Minimalpolynom < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:24 Mi 11.02.2015 | | Autor: | YuSul |
Hi,
ich habe eine allgemeine Frage, wenn ich das Minimalpolynom einer Körpererweiterung bestimmen möchte.
Beispiel:
[mm] $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}-2)$
[/mm]
Dann ist es meiner Meinung nach relativ schwer ein Polynom über [mm] $\IQ$ [/mm] zu finden, welches die Nullstelle [mm] $\sqrt[3]{2}-2$ [/mm] hat.
Bedeutend einfacher ist es ein Polynom anzugeben, welches die Nullstelle [mm] $\sqrt[3]{2}$ [/mm] hat.
Und es ist doch [mm] $\IQ(\sqrt[3]{2})=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}-2)$
[/mm]
Da [mm] $(\sqrt[3]{2})^3=2$
[/mm]
Dann kann ich dies doch ohne Probleme auch so "reduzieren" und dann als Minimalpolynom
[mm] $T^3-2$ [/mm] angeben um den Grad der Körpererweiterung über [mm] $\IQ$ [/mm] anzugeben.
Muss ich dabei auf irgendwas achten?
Gibt es eine bestimmte Methode mit der man auch das Minimalpolynom von
[mm] $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}-2)$ [/mm] angeben könnte?
Dies wäre [mm] $T^3+6T^2+12T+6$
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:17 Mi 11.02.2015 | | Autor: | statler |
Auch hi!
> ich habe eine allgemeine Frage, wenn ich das Minimalpolynom
> einer Körpererweiterung bestimmen möchte.
Ich bin mir nicht ganz sicher, aber bezieht sich das Wort Minimalpolynom nicht immer auf ein Element (und nicht auf einen Körper)?
>
> Beispiel:
>
> [mm]\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}-2)[/mm]
>
> Dann ist es meiner Meinung nach relativ schwer ein Polynom
> über [mm]\IQ[/mm] zu finden, welches die Nullstelle [mm]\sqrt[3]{2}-2[/mm]
> hat.
> Bedeutend einfacher ist es ein Polynom anzugeben, welches
> die Nullstelle [mm]\sqrt[3]{2}[/mm] hat.
Das sehe ich genauso.
>
> Und es ist doch [mm]\IQ(\sqrt[3]{2})=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}-2)[/mm]
> Da [mm](\sqrt[3]{2})^3=2[/mm]
Ja.
>
> Dann kann ich dies doch ohne Probleme auch so "reduzieren"
> und dann als Minimalpolynom
eines erzeugenden Elementes
> [mm]T^3-2[/mm] angeben um den Grad der Körpererweiterung über [mm]\IQ[/mm]
> anzugeben.
> Muss ich dabei auf irgendwas achten?
Naja, daß alles stimmt-
>
> Gibt es eine bestimmte Methode mit der man auch das
> Minimalpolynom von
> [mm]\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}-2)[/mm] angeben könnte?
Wenn man wie hier den begründeten Verdacht hat, daß der Körpergrad 3 ist, dann bildet man die Potenzen bis zur 3. und schaut, ob sich eine lineare Abhängigkeit ergibt. Wenn man weiß, daß der Grad 3 ist, muß es eine geben.
>
> Dies wäre [mm]T^3+6T^2+12T+6[/mm]
Wo kommt diese Gleichung denn her? Mathematica? Das wäre unsportlich.
Gruß aus HH
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:28 Mi 11.02.2015 | | Autor: | YuSul |
Dieses Minimalpolynom spuckt Wolframalpha aus...
Aber du hast recht, wenn man die Vermtung hat, dass der Grad 3 ist, dann kann man vielleicht mit einem Koeffizientenvergleich arbeiten, aber auch das wäre ja eigentlich unnötig, wenn ich es wie oben machen kann.
Das Problem ist nur, was macht man, wenn das Element was ich dazunehme nicht so "reduzieren" lässt.
Zum Beispiel wenn ich sowas hätte:
[mm] $\IQ(\sqrt{7}-\sqrt[4]{11})$
[/mm]
Edit:
Sowas sollte wohl zu schwer sein um da so ohne weiteres drauf zukommen. Es wäre eine Polynom 8ten Grades. Naja, das Beispiel ist wohl schlecht gewählt.
Spielt eigentlich auch keine Rolle, Hauptsache obiger Lösungsweg wäre korrekt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:49 Mi 11.02.2015 | | Autor: | statler |
Hallo!
> Zum Beispiel wenn ich sowas hätte:
>
> [mm]\IQ(\sqrt{7}-\sqrt[4]{11})[/mm]
Das Ding liegt ja ganz sicher in [mm] (\IQ(\sqrt{7}))(\sqrt[4]{11}), [/mm] der Grad wäre also nach dem Gradsatz maximal 8. Jetzt könnte es so rein theoretisch passieren, daß das MP von [mm] \sqrt[4]{11} [/mm] über [mm] \IQ [/mm] über [mm] \IQ(\sqrt{7}) [/mm] zerfällt, also reduzibel wird. Dazu müßte man sich dann entsprechende Gedanken machen.
Gruß Dieter
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