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Mindestwahrscheinlichkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:48 Sa 25.02.2017
Autor: Lui32

Aufgabe
In einer Urne befinden sich 5 blaue, 7 rote und 3 schwarze Kugeln. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten bei 6-maligem Ziehen ohne Zurücklegen für:
a) mindestens 2 schwarze Kugeln.
b) mindestens 2 schwarze und mindestens 3 rote Kugeln
c) mindestens 2 schwarze , mindestens 3 rote und höchstens 2 blaue Kugeln

Habe schon länger versucht diese Aufgabe zu lösen, bin jedoch noch auf keinen brauchbaren Lösungsansatz gekommen. Ich dachte ich könnte hier die komulative Verteilungsfunktion ansetzen bin mir allerdings nicht sicher ob das in diesem fall möglich ist. Leider habe ich keine Lösungen für diese Aufgabe gefunden und bräuchte daher Hilfe den richtihgen Ansatz zu finden. Kann mir vielleicht jemand verständlich erklären wie ich diese Aufgabe lösen kann?
Vielen Dank schon mal.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Mindestwahrscheinlichkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:11 So 26.02.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> In einer Urne befinden sich 5 blaue, 7 rote und 3 schwarze
> Kugeln. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten bei
> 6-maligem Ziehen ohne Zurücklegen für:
> a) mindestens 2 schwarze Kugeln.
> b) mindestens 2 schwarze und mindestens 3 rote Kugeln
> c) mindestens 2 schwarze , mindestens 3 rote und
> höchstens 2 blaue Kugeln

Ok, ich trenne das hier mal, denn bis hierhin geht die Aufgabenstellung.

> Habe schon länger versucht diese Aufgabe zu lösen, bin
> jedoch noch auf keinen brauchbaren Lösungsansatz gekommen.
> Ich dachte ich könnte hier die komulative
> Verteilungsfunktion ansetzen bin mir allerdings nicht
> sicher ob das in diesem fall möglich ist.

Ich vermute einmal, du meinst eine kumulative Wahrscheinlichkeitsfunktion, es fragt sich nur, von was für einer Wahrscheinlichkeitsverteilung?

Aber das benötigst du hier nicht.

> Leider habe ich
> keine Lösungen für diese Aufgabe gefunden und bräuchte
> daher Hilfe den richtihgen Ansatz zu finden. Kann mir
> vielleicht jemand verständlich erklären wie ich diese
> Aufgabe lösen kann?

Ich würde sagen, ich rechne dir mal die a) vor, und du versuchst dich an den beiden anderen, um dann deine Überlegungen wiederum hier zu präsentieren.

Da nur 3 schwarze Kugeln in der Urne sind und nicht zurückgelegt wird, gibt es zwei Möglichkeiten: es werden 2 oder 3 schwarze Kugeln gezogen. Der Einfachheit halber betrachten wir hier (also in Teil a) ) die anderen Kugeln als gleichfarbig. Das bringt uns schon ein gutes Stück weiter, denn damit wäre die Wahrscheinlichkeit dafür, dass wir zu Beginn nur schwarze und nach Erreichen der Anzahl 2 bzw. 3 nur andersfarbige Kugeln ziehen gleich:

[mm]P= \frac{3}{15}* \frac{2}{14}* \frac{12}{13}* \frac{11}{12}* \frac{10}{11}* \frac{9}{10}+ \frac{3}{15}* \frac{2}{14}* \frac{1}{13}= \frac{2}{91}\approx{0.022}[/mm]

Dabei steht der erste Summand für zwei schwarze Kugeln, der zweite für 3. Beachte, dass dieser zweite Summand nach dem dritten Faktor, also der dritten schwarzen Kugel, abbricht, da ja jetzt keine schwarzen Kugeln mehr in der Urne sind.

Jetzt ist es nur so: das da oben ist nicht gefordert, denn es wird insbesondere die Reihenfolge der gezogenen Kugeln nicht beachtet. Also müssen wir dies korrigieren, indem wir für jeden der beiden Fälle (2 oder 3 schwarze Kugeln) noch die Anzahl möglicher Reihenfolgen zählen und die Summanden mit der betreffenden Anzahl multiplizieren. Dieses Zählen leistet der Binomialkoeffizient, und zwar genau aus dem Grund, da wir die restlichen Kugeln als einfarbig betrachten und es somit jetzt theoretisch nur zwei Kugelfarben gibt. Dies führt auf die folgende Rechnung für Aufgabenteil a):

[mm]P= \vektor{6 \\ 2}* \frac{3}{15}* \frac{2}{14}* \frac{12}{13}* \frac{11}{12}* \frac{10}{11}* \frac{9}{10}+ \vektor{6 \\ 3} \frac{3}{15}* \frac{2}{14}* \frac{1}{13}= \frac{31}{91}\approx{0.341}[/mm]

Versuche einmal, das nachzuvollziehen. Die Teile b) und c) sind zwar komplizierter, die Herangehensweise bleibt jedoch die gleiche.


Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Mindestwahrscheinlichkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:25 So 26.02.2017
Autor: Lui32

Danke Diophant für die schnelle und aufschlussreiche Antwort.

Den Ansatz für die Teilaufgabe a) habe ich soweit verstanden, aber bedeutet das nun für b), dass ich hier die Farben blau und schwarz wieder zusammenfassen kann und die Einzelwahrscheinlichkeiten für genau 3 rote, genau 4 rote, usw. Summiere?
Wie kann ich dann die Wahrscheinlichkeiten für mindestens 2 schwarze und 3 rote bzw. bei c) noch für höchstens  2 blaue Kugeln zusammenfassen?
Vielen Dank schonmal!

