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Ich bräuchte da mal Hilfe
Ich habe eine Abbildung gegeben
F: K(hoch 8) -> K(hoch 8)
(x1,...,x8)-> (x1,x1,x2,x2,x3,x3,x4,x4)
Und für dieses F muss ich das Minimalpolynom bestimmen. Krieg ich aber nicht hin.... Kann mir da jemand helfen??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:31 Mo 24.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo antimatheass,
willkommen im MatheRaum! 
> Ich bräuchte da mal Hilfe
> Ich habe eine Abbildung gegeben
>
> F: K(hoch 8) -> K(hoch 8)
> (x1,...,x8)-> (x1,x1,x2,x2,x3,x3,x4,x4)
>
> Und für dieses F muss ich das Minimalpolynom bestimmen.
> Krieg ich aber nicht hin.... Kann mir da jemand helfen??
Wüßtest du es denn, wenn die Abbildung als Matrix gegeben wäre?
Dann gebe ich dir mal einen Tipp, wie man deine Abbildung in eine Matrix verwandelt:
Die Abbildungsvorschrift [mm] $\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5\\x_6\\x_7\\x_8\end{pmatrix}\mapsto\begin{pmatrix}x_1\\x_1\\x_2\\x_2\\x_3\\x_3\\x_4\\x_4\end{pmatrix}$ [/mm] kann man ja schreiben als:
[mm] $\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5\\x_6\\x_7\\x_8\end{pmatrix}\mapsto x_1*\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\\0\\0\\0\\\end{pmatrix}+x_2*\begin{pmatrix}0\\0\\1\\1\\0\\0\\0\\\end{pmatrix}+x_3*\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\\1\\0\\0\\\end{pmatrix}+x_4*\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\0\\1\\1\\\end{pmatrix}+x_5*\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\\end{pmatrix}+x_6*\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\\end{pmatrix}+x_7*\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\\end{pmatrix}+x_8*\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\\end{pmatrix}$ [/mm]
was sich wunderbar als Matrix darstellen läßt:
[mm]\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5\\x_6\\x_7\\x_8\end{pmatrix}\mapsto
\begin{pmatrix}
1&0&0&0&0&0&0&0\\
1&0&0&0&0&0&0&0\\
0&1&0&0&0&0&0&0\\
0&1&0&0&0&0&0&0\\
0&0&1&0&0&0&0&0\\
0&0&1&0&0&0&0&0\\
0&0&0&1&0&0&0&0\\
0&0&0&1&0&0&0&0\\
\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5\\x_6\\x_7\\x_8\end{pmatrix}[/mm]
Kommst du nun weiter? Falls nicht, melde dich bitte nochmal!
Viele Grüße,
Marc
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Also ich weiß, dass das charakteristische Polynom das Minimalpolynom teilen muss und zusätzlich muss meine Matrix eine Nullstelle sein.
Nun habe ich das charakteristische Polynom bestimmt, das ist
( 1-x ) * x ^ 7.
Nun brauche ich also ein irreduzibles Polynom davon, damit es mir als Minimalpolynom dient...
Da komm ich aber irgendwie nicht weiter....
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:18 Mo 24.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo antimatheass,
> Also ich weiß, dass das charakteristische Polynom das
> Minimalpolynom teilen muss und zusätzlich muss meine Matrix
> eine Nullstelle sein.
> Nun habe ich das charakteristische Polynom bestimmt, das
> ist
> ( 1-x ) * x ^ 7.
Das habe ich jetzt nicht nachgerechnet, werde ich aber gleich noch nachholen.
> Nun brauche ich also ein irreduzibles Polynom davon, damit
> es mir als Minimalpolynom dient...
> Da komm ich aber irgendwie nicht weiter....
Okay. Faktorisiert hast du das charakteristische Polynome ja bereits.
[mm] $p(x)=(1-x)^1*x^7$
[/mm]
Jetzt probierst du der Reihe nach mit der Abbildungsmatrix A durch:
[mm] A^7\stackrel{?}{=}0
[/mm]
Falls ja, dann weiter probieren [mm] $A^6\stackrel{?}{=}0$, $A^5\stackrel{?}{=}0$, $A^4\stackrel{?}{=}0$, $\ldots$, $A^1\stackrel{?}{=}0$
[/mm]
Falls nicht, dann weiter probieren mit [mm] $(1-A)*A^6\stackrel{?}{=}0$, $(1-A)*A^7\stackrel{?}{=}0$, $\ldots$
[/mm]
Allgemein mußt du also von den Faktoren die niedrigste Potenz finden, so dass die Matrix immer noch auf Null abgebildet wird.
Alles klar?
