Min/Max einer holomorphen Fkt < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:58 Mi 03.12.2008 | | Autor: | MacMath |
| Aufgabe | Sei [mm]M:=\{z\in \IC ; |z|<2, Re(z)>0\}[/mm] und [mm]f:\overline{M} \to \IC [/mm] stetig und auf M holomorph mit
[mm]f(1+\bruch{1}{n})=\bruch{1}{n}(3+\bruch{1}{n})-2[/mm] für alle [mm]n \in \IN[/mm]
Bestimmen sie Minimum und Maximum von |f| auf [mm]\overline{M}[/mm] |
Ich komme nicht wirklich auf einen Lösungsweg, außer das das Minimum und maximum auf dem Rand angenommen werden müssten (oder das Minimum alternativ eine Nullstelle ist)
Jemand eine Idee?
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Sagt dir der Identitätssatz etwas?
Setzen wir [mm]z = 1 + \frac{1}{n}[/mm], also [mm]\frac{1}{n} = z - 1[/mm] und substituieren wir in [mm]w = \frac{1}{n} \left( 3 + \frac{1}{n} \right) - 2[/mm] entsprechend: [mm]w = (z-1)(z+2) - 2[/mm].
Betrachten wir nun die Funktion [mm]g: \ \overline{M} \to \mathbb{C}[/mm] mit
[mm]g(z) = (z-1)(z+2) - 2[/mm]
Sie ist holomorph in [mm]M[/mm] und stetig in [mm]\overline{M}[/mm] und stimmt an den Stellen [mm]z = 1 + \frac{1}{n}, \, n \in \mathbb{N}[/mm], die sich im Innern von [mm]M[/mm] häufen, mit [mm]f[/mm] überein. Daher gilt [mm]f = g[/mm] (zunächst in [mm]M[/mm], aus Gründen der Stetigkeit dann aber auch auf dem Rand von [mm]M[/mm]), also
[mm]f(z) = (z-1)(z+2) - 2 \, , \ \ z \in \overline{M}[/mm]
Und jetzt kannst du versuchen, Minimum und Maximum von [mm]|f|[/mm] zu bestimmen. Eine Möglichkeit wäre, den Rand von [mm]M[/mm] zu parametrisieren.
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