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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:56 Fr 28.05.2004 | | Autor: | jewly |
Also ich weiß überhaupt nicht, wie ich an die folgende Aufgabe gehen soll. Wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte!
Kann hingegen ein Substratüberschuss zur Hemmung der Enzymaktion führen, so lautet die Formel für die Reaktionsgeschwindigkeit
v= [mm] \bruch{k*[A]}{R*[A]^2+[A]+K} [/mm] (Michaelis-Menten)
mit positiven reaktionsspezifischen Konstanten k, R und K. Dabei hat k dieselbe Dimension wie v, K dieselbe Dimension wie [A] und R den Kehrwert der Dimension von [A].
a) Zeigen Sie, dass v = 0 ist für [A] = 0, dass ansonsten v immer positiv ist, und dass v gegen 0 strebt,
wenn [A] gegen ¥ strebt (Hinweis: Bruch durch [A] kürzen).
b) Zeigen Sie, dass die Ableitung
[mm] \bruch{dv}{d[A]} [/mm] nur eine Nullstelle besitzt, und zwar bei[A] = [mm] \wurzel{\bruch{K}{R}}
[/mm]
c) Schließen Sie aus a) und b), dass dort ein Maximum v_max von v liegt, d.h. dass exakt v = v_max gilt,
wenn [A] = [mm] \wurzel{\bruch{K}{R}}
[/mm]
ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:43 Fr 28.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Julia
ich denke mal, wenn du eine schlichte Substitution der variablen Grössen vornimmst, dass du dann ein viel gewohnteres Bild erhältst und das Ganze sich wie von selbst löst.
Das Gerede mit den Dimensionen kannst du wohl vergessen. Das ist nur nötig, damit man die Formel in physikalischem Sinne noch ein Wenig plausibilisieren kann. Für das Lösen der vorliegenden Aufgabe ist es aber bedeutungslos!
Ich meine folgende Substitution, wobei ich mal annehme, dass die komischen Zeichen um die A herum keine Absolutstriche bedeuten, sondern auch nur da sind, um die Aufgabe etwas schwieriger aussehen zu lassen: (Das ist auch nötig, weil man sich sonst fast schämen müsste, den Studenten solch banales Zeug vor die Füsse zu werfen  )
> v= [mm] \bruch{k*[A]}{R*[A]^2+[A]+K}
[/mm]
[mm] $y=\bruch{k*x}{R*x^2+x+K}$
[/mm]
> a) Zeigen Sie, dass v = 0 ist für [A] = 0, dass ansonsten
> v immer positiv ist, und dass v gegen 0 strebt,
> wenn [A] gegen ¥ strebt (Hinweis: Bruch durch [A]
> kürzen).
a) Zeigen Sie, dass $y = 0$ ist für $x=0$ , dass ansonsten $y$ immer positiv ist, und dass $y$ gegen 0 strebt, wenn $x$ gegen [mm] $\infty$ [/mm] strebt.
(Hinweis: Bruch durch $x$ kürzen).
> b) Zeigen Sie, dass die Ableitung
> [mm] \bruch{dv}{d[A]} [/mm] nur eine Nullstelle besitzt, und zwar
> bei[A] = [mm] \wurzel{\bruch{K}{R}}
[/mm]
b) Zeigen Sie, dass die Ableitung [mm] $\bruch{dy}{dx}$ [/mm] nur eine Nullstelle besitzt, und zwar bei [mm] $x=\wurzel{\bruch{K}{R}}$
[/mm]
>
> c) Schließen Sie aus a) und b), dass dort ein Maximum
> v_max von v liegt, d.h. dass exakt v = v_max gilt,
> wenn [A] = [mm] \wurzel{\bruch{K}{R}}
[/mm]
> ist.
c) Schliessen Sie aus a) und b), dass dort ein Maximum [mm] $y\_max$ [/mm] von $y$ vorliegt, d.h. dass exakt [mm] $y=y\_max$ [/mm] gilt, wenn [mm] $x=\wurzel{\bruch{K}{R}}$ [/mm] ist.
Somit ist das Ganze doch nur eine ganz triviale Kurvendiskussion, wie sie fürs Abi sicherlich vorwärts und rückwärts geübt worden ist!
Die Aufgabe c) ist auch gar keine Aufgabe zum Lösen, sondern gibt nur eine Anleitung, was man aus den Resultaten aus der Diskussion von a) und b) schliessen kann (Dabei ist nicht einmal das Herleiten der 2. Ableitung nötig, um zu zeigen, dass es sich tatsächlich um ein Maximum handelt (im Gegensatz zum Minimum) 
Liebe Grüsse
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:38 Sa 29.05.2004 | | Autor: | jewly |
Hey....
wie macht man eine Substitution? und wie beweist man, dass v immer positiv ist, bezw. dass v gegen 0 strebt, wenn x gegen unendlich strebt?
