Minimalpolynom < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:11 Mi 25.04.2007 | | Autor: | clwoe |
| Aufgabe | | Berechnen sie das Minimalpolynom der Matrix [mm] B=\pmat{ 1 & -1 & 1 & -1 \\ -3 & 3 & -5 & 4 \\ 8 & -4 & 3 & -4 \\ 15 & -10 & 11 & -11 }. [/mm] |
Hi,
das Minimalpolynom ist doch das kleinste normierte Polynom, welches das charakteristische Polynom teilt. Zusätzlich muss auch gelten, das das Minimalpolynom wenn man die Matrix selbst einsetzt gleich 0 sein muss.
Dies ist mir alles klar.
Ich habe also von obiger Matrix das charakteristische Polynom berechnet, dann Nullstellen davon, also die Eigenwerte der Matrix bestimmt, um so das charakteristische Polynom in seine Linearfaktoren zu zerlegen.
Das charakteristische Polynom müsste lauten:
[mm] X_{B}(\lambda)=(\lambda)^{4}+4(\lambda)^{3}-30(\lambda)^{2}-68\lambda-35
[/mm]
Wenn ich es null setze, dann bekomme ich die Eigenwerte:
[mm] \lambda_{1}=5
[/mm]
[mm] \lambda_{2}=-7
[/mm]
[mm] \lambda_{3}=-1 [/mm] (doppelte Nullstelle)
Nun habe ich es in die Linearfaktoren zerlegt:
[mm] X_{B}(\lambda)=(\lambda-5)(\lambda+7)(\lambda+1)^{2}
[/mm]
Woher weiß ich jetzt allerdings was das Minimalpolynom genau sein soll???
Die Überprüfung ob [mm] X_{B}(B)=0 [/mm] ist stellt kein Problem dar, ich bin mir einfach nicht darüber im Klaren, was jetzt hier das Minimalpolynom sein soll!
Vielleicht könnte mir hier mal jemand weiterhelfen. Und vielleicht auch mal meine Vorarbeiten kontrollieren.
Danke und Gruß,
clwoe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:29 Mi 25.04.2007 | | Autor: | statler |
Hallo Dominic!
Ist das nicht so, daß das MP das charP teilt und das charP eine Potenz des MP? Aber dann gibt es hier für das MP nur 2 Möglichkeiten.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:40 Mi 25.04.2007 | | Autor: | clwoe |
Hi,
danke für die Antwort.
Meiner Meinung nach dürfte es auch nur zwei Möglichkeiten geben.
Nämlich:
1) [mm] \mu_{B}^{1}(\lambda)=(\lambda-5)(\lambda+7)(\lambda+1)
[/mm]
2) [mm] \mu_{B}^{2}(\lambda)=(\lambda-5)(\lambda+7)(\lambda+1)^{2}
[/mm]
Nur das Problem ist folgendes:
Wenn ich jetzt egal ob beim ersten oder dem zweiten die Matrix B einsetze, kommt nie die Nullmatrix raus und das müsste aber eigentlich sein. Also kann an den Minimalpolynomen irgendwas nicht stimmen.
Gruß,
clwoe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:44 Mi 25.04.2007 | | Autor: | statler |
Hallo,
ich hab nix nachgerechnet, aber es gilt:
Jeder Endomorphismus erfüllt sein charakteristisches Polynom.
Da stimmt also was nicht....
Ciao (ich schließe meinen Laden für heute)
Dieter
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>
> Nämlich:
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> 1) [mm]\mu_{B}^{1}(\lambda)=(\lambda-5)(\lambda+7)(\lambda+1)[/mm]
> 2)
> [mm]\mu_{B}^{2}(\lambda)=(\lambda-5)(\lambda+7)(\lambda+1)^{2}[/mm]
>
> Nur das Problem ist folgendes:
>
> Wenn ich jetzt egal ob beim ersten oder dem zweiten die
> Matrix B einsetze, kommt nie die Nullmatrix raus
Hallo,
WENN Dein charakteristisches Polynom richtig ist, dann gibt es für das Minimalpolynom die beiden von Dir genannten Möglichkeiten.
Wenn beide Möglichkeiten für die eingesetzte Matrix B nicht die Nullmatrix ergeben,
- stimmt entweder Dein charakteristisches Polynom bzw. seine Zerlegung in Linearfaktoren nicht,
- oder Du hast beim Einsetzen schlicht und ergreifend falsch gerechnet.
Beides passiert leicht.
Rechne halt nochmal...
Gruß v. Angela
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