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| Aufgabe | sei r eine Funktion von [mm] \IR [/mm] x [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] mit
r(x,y) = [mm] \left|\bruch{x}{1+|x|} - \bruch{y}{1+|y|}\right|
[/mm]
a.) Beweisen Sie das r eine Metrik ist.
b.) Es existiert in [mm] (\IR,r) [/mm] eine Cauchyfolge, die in [mm] (\IR,x_{2}) [/mm] keine Cauchyfolge ist. [mm] (x_{2} [/mm] ist hier die euklidische Metrik) |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Internetforum gestellt.
Hallo nochmal,
Ich beschäftige mich nebenbei mit Analysis 2 und da steigt man ein mit metrischen Räumen und topologische Räumen ein. Mit a.) hatte ich kein Problem (das ist ja nur der Nachweis der Axiome). Mein problem ist b.). Ich habe in dem Buch was ich lese gefunden, dass nicht in jedem metrischen Raum das Cauchysche Konvergenzkriterium zutrifft. (wo es zutrifft, nennt man wohl vollständige metrische Räume). Folgendes Problem ist bei b.) aufgetreten.
Wie sieht eine Folge in einem metrischen Raum überhaupt aus? Ich habe das Kapitel so verstanden, dass es die ganz normale Folgen sind, z.Bsp. 1+ [mm] \bruch{1}{n}, [/mm] und dass "Folge im metrischen Raum" heißt, dass ich in metrischen Räumen die Abstände zwischen den Folgengliedern berechnen kann (und die sind stets größer null etc.), aber nicht die Folgenglieder selbst unter Verwendung der Metrik. D.H. ich berechne z.Bsp. [mm] d(a_{n1},a_{n2}). [/mm] Eine Folge ist dann konvergent, wenn [mm] d(a_{n},x) [/mm] = 0 ist (x ist hier der Grenzwert). Ist das richtig, oder berechne ich die Folgenglieder in dem ich die Folgenformel selbst in die Metrikformel einsetze? [Ich hoffe ihr wißt was ich meine]
Wenn ich nun eine Folge in [mm] (\IR,r) [/mm] angebe, z.B. [mm] 1+\bruch{1}{n}, [/mm] wie sieht die denn dann in [mm] (\IR,x_{2}) [/mm] aus, da doch [mm] x_{2} [/mm] eine Metrik auf [mm] R^{n} [/mm] ist, also doch eigentlich Vektoren. Siehst das dann so aus?
[mm] \vektor{1+\bruch{1}{n} \\ 1+\bruch{1}{n}}. [/mm] Sicher nicht, oder?
Vielleicht blöde Fragen, aber ich würde mich über Erläuterungen freuen, da das Buch nicht sehr hilfreich dabei ist.
Grüße, Steffen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:45 Mo 16.04.2007 | | Autor: | Volker2 |
Hallo Steffen,
der Raum [mm] (\IR,r) [/mm] ist isometrisch zum Intervall (-1,1) versehen mit der normalen euklidischen Metrik. Die Abbildung ist einfach
[mm] x\mapsto \frac{x}{1+|x|}
[/mm]
Im Intervall (-1,1) kannst Du Dir aber sicher denken, wie eine Cauchyfolge aussehen würde, die nicht konvergiert, denn es ist ja nicht abgeschlossen. Eine Teilmenge eines metrischen Raumes ist genau dann vollständig, wenn sie abgeschlossen ist. Zurückübersetzt heißt das, dass zur Vollständigkeit von [mm] (\IR,r) [/mm] die Punkte [mm] +\infty [/mm] und [mm] -\infty [/mm] fehlen.
Volker
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Hallo Volker,
mit deiner Antwort kann ich nicht so recht was anfangen. Was beideutet denn im Kontext von metrischen Räumen isometrisch? An sich wollte ich ja nur wissen, ob es denn so ist, dass ich in die Metrik nur die Folgenglieder einsetze und so den Abstand zwischen den Folgengliedern bestimme? Und wenn ich jetzt eine Folge für r habe (z.B. 1 + 1/n), wie sieht denn das für die Euklidische Metrik dann aus, weil die Beispiele in dem Buch dann immer zwei folgen in dem Vektor enthalten (z.B. [mm] \vektor{1+1/n \\ 3+3/n}. [/mm] Das ist mir nicht klar, aber wenn es so ist, dann starte ich mit b.)
Vielleicht kannst du es für einen Nicht-Mathematiker nochmal erläutern?
Grüße, Steffen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:23 Mo 16.04.2007 | | Autor: | Volker2 |
Versuch doch mal zu verstehen, was mit der gegen den "fehlenden Punkt" [mm] +\infty [/mm] "konvergierenden Folge" [mm] a_n=n [/mm] passiert. Die Folgenglieder in die Metrik einzusetzen ist richtig. Eine Abbildung [mm] $\varphi\colon (X,d_X)\rightarrow (Y,d_Y)$ [/mm] heißt übrigens Isometrie, wenn für alle [mm] x1,x_2\in [/mm] X
[mm] d_Y(\varphi(x_1),\varphi(x_2))=d_X(x_1,x_2) [/mm]
gilt. X und Y heißen isometrisch, wenn es zu einander inverse Isometrien in beide Richtungen gibt. Das ist für meine Abbildung ziemlich klar. Aussagen über die Metrik in $X$ sind dann äquivalent zu analogen Aussagen über die Metrik in $Y$. Insbesondere ist X genau dann vollständig, wenn Y es ist. Das Bild der Folge [mm] a_n [/mm] ist
[mm] b_n=\varphi(a_n)=\frac{n}{1+|n|}
[/mm]
und konvergiert nicht, da 1 nicht in (-1,1) enthalten ist. Also konvergiert auch die Cauchyfolge [mm] a_n [/mm] nicht.
Volker
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:38 Mo 16.04.2007 | | Autor: | steffenhst |
Ich glaube jetzt habe ich es verstanden.
Vielen Dank für deine Erläuterungen.
Grüße, Steffen
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