Minimaler Abstand Punkt Ebene < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gesucht ist derjenige Punkt der Ebene:
$2x-3y-4z=25$
der dem Punkt (3,2,1) am nächsten ist.
a) Formulieren Sie die Lagrangesche Multiplikationsregel für diese Aufgabe.
b) Lösen Sie die Aufgabe mit Methoden der analytischen Geometrie. |
Hallo zusammen,
also ich habe etwas gegoogelt und mein Ansatz für a) wäre:
L = f + [mm] $\lamdba [/mm] g$
Nebenbedingung:
$g=2x-3y-4z-25=0$
Normalenvektor der Ebene n = [mm] \vektor{2\\-3\\-4}
[/mm]
Die Punkt - Ebenen Abstandsformel lautet:
d = [mm] \frac{2x -3y -4z-25}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}
[/mm]
Laut google soll ich nun die Ebene um den Punkt verschieben und diese Funktion minimieren, also wäre f:
f [mm] =\frac{2(x-3) -3(y-2) -4(z-1)-25}{\sqrt{(x-3)^2+(y-2)^2+(z-1)^2}} [/mm] = min
stimmt dies soweit?
Vielen Dank.
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Hallo theghostdog,
> Gesucht ist derjenige Punkt der Ebene:
> [mm]2x-3y-4z=25[/mm]
> der dem Punkt (3,2,1) am nächsten ist.
>
> a) Formulieren Sie die Lagrangesche Multiplikationsregel
> für diese Aufgabe.
> b) Lösen Sie die Aufgabe mit Methoden der analytischen
> Geometrie.
> Hallo zusammen,
>
> also ich habe etwas gegoogelt und mein Ansatz für a)
> wäre:
>
> L = f + [mm]\lamdba g[/mm]
Du meinst wohl:
[mm]L = f + \lambda g[/mm]
>
> Nebenbedingung:
> [mm]g=2x-3y-4z-25=0[/mm]
>
> Normalenvektor der Ebene n = [mm]\vektor{2\\-3\\-4}[/mm]
>
> Die Punkt - Ebenen Abstandsformel lautet:
> d = [mm]\frac{2x -3y -4z-25}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}[/mm]
>
> Laut google soll ich nun die Ebene um den Punkt verschieben
> und diese Funktion minimieren, also wäre f:
>
> f [mm]=\frac{2(x-3) -3(y-2) -4(z-1)-25}{\sqrt{(x-3)^2+(y-2)^2+(z-1)^2}}[/mm]
> = min
>
> stimmt dies soweit?
Die Nebenbedingung g stimmt.
Für f ist der euklidische Abstand anzusetzen:
[mm]f\left(x,y,z\right)=d^{2}\left(x,y,z\right)=\left(x-3\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}+\left(z-1\right)^{2}[/mm]
>
> Vielen Dank.
Gruss
MathePower
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Hey MathePower,
ja, ich meine $ L = f + [mm] \lambda [/mm] g $ ;). Kannst du mir sagen, weshalb ich den euklidischen Abstand nehmen muß?
Wenn ich es mit diesem weiter versuche, komme ich zu:
[mm] $f_x [/mm] = [mm] 2(x-3)+2\lambda$
[/mm]
[mm] $f_y [/mm] = [mm] 2(y-2)-3\lambda$
[/mm]
[mm] $f_z=2(z-1)-4\lambda$
[/mm]
wenn ich nun die [mm] $f_i$ [/mm] Gleichungen 0 setze komme ich auf:
$x = 3 - [mm] \lambda$
[/mm]
[mm] $y=2+3/2\lambda$
[/mm]
[mm] $z=1+2\lambda$
[/mm]
und damit komme ich zu:
[mm] $\lambda [/mm] = 3x = [mm] \frac{y-2}{3} [/mm] = [mm] \frac{z-1}{2}$
[/mm]
wenn ich y und z nach x auflöse komme ich auf:
$y = [mm] \frac{9x-4}{2}$
[/mm]
$z = 6x +1$
dies habe ich nun in die Ebenegleichung eingesetz und komme für x auf:
$x = [mm] \frac{-54}{71}$
[/mm]
und damit komme ich auf:
y= [mm] \frac{-385}{71} [/mm] z= [mm] \frac{-253}{71}
[/mm]
was somit als Lösung P = [mm] \vektor{\frac{-54}{71} \\ \frac{-385}{71} \\ \frac{-253}{71} } [/mm] soll das stimmen???
