Minimale Fläche < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:09 Mo 01.09.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Zwischen dem Graphen der Funktion [mm] f(x)=\bruch{1}{z}x^{3}+z^{2} [/mm] (z>0) und der x-Achse liegt über dem Intervall [0;1] eine Fläche.
a)Fertigen Sie für z=1 eine Skizze an.Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche für z=1
b)Für welchen wert von z wird der Inhalt der Fläche minimal? |
Hallo ^^
Ich komm bei dieser Aufagbe nicht mehr so ganz weiter.Also ich hab mir den Graphen aufgezeichnet und das ganze ergibt ein Trapez.Den Inhalt hab ich auch berechnet und hab für den 1,5 raus.
Mein Problem liegt bei der b).Also die Hauptbedingung ist ja in diesem Fall [mm] A=\bruch{a+c}{2}*h.Aber [/mm] ich find als keine Nebenbedingung und muss in der Hauptbedingung nicht auch das z irgendwie vorkommen?
Danke für eure Hilfe...
lg
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> Zwischen dem Graphen der Funktion
> [mm]f(x)=\bruch{1}{z}x^{3}+z^{2}[/mm] (z>0) und der x-Achse liegt
> über dem Intervall [0;1] eine Fläche.
>
> a)Fertigen Sie für z=1 eine Skizze an.Berechnen Sie den
> Inhalt dieser Fläche für z=1
>
> b)Für welchen wert von z wird der Inhalt der Fläche
> minimal?
> Hallo ^^
>
> Ich komm bei dieser Aufagbe nicht mehr so ganz weiter.Also
> ich hab mir den Graphen aufgezeichnet und das ganze ergibt
> ein Trapez.Den Inhalt hab ich auch berechnet und hab für
> den 1,5 raus.
>
> Mein Problem liegt bei der b).Also die Hauptbedingung ist
> ja in diesem Fall [mm]A=\bruch{a+c}{2}*h.Aber[/mm] ich find als
> keine Nebenbedingung und muss in der Hauptbedingung nicht
> auch das z irgendwie vorkommen?
>
> Danke für eure Hilfe...
>
> lg
>
Hallo,
probiers mal mit Integralen
Also die Fläche im Intervall [0;1] ist folgende
[mm] A=\integral_{0}^{1}{f(x) dx} [/mm] für z>0
[mm] \gdw [/mm]
[mm] A=\integral_{0}^{1}{\bruch{x^3}{z}+z^2 dx}
[/mm]
[mm] \gdw A=\integral_{0}^{1}{\bruch{x^3}{z} dx}+\integral_{0}^{1}{z^2 dx} [/mm] das [mm] z^2 [/mm] ist ja eine Konstante und dessen Integral ist dann 0
[mm] \gdw A=\integral_{0}^{1}{\bruch{x^3}{z} dx} [/mm] das [mm] \bruch{1}{z} [/mm] klammere ich als Konstante aus dem Integral aus
[mm] \gdw A=\bruch{1}{z}*\integral_{0}^{1}{x^3 dx}
[/mm]
[mm] \gdw A=\bruch{1}{z}*\left|\bruch{x^4}{4}\right|^1_0
[/mm]
[mm] \gdw A=\bruch{1}{4z}*(1-0)
[/mm]
[mm] \gdw A=\bruch{1}{4z} [/mm] ist deine Flächenfkt. die du auf ein abs. Minimun untersuchst!
Liebe Grüße
Andreas
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 15:30 Mo 01.09.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> >
>
> Hallo,
>
> probiers mal mit Integralen
>
> Also die Fläche im Intervall [0;1] ist folgende
>
> [mm]A=\integral_{0}^{1}{f(x) dx}[/mm] für z>0
> [mm]\gdw[/mm]
> [mm]A=\integral_{0}^{1}{\bruch{x^3}{z}+z^2 dx}[/mm]
> [mm]\gdw A=\integral_{0}^{1}{\bruch{x^3}{z} dx}+\integral_{0}^{1}{z^2 dx}[/mm]
> das [mm]z^2[/mm] ist ja eine Konstante und dessen Integral
> ist dann 0
Das passt nicht: [mm] \integral z^{2}dx\ne0 [/mm]
> [mm]\gdw A=\integral_{0}^{1}{\bruch{x^3}{z} dx}[/mm] das
> [mm]\bruch{1}{z}[/mm] klammere ich als Konstante aus dem Integral
> aus
> [mm]\gdw A=\bruch{1}{z}*\integral_{0}^{1}{x^3 dx}[/mm]
> [mm]\gdw A=\bruch{1}{z}*\left|\bruch{x^4}{4}\right|^1_0[/mm]
>
> [mm]\gdw A=\bruch{1}{4z}*(1-0)[/mm]
> [mm]\gdw A=\bruch{1}{4z}[/mm] ist
> deine Flächenfkt. die du auf ein abs. Minimun untersuchst!