Bezug
                        
Bezug
Mindestwahrscheinlichkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:41 So 26.02.2017
Autor: Diophant

Hallo,

 > Danke Diophant für die schnelle und aufschlussreiche

> Antwort.

>

> Den Ansatz für die Teilaufgabe a) habe ich soweit
> verstanden, aber bedeutet das nun für b), dass ich hier
> die Farben blau und schwarz wieder zusammenfassen kann und
> die Einzelwahrscheinlichkeiten für genau 3 rote, genau 4
> rote, usw. Summiere?

Nein, das geht hier nicht mehr so einfach.

> Wie kann ich dann die Wahrscheinlichkeiten für mindestens
> 2 schwarze und 3 rote bzw. bei c) noch für höchstens 2
> blaue Kugeln zusammenfassen?
> Vielen Dank schonmal!

Das Grundprinzip ist das folgende: man macht sich ersteinmal klar, welche Kombinationen hinsichtlich der Anzahlen der unterschiedlichen Farben möglich sind. Für jede solche Kombination muss dann die Wahrscheinlichkeit für eine konkrete Reihenfolge, multipliziert mit der Anzahl möglicher Reihenfolgen, als Summand in die Rechnung eingehen.

Um die Reihenfolgen zu zählen, nimmt man die Formel für Permutationen mehrfach vorkommender Elemente, heutzutage gerne als []Multinomialkoeffizient bezeichnet.

Starthilfe für b): es können

- 2 schwarze, 3 rote u. 1 blaue
- 2 schwarze und 4 rote
- 3 schwarze und 3 rote

Kugeln sein.


Gruß, Diophant

Bezug
                                
Bezug
Mindestwahrscheinlichkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:53 So 26.02.2017
Autor: Lui32

Danke nochmals für die Hilfe Diophant.

Ich bilde also nun den Multinomialkoeffizienten für die Wahrscheinlichkeit von 2 schwarzen, 3 roten und 1 blauen und multipliziere ihn mit den Einzelwahrscheinlichkeiten. Das Produkt addiere ich nun wieder mit dem der Wahrscheinlichkeit von 2 schwarzen und 4roten und dem der Wahrscheinlichkeit von 3 schwarzen und 3 roten Kugeln:

P = [mm] \vektor{6!\\ 2!*3!*1!} \bruch{3}{15} *\bruch{2}{14}*\bruch{7}{13}*\bruch{6}{12}*\bruch{5}{11}*\bruch{5}{10}+\vektor{6! \\ 2!*4!}*\bruch{3}{15}*\bruch{2}{14}*\bruch{7}{13}*\bruch{6}{12}*\bruch{5}{11}*\bruch{4}{10}+\vektor{6!\\ 3!*3!}*\bruch{3}{15}*\bruch{2}{14}*\bruch{1}{13}*\bruch{7}{11}*\bruch{6}{10}*\bruch{5}{9} [/mm]

Hierbei komme ich jedoch auf das Ergebnis P [mm] =\bruch{58}{429} \approx [/mm] 0,135. Die Wahrscheinlichkeit müsste hier aber doch Höher sein als bei a)?
Wo liegt mein Fehler?


Bezug
                                        
Bezug
Mindestwahrscheinlichkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:06 So 26.02.2017
Autor: Diophant

Hallo,

>

> Ich bilde also nun den Multinomialkoeffizienten für die
> Wahrscheinlichkeit von 2 schwarzen, 3 roten und 1 blauen
> und multipliziere ihn mit den Einzelwahrscheinlichkeiten.
> Das Produkt addiere ich nun wieder mit dem der
> Wahrscheinlichkeit von 2 schwarzen und 4roten und dem der
> Wahrscheinlichkeit von 3 schwarzen und 3 roten Kugeln:

>

> P = [mm]\vektor{6!\\ 2!*3!*1!} \bruch{3}{15} *\bruch{2}{14}*\bruch{7}{13}*\bruch{6}{12}*\bruch{5}{11}*\bruch{5}{10}+\vektor{6! \\ 2!*4!}*\bruch{3}{15}*\bruch{2}{14}*\bruch{7}{13}*\bruch{6}{12}*\bruch{5}{11}*\bruch{4}{10}+\vektor{6!\\ 3!*3!}*\bruch{3}{15}*\bruch{2}{14}*\bruch{1}{13}*\bruch{7}{11}*\bruch{6}{10}*\bruch{5}{9}[/mm]

>

> Hierbei komme ich jedoch auf das Ergebnis P
> [mm]=\bruch{58}{429} \approx[/mm] 0,135. Die Wahrscheinlichkeit
> müsste hier aber doch Höher sein als bei a)?
> Wo liegt mein Fehler?

Es ist vermutlich ein Rechen- oder Tippfehler. Ich bekomme

[mm] P=\frac{98}{429} [/mm]

Und: das muss natürlich kleiner sein als bei a), da die Anzahl der 'gültigen Kombinationen' gegenüber a) ja nochmals eingeschränkt ist.

Aber ich denke, die Vorgehensweise hast du jetzt. Solche Aufgaben laufen halt immer auf ein ziemliches 'Gepfriemel' hinaus, man rechnet besser zwei-, dreimal nach...

Gruß, Diophant

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