Minimal-/Maximalproblem < Prozesse+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:57 Do 04.12.2008 | | Autor: | myrese |
| Aufgabe | Alpaka (Neusilber) ist eine Legierung aus Kupfer, Nickel und Zinl. Aus den vier angegebenen Sorten kann auf verschiedene Arten 100g Alpaka mit einem Gehalt von 55% Kupfer, 23% Nickel und 22% Zink hergestellt werden. Bestimmen Sie die Legierungen mit dem größten und kleinsten Anteil von Sorte IV. Tabelle:
I II III IV
Kupfer 40% 50% 60% 70%
Nickel 26% 22% 25% 18%
Zink 34% 28% 15% 12% |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo alle zusammen,
ich hoffe, ihr könnt mir bei dieser Aufgabe helfen.
Die Matrix konnte ich lösen. Durch eine Nullzeile habe ich die Variable [mm] x_{4}=t [/mm] gesetzt und dann folgendes erhalten:
[mm] x_{1}= [/mm] -1/14+10/7*t; [mm] x_{2} [/mm] = 9/14+13/7*t; [mm] x_{3}= [/mm] 3/7-4/7*t; [mm] x_{4}=t
[/mm]
Jetzt ist in der Aufgabe die Frage nach dem kleinsten und größten Anteil von Sorte IV. x4 steht bei mir ja für Sorte IV, dementsprechend müsste ich doch das kleinstmögliche und das größtmögliche t finden, oder?
Dann habe ich folgende Gleichung aufgestellt, da 100g Alpaka hergestellt werden sollen:
[mm] x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=100
[/mm]
Die aus der Matrix gerechneten Ergebnisse eingesetzt und zusammengefasst und nach t aufgelöst, ergibt
t=700/26, also nur einen Wert. Aber ich brauche ja einen minimalen und einen maximalen Wert. Hier komme ich einfach nicht weiter.
Ich habe mir auch gedacht, dass ich das Problem mit der Ableitung und dann quasi mit den Extremwerten lösen kann, aber in der eingesetzten gleichung ist nur t und nicht [mm] t^{2} [/mm] also
-1/14+10/7*t + 9/14+13/7*t + x3= 3/7-4/7*t + t =100
<=> 1 + 26/7*t =100
nach t abgeleitet würde nur ein Wert herauskommen:
<=> 26/7*t - 99 = 0
f'(t)= 26/7 >0 => Tiefpunkt, also Minimalwert
hier würde mir dann noch der Maximalwert fehlen.
Wäre für jede Hilfe dankbar.
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Ich habe es zwar nicht nachgerechnet, meine aber, dass Du Dich schon im ersten Ansatz verrannt hast. Was für eine Matrix hast Du denn gelöst? Was stellt sie dar?
Wenn Du willst, stell sie mal hier ein.
Um die Aufgabe zu lösen, brauchst Du eine Gleichung für Kupfer, eine für Zink, und eine für Nickel. Eine vierte Gleichung erhältst Du aus der Überlegung, wie die zu erzeugenden 100g "auftauchen".
Auch dieses Gleichungssystem führt zu einer parameterbehafteten Lösung, für die Du nur noch den Definitionsbereich von [mm] x_4 [/mm] bestimmen musst.
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