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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:55 Sa 25.11.2006 | | Autor: | Meltem89 |
| Aufgabe | f(x) gehört zur Schar der Funktionen [mm] fk(x)=(x^2+2kx+k^2)e^-x.
[/mm]
Begründen Sie, dass für beliebige k alle Minima der Schar fk(x) auf der x-achse und alle Maxima auf der Funktion g(x) = 4*e^-x liegen. Es genügt die notwendige Bedingung.
( fk ' (x)= [mm] [-x^2 [/mm] + (2-2k) x + ( 2k - [mm] k^2 [/mm] ) ] e^-x) |
Hallo ihr Lieben, die Mathe lieben^^
Ich habe ein Problem...Ich weiß dass ich den Beweis für die Maxima anhand der Ortskurve für Hochpunkte ( in diesem Fall g(x) ) zeigen und auch rechnen kann....Ich weiß aber leider nicht, wie man das für alle Minima beweisen kann.... Wenn ich das notwendige Kriterium ( was hier mit notwendiger Bedingung gemeint ist, oder?) der Extrempunkte anwende, weiß ich nicht, was mir das bringt...Wenn e^-x [mm] \not= [/mm] 0 für alle x [mm] \in [/mm] von [mm] \IR [/mm] ist, dann bleibt noch folgendes übrig:
0= [mm] -x^2 [/mm] + (2-2k) x + ( 2k - [mm] k^2 [/mm] )
Das einige was mir hierfür einfallen würde...wäre vllt. das x1=0 ist ( Ein Produkt ist null, wenn einer der beiden Faktoren null ist ..also für ( 2-2k) x..
Wäre nett, wenn mir einer helfen könnte....
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:08 Sa 25.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Meltem
> f(x) gehört zur Schar der Funktionen
> [mm]fk(x)=(x^2+2kx+k^2)e^-x.[/mm]
> Begründen Sie, dass für beliebige k alle Minima der Schar
> fk(x) auf der x-achse und alle Maxima auf der Funktion g(x)
> = 4*e^-x liegen. Es genügt die notwendige Bedingung.
> ( fk ' (x)= [mm][-x^2[/mm] + (2-2k) x + ( 2k - [mm]k^2[/mm] ) ] e^-x)
1: du solltest das Binom richtig schreiben: [mm] f(x)=(x+k)^2*e^{-x}
[/mm]
dann siehst du sofort, f(x)>0 für alls [mm] x\ne [/mm] -k.
d.h. das ist die einzige Nullstelle, und auch das Minimum, da es keine kleineren Werte gibt.
Auch die Ableitung bessre [mm] so:f'(x)=2*(x+k)*e^{-x}-(x+k)^2*e^{-x}=(x+k)*e^{-x}*(2-x-k)
[/mm]
jetzt hast du wirklich ein Produkt und die 2 Nullstellen x=-k mit f(x)=0 minimum und x=k-2 [mm] f(x)=4*e^{-x}
[/mm]
Maximum weil das andere ein Minimum ist.
Und guter Rat: Binome muss man noch im Schlaf und volltrunken erkennen! dann spart man oft viel Arbeit! 
Gruss leduart
Gruss leduart
Nachher weiter, ich muss weg
Gruss leduart
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Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
\text{Hi.}
$f_{k}:f_{k}\left(x\right)=\left(x+k\right)^2*e^{-x}$
\text{Ich würde das erst einmal mit der Produktregel und der Kettenregel ableiten.}
$\Rightarrow f_{k}':f_{k}'\left(x\right)=2\left(x+k\right)*e^{-x}+\left(x+k\right)^2*\left(-e^{-x}\right)=\left[\left(x+k)e^{-x}\right]*\left[2-\left(x+k\right)\right]$
\text{Extremstellen berechnen:}
\text{NB:}\;$f_{k}'\left(x_{0}\right)=0$
$f_{k}'\left(x\right)=0 \gdw \left[\left(x+k\right)e^{-x}\right]*\left[2-\left(x+k\right)\right]=0 \gdw x=-k \vee {e^{-x}=0 \vee x=-k+2$
\text{Doch für die Ortskurve braucht man auch den Funktionswert der beiden Extremkandidaten.}
$f_{k}\left(-k\right)=0$
\text{Hier kannst du schon eine Begründung sehen: Egal, welches k du wählst, der Funktionswert ist immer 0, deshalb liegt das Minimum immer auf der x-Achse.}
$f_{k}\left(-k+2\right)=4*e^{k-2}$
\text{Ortskurve bestimmen. Erst den x-Wert nach k auflösen:}
$x=-k+2 \gdw k=-x+2$
\text{Jetzt in den Funktionswert einsetzen:}
$\Rightarrow y=4*e^{-x+2-2}=4*e^{-x}$
\text{q.e.d.}
\text{Gruß, Stefan.}
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:42 Sa 25.11.2006 | | Autor: | Meltem89 |
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:49 Sa 25.11.2006 | | Autor: | Meltem89 |
oohh...vielen vielen Dank!!! Hatte die binomischen Formel übersehen!!! Dankeee
( habe übrigens ausversehen eine neue Frage losgeschickt...wie kann ich sie denn wieder löschen?)
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