^{2} , [mm] d(x,y)=|x_{1}-y_{1}|+|x_{2}-y_{2}|
[/mm]
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hallo allerseits.
ich hab zwar sämtliche definitionen vorliegen und hab auch im Internet gesucht doch hab kein wirklich hilfreiches beispiel gefunden wo ich sehe wie ich diese definitionen anwenden kann.
bitte helft mir, hab keine ahnung wie ich diese aufgabe lösen soll
LG
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Hallo simplify,
versuche dir die Mengen erstmal vorzustellen (insbesondere b ist wirklich trivial, wenn du die Menge mal ein wenig vereinfachst....), beschreibe sie am besten in Worten (oder schreibe sie wie b einfach um).
Dann überlege dir, was Inneres, Rand und Abschluss bedeutet und wie sie zusammenhängen.
Abschluß und Inneres lässt sich m.E. nach immer recht einfach ermitteln, wenn man erstmal weiss, wie die Menge aussieht (oder noch besser, sie einfach mal zeichnet), dann ergibt sich der Rand von allein (warum?).
MfG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:44 Mi 03.06.2009 | | Autor: | simplify |
das ist ja gerade das problem, dass ich nich weiß was rand, abschluss und inneres sein sollen.
hab mich jetzt mal an (i) probiert und bin zu folgendem gekommen:
I=[0,1)
abschluss :ist ganz M
inneres : ist leer
Rand ist 2
aber das kann nicht sein, da der rand =abschluss ohne inneres ist...????
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Hallo!
Du warst jetzt glaub ich bei (ii) und hast richtig erkannt, dass es sich eigentlich um die Menge [0,1) handelt.
Der Abschluss einer Menge M ist die kleinste abgeschlossene Obermenge von M. Bei dir ist das einfach [0,1]  . Das "Problem" bei offenen Intervallen ist ja, dass sie praktisch kein direktes "Ende" haben. Also oben kann ich nicht sagen, das Intervall geht von 0 bis 0.99999999 oder so. Der Abschluss erzeugt dieses Ende.
Das Innere einer Menge M ist die Menge aller Punkte, um welche ich noch eine beliebig kleine Kugel legen kann, welche vollständig in M liegt. Bei dem Intervall oben kann ich also nicht sagen, dass 0 im Inneren liegt, denn jede Zahl "links" von 0 liegt nicht mehr in M. Das Innere ist also (0,1).
Der Rand ist nun einfach Abschluss \ Inneres = [mm] \{0,1\}.
[/mm]
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Bei (i) handelt es sich einfach um bestimmte rationale Zahlen von 0 bis 2, da musst du aber ein wenig überlegen wie es sich mit Abschluss, Innerem und Rand verhält, weil wir ja in den reellen Zahlen operieren.
Lass dich von den Metriken bei (iii) und (iv) nicht täuschen, das bedeutet eigentlich weiterhin einfach der anschauliche Abstand. Nur bei (v) musst du dann aufpassen, weil du dich dann nicht mehr auf die herkömmliche Anschauung mit deinen Überlegungen verlassen kannst.
Viele Grüße, Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:48 Mi 03.06.2009 | | Autor: | simplify |
wow supa danke..
kannste vielleicht mal drüberschauen ob ich das für (i) jetz richtig gemacht habe:
I=(0,2]
abschluss: [0,2]
inneres:(0,2)
rand={0,2}
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:51 Mi 03.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> wow supa danke..
> kannste vielleicht mal drüberschauen ob ich das für (i)
> jetz richtig gemacht habe:
>
> I=(0,2]
Bei (i) ist doch
$ [mm] M=\{\bruch{1}{n}+\bruch{1}{m};n,m\in\IN\} [/mm] $
?????????
FRED
> abschluss: [0,2]
> inneres:(0,2)
> rand={0,2}
>
> LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:03 Mi 03.06.2009 | | Autor: | simplify |
ja da sind ja überall noch reelle zahlen [mm] \not\in [/mm] M vorhanden aber bei (i) och auc oder nicht?
und ist bei (iv) nicht der einzige vektor [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] der die bedingung erfüllt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:08 Mi 03.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> ja da sind ja überall noch reelle zahlen [mm]\not\in[/mm] M
> vorhanden aber bei (i) och auc oder nicht?
Was ist los ?
>
> und ist bei (iv) nicht der einzige vektor [mm]\vektor{1 \\ 1}[/mm]
> der die bedingung erfüllt?
??????????????
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:10 Mi 03.06.2009 | | Autor: | simplify |
naja ich dachte die aufgabe (ii) wäre so richtig, bin mir aber nicht sichher und deswegen habe ich gefragt.
da hast du ????? geschrieben und ... ich weiß nicht wirklich wie mir das weiterhelfen soll.
daraufhin hatte ich eine frage zu der aufgabe (iv) und hab sie gleich noch gestellt???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:14 Mi 03.06.2009 | | Autor: | fred97 |
(ii) war doch:
$ [mm] M=\{\bruch{1}{n}+\bruch{1}{m};n,m\in\IN\} [/mm] $
Oben schreibst Du dann : I = (0,2]
Was soll das ? meinst Du M= (0,2] ?
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:23 Mi 03.06.2009 | | Autor: | simplify |
ich mein damit das die menge durch I das intervall beschränkt ist
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:25 Mi 03.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> ich mein damit das die menge durch I das intervall
> beschränkt ist
Würdest Du diesen Satz verstehen, wenn Du an meiner Stelle wärst ?
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:23 Mi 03.06.2009 | | Autor: | simplify |
also im prinzip ja ... M=(0,2]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:28 Mi 03.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> also im prinzip ja ... M=(0,2]
............ und nicht im Prinzip ............... ??
Überlege Dir mal, wie nichtssagend die Floskel "im Prinzip" ist.
M=(0,2] ist Unfug
[mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} \notin [/mm] M, aber [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} \in [/mm] (0,2]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:32 Mi 03.06.2009 | | Autor: | simplify |
das meinte ich ja als ich geschrieben habe, das da ja noch reelle zahle vorhanden sind die nicht in M liegen, das ist ja das problem.
seh ich das richtig, dass der Abschluss leer ist und das innere auch und der rand [mm] \IR [/mm] ist?
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Hallo!
> seh ich das richtig, dass der Abschluss leer ist und das
> innere auch und der rand [mm]\IR[/mm] ist?
Nein, leider nicht. Es geht hier ja nur um das Intervall (0,2]. Stell dir das so vor, als wäre M die Menge von ein paar Punkten auf der Zahlengeraden von 0 bis 2; in der Nähe von 0 sind die Punkte etwas dichter, bei 2 sind die Punkte nur ganz weitläufig verteilt.
Der Abschluss ist dann die kleinste abgeschlossene Menge, die Obermenge von M ist. Das kann einfach [mm] M\cup\{0\} [/mm] sein (Punkte sind abgeschlossen, weil das Komplement offen wäre). Es gibt aber kein Inneres!, d.h. Inneres = [mm] \emptyset, [/mm] weil du keinen einzigen Punkt in M findest, der noch andere Punte von M "direkt um sich herum" hat. Was ist dann der Rand ?
Viele Grüße, Stefan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:46 Mi 03.06.2009 | | Autor: | simplify |
naja, da der rand = abschluss ohne inneres
--> rand= [mm] M\cup\{0\}
[/mm]
...oder :S
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Genau
Grüße, Stefan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:47 Do 04.06.2009 | | Autor: | simplify |
vielen dank
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