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| Aufgabe | Gegeben ist die Funktionsschar fa mit fa(x)= [mm] \bruch{4x}{x²+a}
[/mm]
Die Strecke Ta nach Ha soll die Seite eines Quadrats bilden. Ermitteln Sie den Wert a, für den der flächeninhalt dieses Quadrats minimal wird.
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Also mir ist bereits klar, dass ich eine Funktionsgleichung aufstellen muss und diese nach ihrem Minimum untersuchen muss.
Ich weiß aber nicht wie ich auf die Funktionsgleichung komme. Also A=a² ... Aber wenn ich für a einfach x einsetze funktioniert das nicht und irgendwo muss ja auch noch die Ausgangsfunktion berücksichtig werden... ?!?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:32 Do 12.03.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Die Notation [mm] T_{a} [/mm] und [mm] H_{a} [/mm] deutet darauf hin, dass du hier eienn Tiefpunkt [mm] T_{a}(x_{t}/f_{a}(x_{t})) [/mm] und einen Hochpunkt [mm] H_{a}(x_{h}/f_{a}(x_{h})) [/mm] hast.
Berechne jetzt mal die Streckenlänge [mm] L(a)=\left|\overline{T_{a}H_{a}}\right|
[/mm]
Das geht mit dem Pythagoras:
[mm] L(a)=\wurzel{(x_{t}-x_{h})²+(f_{a}(x_{t})-f_{a}(x_{h}))²}
[/mm]
Also [mm] A_{\text{Quadrat}}(a)=L(a)²=(x_{t}-x_{h})²+(f_{a}(x_{t})-f_{a}(x_{h}))²
[/mm]
Und diese Funktion A(a) hat ein Minimum.
Marius
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Ich habe das jetzt soweit gerechnet. Allerdings bekomme ich für L(a)² = [mm] \bruch{4(a²+4}{a} [/mm] heraus.
Die erste Ableitung ist jedoch Null, sodass ich gar keine Extrema berechnen kann ?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:01 Do 12.03.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Zeig mal die Rechung.
[mm] \bruch{4(a²+4)}{a}
[/mm]
[mm] =\bruch{4a²+16}{a}
[/mm]
[mm] =4a+\bruch{16}{a}
[/mm]
[mm] =4a+16a^{-1}
[/mm]
Und die Ableitung davon ist definitiv nicht Null
Marius
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Der Taschenrechner sagt aber Null :D
Ich weiß nicht mehr wirklich wie ich mit Variablen per Hand ableite :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:05 Do 12.03.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Der Taschenrechner sagt aber Null :D
Dann hast du wohl die Funktion falsch eingegeben. Oder der TR hat nach x statt nach a abgeleitet.
>
> Ich weiß nicht mehr wirklich wie ich mit Variablen per Hand
> ableite :(
[mm] f(x)=x^{n}
[/mm]
[mm] f'(x)=nx^{n-1}
[/mm]
Hier ist allerdings a die Differentationsvariable
Dämmerts wieder?
Marius
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Ja ich habs falsch eingegeben ;)
Also x anstatt a
Ich habe jetzt für a=-2 und a=+2 raus. Bei -2 liegt der Tiefpunkt also das Minimum mit y=-4.
Da ja aber der Betrag genommen wird sind beide werte positiv. Ist das soweit richtig?
Also ist für a=2 der Flächeninhalt minimal ?!
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Hallo, [mm] a_1=-2 [/mm] und [mm] a_2=2 [/mm] ist korrekt, jetzt überlegen wir uns, was es bedeutet, du hast zwei Funktionen:
[mm] f_1(x)=\bruch{4x}{x^{2}-2}
[/mm]
[mm] f_2(x)=\bruch{4x}{x^{2}+2}
[/mm]
zu betrachten ist aber nur [mm] f_2(x), [/mm] die Funktion [mm] f_1(x) [/mm] hat ja an den Stellen [mm] x=\pm\wurzel{a} [/mm] zwei senkrechte Asymptoten,
für a=2 wird also die Fläche vom Quadrat minimal,
das Maximum der Funktion [mm] f_2(x)=\bruch{4x}{x^{2}+2} [/mm] liegt an der Stelle [mm] x=\wurzel{2}, [/mm] das Minimum liegt an der Stelle [mm] x=-\wurzel{2}
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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