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Hallo zusammen,
gibt es denn einen formalen Weg, wie man zu einem bestimmten Element $b$ ein Minimalpolynom über einen bestimmten Körper $K$ bestimmt?
Wenn ja, wie macht man das?
Ich hab es bis jetzt nur einmal gesehen, wie das gehen kann. Und da wurde mit Hilfe des Gradsatzes eine Basis [mm] $\{1=b^0, b^1, b^2, b^3 \} [/mm] in $K(b)$ (K adjungiert b) bestimmt, und dann die Gleichung [mm] $0=a_0*b_0+a^1*b^1+a^2*b^2+a_3*b^3+b^4$ [/mm] mittels Koeffizientenvgl. gelöst. Das dabei entstehende Polynom soll dann Minimalpolynom sein.
Gibt es da noch einen schöneren Weg? Oder ist der schon einfach genug?
Vielen Dank im Voraus!
lg Kai
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:33 Fr 27.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Hallo zusammen,
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> gibt es denn einen formalen Weg, wie man zu einem
> bestimmten Element [mm]b[/mm] ein Minimalpolynom über einen
> bestimmten Körper [mm]K[/mm] bestimmt?
Irgendwie musst du ja einen Oberkoerper $L$ von $K$ haben, in dem $b$ liegt. Ist der von der Form $L = K(b)$?
> Wenn ja, wie macht man das?
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> Ich hab es bis jetzt nur einmal gesehen, wie das gehen
> kann. Und da wurde mit Hilfe des Gradsatzes eine Basis
> [mm]$\{1=b^0, b^1, b^2, b^3 \}[/mm] in $K(b)$ (K adjungiert b)
> bestimmt, und dann die Gleichung
> [mm]$0=a_0*b_0+a^1*b^1+a^2*b^2+a_3*b^3+b^4$[/mm] mittels
> Koeffizientenvgl. gelöst. Das dabei entstehende Polynom
> soll dann Minimalpolynom sein.
Koeffizientenvergleich nicht, aber du bekommst ein lineares Gleichungssystem mit linearen Koeffizienten.
Du kannst alternativ auch $L = K(b)$ als $K$-Vektorraum auffassen und $a$ als Endomorphismus: naemlich Multiplikation mit $a$. Diesen kannst du bzgl. der Basis $1, b, [mm] b^2, \dots, b^3$ [/mm] als Matrix darstellen und davon das charakteristische Polynom berechnen. Dieses ist eine Potenz des Minimalpolynoms, und das Minimalpolynom der Matrix ist gleich dem Minimalpolynom von $a$ ueber $K$.
LG Felix
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