Minimalpolynom < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Minimalpolynome für die folgenden Matrizen.
(a) [mm] A=\pmat{ 3 & 4 & -3 \\ 2 & 7 & -4 \\ 3 & 9 & -5 } \in(\IC)_{3}
[/mm]
(b) [mm] B=\pmat{ 0 & ... & ... & ... & 0 \\ 1 & 0 & ... & ... & 0 \\ 0 & \ddots & \ddots & & 0 \\ \vdots & & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & ... & ... & 1 & 0 } \in(K)_{n}, [/mm] wobei K ein Körper ist. |
Also zu (a) habe ich jetzt das Char. Polynom ausgerechnet:
[mm] t^{3}-5t^{2}+8t-4
[/mm]
Ich weiß auch, dass dies auch das Minimalpolynom ist. Aber ich muss das ja nun auch noch zeigen. Aber wie? Ich habe was gelesen, dass ich in die Teiler(welche? Wie bekomme ich diese raus?) die Matrix A "einsetzen" soll. Verstehe jetzt aber nicht ganz wie das funktioniert.
Bei (b) hab ich noch nicht angefangen aber gibt es da einen Trick oder einfach mal anfangen das char Polynom auszurechen?
Grüße
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:22 Do 24.04.2008 | | Autor: | Eliza |
Hallo,
zu (a): Es ist ja so, dass das Minimalpolynom Teiler des charakteristischen Polynoms ist. Außerdem muss gelten, dass $p(A)=0$ (also Nullmatrix) ist. Wenn du also alle Teiler von deinem charakteristischen Polynom betrachtest und feststellst, dass nicht die Nullmatrix rauskommt, wenn du A einsetzt, weißt du, dass das charakteristische Polynom auch das Minimalpolynom ist. Die Teiler eines Polynoms erhälst du indem du es zuerst in Linearfaktoren zerlegst (falls möglich, ist aber über [mm] $\IC$ [/mm] immer der Fall) und dann alle Kombinationen von Produkten dieser Linearfaktoren bildest.
Eine Matrix in ein Polynom einsetzen bedeutet folgendes:
Angenommen dein Polynom ist [mm] $3x^2+5x+3$ [/mm] dann bedeutet A eingesetzt in dieses Polynom: [mm] $3A^2+5A+3I$, [/mm] wobei [mm] $A^2=A \cdot [/mm] A$ (Matrizenmultiplikation) und $I$ die Einheitsmatrix ist.
zu (b): Die Matrix B ist die Abbildungsmatrix einer nilpotenten Abbildung. Das bedeutet, es gibt ein [mm] $k\in\IN$ [/mm] so dass [mm] $B^k=0$. [/mm] Da hier nur 1en auf den Nebendiagonalen stehen ist $k=n$, also ist dein Minimalpolynom [mm] $t^n$ [/mm] (kommt auch bis aufs Vorzeichen für das charakteristische Polynom raus).
Hoffe das hilft dir!
Viele Grüße,
Eliza
|
|
|
|