Gruß und Dank.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:24 So 06.06.2010 | | Autor: | Morrow |
Deine Lösung kann gar nicht richtig sein, die sie eingesetzt $ 2x-3y-4z [mm] \not= [/mm] 25 $ ist und sich der Punkt somit nicht auf der Ebene befindet.
Ich bekomme [mm] \vektor{105 \\ -151 \\ -203} [/mm] als Lösung mithilfe der Paramterdarstellung der Ebene geschnitten mit der Geraden durch [mm] \vektor{3 \\ 2 \\ 1} [/mm] und dem Normalenvektor der Ebene.
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> ja, ich meine [mm]L = f + \lambda g[/mm] ;).
Hallo,
und nun wäre es keine überflüssige Mühe, die Funktion L(x,y, z, [mm] \lambda) [/mm] mal hinzuschreiben.
> Kannst du mir sagen,
> weshalb ich den euklidischen Abstand nehmen muß?
Was würdest Du denn sonst nehmen wollen?
Es ist doch der Abstand von Punkten zu minimieren.
>
> Wenn ich es mit diesem weiter versuche, komme ich zu:
>
> [mm]\red{L}_x = 2(x-3)+2\lambda[/mm]
>
> [mm]\red{L}_y = 2(y-2)-3\lambda[/mm]
>
> [mm]\red{L}_z=2(z-1)-4\lambda[/mm]
>
> wenn ich nun die [mm]f_i[/mm] Gleichungen 0 setze komme ich auf:
>
> [mm]x = 3 - \lambda[/mm]
>
> [mm]y=2+3/2\lambda[/mm]
>
> [mm]z=1+2\lambda[/mm]
>
> und damit komme ich zu:
>
> [mm]\lambda = 3x
Das stimmt sicher nicht.
> \lambda = \frac{y-2}{3}
Und das auch nicht.
> \lambda = \frac{z-1}{2}[/mm]
Das stimmt.
Gruß v. Angela
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Nabend zusammen,
also ich habe nochmal hin und her gerechnet und komme nun auf folgendes:
$x= [mm] -\lambda [/mm] + 3$
$y= [mm] \frac{1}{2}(3\lambda [/mm] + 4)$
$z= [mm] 2\lambda [/mm] + 1$
[mm] $\lambda [/mm] = -2$
womit sich als Punkt ergibt: [mm] $P=\vektor{5\\-1 \\-3}
[/mm]
also wenn ich P in die Ebenegleichung einsetze, bekomme ich zumindest 25=25 raus. Stimmt dies nun?
Danke.
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Hallo theghostdog,
der ermittelte Punkt ist jedenfalls der richtige.
Den Rest habe ich nicht nachgerechnet.
Man kommt aber schneller zum Ziel, wenn man von dem gegebenen Punkt in Richtung der Normalen auf die Ebene zielt:
[mm] \vektor{3\\2\\1}+t\vektor{2\\-3\\-4} [/mm] muss auf der Ebene liegen, weswegen gilt:
2(3*2t)-3(2-3t)-4(1-4t)=25
Nach ganz kurzer Rechnung findet man t=1 und landet damit auf dem Punkt, den Du auch bestimmt hast. Es kann ja auch nur einen solchen Punkt geben...
Grüße
reverend
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Ah alles klar. Vielen Dank!
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