Minimalpolynom < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:45 Di 18.04.2006 | | Autor: | JuliaF |
| Aufgabe | Sei [mm] a = \wurzel{2+ \wurzel{2} } \in \IC [/mm]
(a) Berechnen Sie das Minimalpolynom [mm] m_{a} [/mm] von a über Q
(b) Sei [mm]L\le \IC [/mm] ein Zerfällungskörper von [mm] m_{a} [/mm]. Bestimmen Sie [mm]dim_{\IQ} L [/mm] und [mm] Gal(Q,L).
|
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
also ich muss am Freitag eine Algebraklausur schreiben und soviel Ahnung von dem Minimalpolynom hab ich ncoh nciht. Ich kann mir nicht viel darunter vorstellen.
Also als Minimalpolynom kommt wohl raus: [mm] x^2 - 2 - \wurzel {2} [/mm]
Für den Zerfällungskörper brauche ich jetzt ja alle Nullstellen, das wäre zum einen +/- a und +/- i mal die Wurzel. Aber warum ist i mal die Wurzel eine Nullstelle? Wenn ich das quadriere, also [mm]i^2 * \wurzel{2+ \wurzel{2} } [/mm]also [mm]-(2 + \wurzel{2}) [/mm] und nciht mit einem plus davor??
Da m irreduzibel ist, adjungiere ich also einfach die Nullstellen, sofern ich denn die richtigen habe.
Die Dimension bekomme ich mit sonem Gradsatz hin. Ist die vier?
Kann ich einfach sagen,d ass der Zerfällungskörper die Galoisgruppe ist?
Wenn mir jemand zum ersten Teil was sagen kann, dann ist mir schon gut geholfen, aber der zweite wäre trotzdem nett.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:40 Di 18.04.2006 | | Autor: | statler |
Hallo Julia!
> Sei [mm]a = \wurzel{2+ \wurzel{2} } \in \IC[/mm]
>
> (a) Berechnen Sie das Minimalpolynom [mm]m_{a}[/mm] von a über Q
> (b) Sei [mm]L\le \IC[/mm] ein Zerfällungskörper von [mm]m_{a} [/mm].
> Bestimmen Sie [mm][mm]dim_{\IQ}[/mm] L [mm][/mm][/mm] und [mm]Gal(Q,L).[/mm][/mm]
> [mm][mm] [/mm][/mm]
> [mm][mm]Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.[/mm][/mm]
> [mm][mm] [/mm][/mm]
> [mm][mm]Hallo,[/mm][/mm]
> [mm][mm] also ich muss am Freitag eine Algebraklausur schreiben und soviel Ahnung von dem Minimalpolynom hab ich ncoh nciht. Ich kann mir nicht viel darunter vorstellen. [/mm][/mm]
> [mm][mm]Also als Minimalpolynom kommt wohl raus: [mm]x^2 - 2 - \wurzel {2}[/mm][/mm][/mm]
Ganz sicher nicht, weil die Koeffizienten doch in [mm] \IQ [/mm] liegen sollen.
> [mm][mm] Für den Zerfällungskörper brauche ich jetzt ja alle Nullstellen, das wäre zum einen +/- a und +/- i mal die Wurzel. Aber warum ist i mal die Wurzel eine Nullstelle? Wenn ich das quadriere, also [mm]i^2 * \wurzel{2+ \wurzel{2} } [/mm]also [mm]-(2 + \wurzel{2})[/mm] und nciht mit einem plus davor??[/mm][/mm]
> [mm][mm] [/mm][/mm]
> [mm][mm]Da m irreduzibel ist, adjungiere ich also einfach die Nullstellen, sofern ich denn die richtigen habe. [/mm][/mm]
Das habe ich nicht wirklich verstanden.
> [mm][mm]Die Dimension bekomme ich mit sonem Gradsatz hin. Ist die vier?[/mm][/mm]
Ich denke, daß ja.
> [mm][mm] Kann ich einfach sagen,d ass der Zerfällungskörper die Galoisgruppe ist?[/mm][/mm]
Das eine ist ein Körper von Zahlen, und das andere eine Gruppe von Transformationen, können die gleich sein?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:21 Di 18.04.2006 | | Autor: | JuliaF |
Also dann kommt da wohl [mm] x^4 - 4x^2 +2 [/mm] raus...
Das ist ja irreduzibel, da es in IQ keine Nullstellen besitzt. Müsste ich auch noch zeigen dass es minimal ist?
Und wie ist das mit dem Zerfällungskörper, so wie ich das gemacht hatte, scheint es ja nicht ganz richtig zu sein...
Möglicherweise gibt es ja noch andere Wurzeln in IC, vielleicht hat jemand einen Tip, wie ich die bestimmen könnte? Mit Polynomdivision komm ich da ja nicht weit...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:40 Di 18.04.2006 | | Autor: | Micha |
Hallo!
> Also dann kommt da wohl [mm]x^4 - 4x^2 +2[/mm] raus...
> Das ist ja irreduzibel, da es in IQ keine Nullstellen
> besitzt. Müsste ich auch noch zeigen dass es minimal ist?
Einfach Eisenstein mit p=2 und Satz von Gauss zeigt die Irreduzibilität...
Gruß Micha 
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Do 20.04.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