>
>
> Liebe Grüße
> Andreas
Marius
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:36 Mo 01.09.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Auch wenn ein kleiner Fehler drin war, die Idee ist korrekt
Du hast:
[mm] f(x)=\bruch{1}{z}x^{3}+z^{2}
[/mm]
mit der Stammfunktion [mm] F(x)=\bruch{1}{4}x^{4}+z²*x
[/mm]
Und jetzt:
[mm] A=\integral_{0}^{1}\bruch{1}{z}x^{3}+z^{2}
[/mm]
[mm] =\left[\bruch{1}{4}x^{4}+z²*x\right]_{\green{0}}^{\red{1}}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{4}\red{1}^{4}+z²*\red{1}-\left[\bruch{1}{4}\green{0}^{4}+z²*\green{0}\right]
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{4}+z²
[/mm]
Jetzt hast du eine Funktion für die Fläche, nämlich [mm] A(z)=\bruch{1}{4}+z² [/mm] und von dieser suchst du das Minimum.
Marius
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oh ich bitte um verzeihung!
du hast vollkommen recht!
Liebe Grüße
Andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:41 Mo 01.09.2008 | | Autor: | M.Rex |
> oh ich bitte um verzeihung!
>
Kann passieren
> du hast vollkommen recht!
>
> Liebe Grüße
> Andreas
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:29 Mo 01.09.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo
>
> Auch wenn ein kleiner Fehler drin war, die Idee ist
> korrekt
>
> Du hast:
>
> [mm]f(x)=\bruch{1}{z}x^{3}+z^{2}[/mm]
> mit der Stammfunktion [mm]F(x)=\bruch{1}{4}x^{4}+z²*x[/mm]
Ist hier jetzt das [mm] \bruch{1}{z} [/mm] schon ausgeklammert? Kann man das nicht einfach mit drin lassen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:41 Mo 01.09.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> > Hallo
> >
> > Auch wenn ein kleiner Fehler drin war, die Idee ist
> > korrekt
> >
> > Du hast:
> >
> > [mm]f(x)=\bruch{1}{z}x^{3}+z^{2}[/mm]
> > mit der Stammfunktion [mm]F(x)=\bruch{1}{4}x^{4}+z²*x[/mm]
>
> Ist hier jetzt das [mm]\bruch{1}{z}[/mm] schon ausgeklammert? Kann
> man das nicht einfach mit drin lassen?
Das muss sogar drinbleiben, also:
>
[mm] f_{\red{z}}(x)=\bruch{1}{z}x^{3}+z^{2}
[/mm]
mit [mm] F_{\red{z}}(x)=\bruch{1}{4\red{z}}x^{4}+z²*x
[/mm]
Dann ergibt sich als Flächenfunktion:
[mm] A(z)=\bruch{1}{4z}+z², [/mm] die noch zu minimieren ist.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:52 Mo 01.09.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
ok,ich hab dann für [mm] z=\bruch{1}{2} [/mm] raus und wenn ich das in [mm] A(z)=\bruch{1}{4z}+x^{2} [/mm] einsetze bekomme ich für den minimalen Flächeninhalt 2 [mm] \bruch{1}{4} [/mm] raus.
Stimmt das so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:56 Mo 01.09.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Die X-Koordinate ist korrekt, der Flächeninhalt nicht.
[mm] A(\bruch{1}{2})\ne2\bruch{3}{4}
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:57 Mo 01.09.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
uups,das war ein Tippfehler im TR,da kommt doch [mm] \bruch{3}{4} [/mm] raus oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:59 Mo 01.09.2008 | | Autor: | M.Rex |
jetzt passts
Marius
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:11 Mo 01.09.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Zu der a) hab ich doch nochmal ne Frage.Ich hab den Flächeninhalt auf 2 Weisen berchnet.Einmal mit der Formel für den FI eines Trapezes und einmal mit einem Integral.
1. [mm] A=\bruch{a+c}{2}*h=1.5
[/mm]
[mm] 2.\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{z}x^{3}+z^{2} dx}
[/mm]
[mm] F(1)-F(0)=\bruch{5}{4}.
[/mm]
Welches von beiden stimmt denn nun?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:25 Mo 01.09.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mandy!
Wie kommst Du darauf, dass es sich um ein Trapez handelt? Das Trapez wird doch nur von geradlinigen Strecken begrenzt.
Bei der gesuchten Fläche unterhalb der gegebenen Funktion handelt es sich um eine Fläche mit einer krummlinigen Begrenzung: dem Funktionsgraph.
Das Trapez kann daher nur eine Näherung sein.
Richtig ist Dein Ergebnis mittels Integration.
Gruß
Loddar
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