LG Julia
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:29 Sa 29.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Julia
> Hey....
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> wie macht man eine Substitution? und wie beweist man, dass
> v immer positiv ist, bezw. dass v gegen 0 strebt, wenn x
> gegen unendlich strebt?
Unter Substitution versteht man das Ersetzen eines Ausdrucks durch einen anderen, in der Regel einfacheren, Ausdruck.
Bei deiner Aufgabe habe ich zum Beispiel konsequent alls [A] durch $x$ ersetzt, $v$ durch $y$ etc.
Mit solchen Substitutionen macht man in der Regel die Ausdrücke übersichtlicher oder erspart sich viel Schreibarbeit auf dem Weg zur Lösung.
Wenn dann die Lösung vorliegt, muss man natürlich die Substitution wieder rückgängig machen.
Ein kleines Beispiel:
wenn du das Gleichungssystem
[mm] $\bruch{1}{x}-\bruch{1}{y}=1$
[/mm]
[mm] $2*\bruch{1}{x}-5*\bruch{1}{y}=-4$
[/mm]
zu lösen hast, dann kannst du folgende Substitution vornehmen:
[mm] $\bruch{1}{x}=a$ [/mm] und [mm] $\bruch{1}{y}=b$
[/mm]
Somit hat dein Gleichungssystem eine viel einfachere Form erhalten:
$a-b=1$
$2*a-5*b=-4$
daraus erhälst du die Lösung $a=3$, $b=2$
Durch das Rückgängigmachen der Substitution erhältst du: [mm] $\bruch{1}{x}=3$ [/mm] und [mm] $\bruch{1}{y}=2$, [/mm] woraus du dann $x$ und $y$ recht einfach bestimmen kannst.
Ohne Substitution wäre das wohl viel komplizierter gewesen.
Zu deiner 2. Frage: wenn du doch die gegebenen Zahlen und Bedingungen berücksichtigst, dann kannst du doch sofort sehen, dass der Zähler > 0 ist, ebenso wie der Nenner. Und du weisst doch: plus durch plus gibt plus.
Zu deiner 3. Frage: das wird doch im Hinweis der Aufgabe gesagt. Kannst du das nicht einmal ausprobieren und mir die Früchte deiner Bemühungen, wenn es soche geben sollte, hier kundtun?
Mit lieben Grüssen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:19 So 30.05.2004 | | Autor: | jewly |
Also hier die Lösungen:
für a habe ich alles raus, bis auf die Frage danach, v wird null, wenn A gegen unendlich strebt. Wie drückt man das in einer Formel aus?
B) Ableitung: [mm] \bruch{-k*R*[A]^2+k*K}{R*[A]^2+[A]+K}
[/mm]
Das Ganze null setzten und dann kommt auch das geforderte Ergebnis raus.
C) weiß ich garnicht wie ich vorgehen soll!
Und dann sind noch 2 Aufgaben, wo ich mir nicht sicher bin, ob ich die richtig gerechnet habe!
1. Wird ein Substrat A durch eine Enzymaktion vollständig und ungehemmt in ein Produkt umgewandelt, so gilt für die Reaktionsgeschwindigkeit v als Funktion der Konzentration [A] eine Formel
v = [mm] \bruch{v_(max)*[A]}{[A]+K} [/mm] (Michaelis-Menten),
dabei ist v_max die höchste theoretisch erreichbare Reaktionsgeschwindigkeit und K eine reaktionsspezifische positive Kostante derselben Dimension wie [A].
a) Zeigen Sie mittels der Ableitung, dass v eine monoton wachsende Funktion von [A] ist.
b) Begründen Sie, dass für jeden endlichen Wert von [A] die Ungleichung v <v_max gilt, dass aber v gegen v_max strebt, wenn [A] gegen unendlich strebt (Hinweis: Bruch durch [A] kürzen).
a) habe ich raus: [mm] \bruch{v_(max)*K}{([A]+K)^2} [/mm] und dann?
b) weiß ich wieder nicht wie ich rangehen muss!
3. Strömt Flüssigkeit durch ein Rohr variabler innerer Querschnittsfläche A, so gilt zwischen der Strömungsgeschwindigkeit v und der Querschnittsfläche A die Beziehung
b) Für eine intravenöse Injektion werde eine Spritze mit dem inneren Durchmesser [mm] D_1=8mm [/mm] und eine
Kanüle mit dem inneren Durchmesser [mm] D_2=0,5mm [/mm] gewählt. Daraus ergeben sich die Querschnittsflächen
[mm] A_1 [/mm] = [mm] pi*r_1^2 =pi*(4mm)^2 [/mm] bzw. [mm] A_2 [/mm] = [mm] pi*r_2^2 [/mm] = [mm] pi*(0,25mm)^2.
