Metrischer Raum, Stetigkeitsnachweis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:39 So 17.10.2004 | | Autor: | Clara |
Hallo liebe Matheraum-Community!
Ich komme seit kurzem in den Genuss mich mit metrischen Räumen und deren Eigenschaften beschäftigen zu dürfen und habe hier mal eine Aufgabe rausgesucht mit der ich nicht zurechtkomme, weil ich überhaupt nicht weiss wie man hier stetigkeit nachweist:
(X,d) sei ein metrischer Raum. Weiter sei [mm] \emptyset \not= [/mm] A [mm] \subset [/mm] X eine Menge. Wir definieren die Abstandsfunktion [mm] d_{A}(x) [/mm] = inf{d(x,y)| y [mm] \in [/mm] A} für alle x [mm] \in [/mm] X.
Zeigen Sie, dass d: [mm] X\to\IR [/mm] stetig ist.
Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen,
mfg Clara
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Clara!
Keine Angst vor metrischen Räumen - ein metrischer Raum ist nichts weiter als eine Menge $X$ von Punkten versehen mit einer "Metrik", also einer Funktion, die Abstände zwischen den Punkten mißt und gewisse Eigenschaften hat (z.B. Dreiecksungleichung).
Der Punkt ist, dass alles, was man über Stetigkeit von Funktionen $f: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] gelernt hat, sich direkt auf metrische Räume übertragen läßt. Statt $| x - y|$ für reelle Zahlen $x,y$ schreibt man nun eben einfach $d(x,y)$ und mißt so den Abstand.
Wenn also $f: X [mm] \to \IR$ [/mm] eine Abbildung ist und $X$ ein metrischer Raum mit Metrik $D$, dann heißt $f$ stetig im Punkt $a [mm] \in [/mm] X$, wenn:
Für jedes [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ existiert ein [mm] $\delta [/mm] > 0$, so dass für jedes $x [mm] \in [/mm] X$ mit $d(a,x) < [mm] \delta$ [/mm] gilt: $|f(x) - f(a)| < [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Oder äquivalent mit Folgen:
Für jede Folge [mm] $(x_n)_{n \in \IN} \subseteq [/mm] X$ mit [mm] $\lim_{n \to \infty} x_n [/mm] = a$ muß gelten: [mm] $\lim_{n \to \infty} f(x_n) [/mm] = f(a)$.
Bei der zweiten Definition geht ein, dass die Begriffe "Folge" und "Grenzwert" in metrischen Räumen $X$ genauso ihren Sinn haben wie in [mm] $\IR$ [/mm] - alles, was man zu ihrer Definition ja braucht ist der Abstand zum Grenzwert.
Mit diesen Definitionen bewaffnet kannst Du jetzt mit Sicherheit diese Aufgabe lösen. Ein kleiner Tipp noch fürs [mm] $\varepsilon [/mm] - [mm] \delta$ [/mm] Kriterium: Versuche mit Hilfe der Dreiecksungleichung nachzuweisen, dass wenn zwei Punkte $x, y [mm] \in [/mm] X$ nicht weiter als [mm] $\varepsilon$ [/mm] auseinander liegen, dass sich dann ihr jeweiliger Abstand zur Menge $A$ um nicht mehr als [mm] $\varepsilon$ [/mm] unterscheiden kann...
Viel Erfolg!
Lars
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