Bis später,
Marc
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Ok. Wir haben jetzt festgestellt, dass für (1 - A ) * A es immer auf die Nullmatrix abgebildet wird.
Problem ist nun, dass es nicht hinhaut, wenn man da die Abbildung für einsetzt, also dieses F:K (hoch8 ) -> K (hoch8 )
(x1,....,x8) -> (x1,x1,x2,x2,x3,x3,x4,x4).
Dafür bekommt man es nie 0. Oder muss man das gar nicht??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:40 Mo 24.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo antimatheass,
> Ok. Wir haben jetzt festgestellt, dass für (1 - A ) * A es
> immer auf die Nullmatrix abgebildet wird.
> Problem ist nun, dass es nicht hinhaut, wenn man da die
> Abbildung für einsetzt, also dieses F:K (hoch8 ) -> K
> (hoch8 )
> (x1,....,x8) ->
> (x1,x1,x2,x2,x3,x3,x4,x4).
> Dafür bekommt man es nie 0. Oder muss man das gar nicht??
Doch, natürlich müßte es das:
Ich versuche mal, [mm] $(id-F(\cdot)\circ F((x_1,\ldots,x_8))$ [/mm] zu berechnen
[mm] $F((x_1,\ldots,x_8))=(x_1,x_1,x_2,x_2,x_3,x_3,x_4,x_4)$
[/mm]
und
[mm] $F(F((x_1,x_1,x_2,x_2,x_3,x_3,x_4,x_4)))=(x_1,x_1,x_1,x_1,x_2,x_2,x_3,x_3)$
[/mm]
Nun ist
[mm] $(x_1,x_1,x_2,x_2,x_3,x_3,x_4,x_4)-(x_1,x_1,x_1,x_1,x_2,x_2,x_3,x_3)$
[/mm]
[mm] $=(0,0,x_2-x_1,x_2-x_1,x_3-x_2,x_3-x_2,x_4-x_3,x_4-x_3)\not=0$
[/mm]
Da stimmt also etwas noch nicht mit Eurem Minimalpolynom...
Seid Ihr sicher, dass (1-A)*A die Nullmatrix ist?
Ich überprüfe das auch mal (ah, ich liebe LaTeX  ):
[mm]\left( \begin{pmatrix}
1&0&0&0&0&0&0&0\\
0&1&0&0&0&0&0&0\\
0&0&1&0&0&0&0&0\\
0&0&0&1&0&0&0&0\\
0&0&0&0&1&0&0&0\\
0&0&0&0&0&1&0&0\\
0&0&0&0&0&0&1&0\\
0&0&0&0&0&0&0&1\\
\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
1&0&0&0&0&0&0&0\\
1&0&0&0&0&0&0&0\\
0&1&0&0&0&0&0&0\\
0&1&0&0&0&0&0&0\\
0&0&1&0&0&0&0&0\\
0&0&1&0&0&0&0&0\\
0&0&0&1&0&0&0&0\\
0&0&0&1&0&0&0&0\\
\end{pmatrix}\right) \begin{pmatrix}
1&0&0&0&0&0&0&0\\
1&0&0&0&0&0&0&0\\
0&1&0&0&0&0&0&0\\
0&1&0&0&0&0&0&0\\
0&0&1&0&0&0&0&0\\
0&0&1&0&0&0&0&0\\
0&0&0&1&0&0&0&0\\
0&0&0&1&0&0&0&0\\
\end{pmatrix}[/mm]
[mm]=\begin{pmatrix}
0&0&0&0&0&0&0&0\\
-1&1&0&0&0&0&0&0\\
0&-1&1&0&0&0&0&0\\
0&-1&0&1&0&0&0&0\\
0&0&-1&0&1&0&0&0\\
0&0&-1&0&0&1&0&0\\
0&0&0&-1&0&0&1&0\\
0&0&0&-1&0&0&0&1\\
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
1&0&0&0&0&0&0&0\\
1&0&0&0&0&0&0&0\\
0&1&0&0&0&0&0&0\\
0&1&0&0&0&0&0&0\\
0&0&1&0&0&0&0&0\\
0&0&1&0&0&0&0&0\\
0&0&0&1&0&0&0&0\\
0&0&0&1&0&0&0&0\\
\end{pmatrix}[/mm]
[mm]=\begin{pmatrix}
0&&&&&&&\\
0&&&&&&&\\
-1&&&&&&&\\
&&&&&&&\\
&&&&&&&\\
&&&&&&&\\
&&&&&&&\\
&&&&&&&\\
\end{pmatrix}\not=0_8[/mm]
(Die restlichen Einträge habe ich nicht mehr ausgerechnet.)
Also, entweder stimmt schon euer char. Polynom nicht, oder aber das Minimalpolynom.
Viele Grüße,
Marc
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