[/mm]
Mit welcher Geschwindigkeit (in m*s^-1) tritt das Injektat in die Blutbahn, wenn der Kolben langsam mit der Geschwindigkeit [mm] v_1 [/mm] = 5mm*s-1 bewegt wird?
hier habe ich zwar ein Ergebnis, aber ich würde gerne mal von jemanden der das kann ein Ergebnis bekommen, damit ich mal meinen Fehler nachvollziehen kann!
Vielen Dank und LG
Julia
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:49 So 30.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Julia
Zunächst einmal: eine Reaktion auf eine Antwort/Frage darf sich nur ausschliesslich auch darauf beziehen. Sonst wird die ganze Struktur zu unübersichtlich!
Ich beschränke mich hier also ausschliesslich auf die ursprüngliche Frage an der Wurzel dieses Strangs.
Wenn du willst, dass die anderen Fragen auch noch behandelt werden, so stelle sie bitte als einzelne Fragen je in einen neuen Strang! (Es sollen auch nicht mehrere Fragen in einem einzigen strang gestellt werden!)
Und dann noch was: wenn du schon behauptest, eine Lösung zu haben, dann liefere diese doch auch hier ab, und zwar incl. Lösungsschritte. Dann kann man ja überprüfen, ob das richtig ist. Dazu muss dann nicht jemand die ganze Aufgabe nochmals neu lösen, wenn du das doch bereits getan hast. Wäre pure Zeitverschwendung!
> Also hier die Lösungen:
>
> für a habe ich alles raus, bis auf die Frage danach, v wird
> null, wenn A gegen unendlich strebt. Wie drückt man das in
> einer Formel aus?
>
Ich denke, in der Aufgabe steht ja der entsprechende Hinweis!
Nun gut, ich werde diesen Hinweis mal befolgen.
Hinweis war: Bruch durch [A] kürzen.
Nun, was heisst denn das? Bruch kürzen bedeutet: Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl dividieren. Ich soll also schlichtweg Zähler und Nenner durch [A] dividieren.
Also mache ich das mal:
[mm]\bruch{k*[A]/[A]}{(R*[A]^{2}+[A]+K)/[A]}=\bruch{k}{R*[A]+1+K/[A]}[/mm]
Und in dieser Form erkennst du, dass der Zähler eine konstante Zahl ist, der Nenner hingegen sehr, sehr, sehr, sehr,.... [mm] $\infty$ [/mm] gross wird.
Und eine konstante Zahl durch eine sehr grosse Zahl gibt eben einen sehr kleinen Wert. Und wenn der Nenner eben sehr, sehr, sehr, sehr,.... [mm] $\infty$ [/mm] gross, dann wird der berechnete Wert eben sehr, sehr, sehr, sehr,.... [mm] $\infty$ [/mm] klein, d.h. strebt gegen Null.
> B) Ableitung: [mm] \bruch{-k*R*[A]^2+k*K}{R*[A]^2+[A]+K}
[/mm]
>
Da bist du doch schon beachtlich nahe dran! Nur den Nenner solltest du noch ins Quadrat nehmen! Also so:
[mm]\bruch{-k*R*[A]^2+k*K}{(R*[A]^2+[A]+K)^2}[/mm]
Ist das klar, warum?
> Das Ganze null setzten und dann kommt auch das geforderte
> Ergebnis raus.
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") ja, genau so geht das! Wobei zum Glück der kleine Fehler in deiner 1. Ableitung keine Rolle spielt!
> C) weiß ich garnicht wie ich vorgehen soll!
>
Nun, c) ist nur eine Ueberlegungsaufgabe.
Dazu würde ich doch einfach mal ein kleines Bild machen: Zeichne mal das Koordinatensystem (x-y-Achsen). Und jetzt versuche doch bitte, den Graphen einer Funktion zu zeichnen, der nur an einem Ort das Extremum hat, überall > Null ist und mit x gegen [mm] $+\infty$ [/mm] und auch mit x gegen [mm] $-\infty$ [/mm] gegen Null geht, das heisst, sich der x-Achse immer mehr nähert.
Dann siehst du (hoffentlich), dass es sich bei diesem Extremum nicht um ein Minimum handeln kann, sondern um ein Maximum. Und wenn dieses Maximum eben, wie in Teilaufgabe b) gezeigt, an der Stelle [mm] $x=\wurzel{\bruch{K}{R}}$ [/mm] ist, dann wird die Maximalgeschwindigkeit eben gerade an dieser Stelle erreicht! Also: [mm] $v\_max$ [/mm] wird bei [mm] $[A]=x=\wurzel{\bruch{K}{R}}$ [/mm] erreicht.
Liebe Grüsse
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